Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 786

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2.3. теыеойс

35

ъДЕУШ НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ФЕН, ЮФП a(0)|0 = 0.

йЪ (2.46) ОБИПДЙН УŒСЪШ НЕЦДХ ŒЕТПСФОПУФСНЙ РЕТЕИПДПŒ:

 

 

W

0→n

 

=

|—|2n W

0→0

;

(2.47)

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

РТЙЮЕН ХУМПŒЙЕ ОПТНЙТПŒЛЙ

n

W

0→n

= 1 ÄÁÅÔ W

0→0

= e−|—|2 . рПМХЮБЕФУС ТБУРТЕДЕ-

МЕОЙЕ рХБУУПОБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|—|2n e−|—|2

 

 

 

 

W

0→n

=

 

(2.48)

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

У РБТБНЕФТПН |—|2 = e2E2=mh!— 3 (1 − cos !fi ). рТЙ НБМЩИ — ПФŒЕФ УПŒРБДБЕФ У ТЕЪХМШФБФПН, РПМХЮЕООЩН РП ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, ЛБЛ Й ДПМЦОП ВЩФШ.

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 6 В. рТЙŒЕДЕН ТЕЫЕОЙЕ, РПЛБЪЩŒБАЭЕЕ УŒСЪШ ЪБДБЮЙ У ЛПЗЕТЕОФОЩНЙ УПУФПСОЙСНЙ ПУГЙММСФПТБ, ПРТЕДЕМСЕНЩНЙ ЛБЛ УПВУФŒЕООЩЕ УПУФПСОЙС

ПРЕТБФПТБ ХОЙЮФПЦЕОЙС a.

йУФПТЙЮЕУЛЙ, ЛПЗЕТЕОФОЩЕ УПУФПСОЙС ŒРЕТŒЩЕ РПСŒЙМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ П НЙОЙНЙЪБГЙЙ ‹x‹p ДМС УПУФПСОЙК ПУГЙММСФПТБ, ТБУУНПФТЕООПК ыТЕДЙОЗЕТПН (1926). рПЪЦЕ ПЛБЪБМПУШ, ЮФП ПОЙ РПМЕЪОЩ Й ŒП НОПЗЙИ ДТХЗЙИ УМХЮБСИ. уРЕГЙЖЙЮЕУЛБС ЛППТДЙОБФОП-ŒТЕНЕООБС УФТХЛФХТБ ЛПЗЕТЕОФОЩИ УПУФПСОЙК ЙУУМЕДПŒБОБ Œ ЪБДБЮЕ 3 Л § 23 [2].

рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ

H = h!—

a+a + 21 + –(a+ + a) ;

(2.49)

 

 

 

ÇÄÅ – = −eEl0=h!— . œŒЕДЕН ОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ

b = a + – ; b+ = a+ + – :

(2.50)

рПУЛПМШЛХ [b; b+] = 1, РЕТЕИПД ПФ a Й a+ Ë b É b+ ПРТЕДЕМСЕФ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ. рТЙ ЬФПН ЗБНЙМШФПОЙБО УФБОПŒЙФУС ЮЙУФП ПУГЙММСФПТОЩН:

 

b+b + 21 − –2 :

(2.51)

H = h!—

œŒЕДЕН УПВУФŒЕООЩЕ УПУФПСОЙС ПРЕТБФПТБ ХОЙЮФПЦЕОЙС b:

b|” = ”|” :

(2.52)

ъДЕУШ ” НПЦЕФ ВЩФШ МАВЩН ЛПНРМЕЛУОЩН ЮЙУМПН. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП

−|”|2=2

∞

”n

 

|” = e

 

√n! |n ;

(2.53)

 

n=0

 

 

ÇÄÅ |n | УПУФПСОЙС ЗБНЙМШФПОЙБОБ (2.51), ПФŒЕЮБАЭЙЕ ЬОЕТЗЙЙ En = h!— (n+1=2−–2). œПЪШНЕН УПУФПСОЙЕ ПУГЙММСФПТБ ДП ŒЛМАЮЕОЙС РПМС: a|0a = 0. йУРПМШЪХС УŒСЪШ a Й b, ОБИПДЙН

b|0a = –|0a ;

(2.54)

36

 

змбœб 2. жхолгйс зтйоб

Б ЪОБЮЙФ,

∞

–n

 

2

 

|0a = e−– =2

 

√n! |nb :

(2.55)

 

n=0

 

 

тБЪМПЦЕОЙЕ РП УПУФПСОЙСН |nb РПЪŒПМСЕФ УТБЪХ ОБРЙУБФШ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ŒТЕНЕОЙ:

 

 

|0a (t) = exp −h— Ht |0a = ei(– −1=2)!t e−– =2 n=0

√n!

|nb ;

(2.56)

 

 

 

i

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

∞

(–e−i!t)n

 

 

 

Ô. Å.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b|0a (t) = –e−i!t|0a (t) ;

 

 

 

 

 

 

ПФЛХДБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.57)

 

 

a|0a (t) = –(e−i!t − 1)|0a (t) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.58)

пВПЪОБЮЙŒ — = –(e−i!t − 1), РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−|—|2=2

∞

 

—n

 

 

 

 

 

 

|0a (t) = S(t)|0a = e

 

 

 

 

 

 

√n! |na :

 

 

(2.59)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

пФУАДБ ОБИПДЙН УФПМВЕГ S-НБФТЙГЩ:

n S(t)

0

 

= e−|—|2=2—n=√n! : йУЛПНЩЕ ŒЕТПСФ-

ОПУФЙ РЕТЕИПДПŒ ЕУФШ

 

 

 

 

 

|

|

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

0→n

n!

n!

 

m!3h—

 

 

 

 

 

 

m!3h—

 

 

W

 

= e−|—|2 |—|2n =

1

 

 

e2E2

(1

− cos

!t)

 

 

n exp

 

 

e2E2(1 − cos !t)

 

(2.60)

пУФБМШОЩЕ НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НПЦОП РПМХЮЙФШ ЙЪ УППФОПЫЕОЙК ДМС ЪБŒЙУСЭЙИ ПФ

+ + −i!t + + −i!t

ŒТЕНЕОЙ ПРЕТБФПТПŒ: Sb = b Se , Sa = a Se + —S. пФУАДБ

1

1

n|a+Se−i!t + —S|k − 1

n|S|k = √k n|Sa

+|k − 1 = √k

Й РПМХЮБЕФУС ТЕЛХТТЕОФОБС ЖПТНХМБ:

 

 

√n

 

—

n|S|k − 1 :

n|S|k = √k e−i!t n − 1|S|k − 1 − k

(2.61)

(2.62)

рТЙНЕОСС (2.62) ДПУФБФПЮОП НОПЗП ТБЪ, ŒЩТБЦБЕН

 

n S

 

k

 

ЮЕТЕЪ

 

0

S

0

 

= e−|—|2=2 É

РПМХЮБЕН ПВЭХА ЖПТНХМХ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

| |

 

 

 

e−|—|2=2

min(m;n)

 

 

n!m!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k!(n

−

k)!(m

−

k)! —n+m−2k e−i!kt:

 

 

(2.63)

n|S|m = √m!n!

k=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тЕЫЕОЙЕ 7. йУРПМШЪХЕН РТЙЮЙООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G¸˛ = −i T

 

¸(r; t)

˛+(r ; t ) = ‹¸˛ G ;

 

 

 

 

 

 

(2.64)

ŒŒЕДЕООХА Œ (2.8). рМПФОПУФШ ЮБУФЙГ У РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ ¸ ЕУФШ

 

 

 

 

 

 

 

n

; t

lim

+

(r

; t

)

¸(r

; t

 

iG

¸¸(r

 

= r

; t

=

t

+ 0)

 

(2.65)

¸(r

 

) = t →t+0

¸

 

)

= −

 

 

 

 

 

 

2.3. теыеойс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

(ÐÒÉ t = t − 0 ЙЪ-ЪБ РЕТЕУФБОПŒЛЙ

 

É

+ РПМХЮЙМПУШ ВЩ n¸ − 1, РП ПРТЕДЕМЕОЙА

ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ). œ ОБЫЕН УМХЮБЕ УЙУФЕНБ ПДОПТПДОБ, Й G ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ ТБЪОПУФЙ

r − r É t − t . рПЬФПНХ РЕТЕИПДЙН Œ ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЕ:

 

 

 

 

¸ = − fi →−0

(

";

p)

(2ı)4 =

 

 

 

 

n

i

lim

 

G

 

e−i"fi d3p d"

 

 

 

 

= −

i lim

 

∞

4ıp2 dp

+∞ d"

 

e−i"fi

 

p0)

;

(2.66)

fi →−0

 

(2ı)3

 

2ı "

−

‰(p) + i‹ sign(p

−

 

 

 

 

0

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

ÇÄÅ fi = t − t , ‰(p) = p2=2m − EF .

лПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП " ЪБНЩЛБЕН Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, РПУЛПМШЛХ fi <

0. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÒÉ p > p0 РПМАУ ОЕ ЪБИŒБЮЕО:

 

 

 

2ı " − ‰(p) + i‹ = 0 ;

(2.67)

 

 

d"

e−i"fi

 

Á ÐÒÉ p < p0 ÚÁÈŒÁÞÅÎ:

 

 

e−i"fi

 

 

d"

 

 

2ı " − ‰(p) − i‹ = ie−i‰(p)fi :

(2.68)

ъОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ i‹ ПРТЕДЕМСЕФ, ЪБРПМОЕОП МЙ УПУФПСОЙЕ У ДБООЩН p. у ХЮЕФПН УРЙОПŒПК ДŒПКЛЙ

 

 

p0

4ıp2 dp

 

 

 

 

 

 

 

n = 2

 

(2ı)3

=

p03=(3ı2) ;

 

 

(2.69)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

ПФЛХДБ ОБИПДЙН p03 = 3ı2n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тЕЫЕОЙЕ 8 Б. оБКДЕН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G¸˛ ("; x; x ) = −i

ei"fi T

¸(x)

˛+(x ) dfi;

 

(2.70)

ÇÄÅ fi = t − t . œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

‹¸˛

 

 

 

 

p2

 

 

G¸˛ ("; p) = " − ‰(p) + i‹ sign " ;

‰(p) =

2m − EF :

 

(2.71)

рПЬФПНХ

 

("; p) 2ı = −2m‹¸˛

(p − p1)(p − p2) 2ı :

 

G¸˛ ("; x; x ) =

eip(x−x )G¸˛

(2.72)

 

 

 

dp

 

 

 

 

eip(x−x )

dp

 

рПМАУЩ РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1;2 = ±κ ;

 

 

 

 

(2.73)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ κ = 2m(" + EF + i‹ sign "). åÓÌÉ " > 0, ÔÏ p1 МЕЦЙФ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, Б p2 | Œ ОЙЦОЕК, Б ЕУМЙ " < 0, ФП ОБПВПТПФ.

38

 

змбœб 2. жхолгйс зтйоб

рТЙ x > x ЪБНЩЛБЕН ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС УŒЕТИХ:

 

 

 

 

2m ei(x−x )p+

im

ip+(x−x )

 

 

G¸˛ ("; x; x ) = −2ıi‹¸˛ 2ı 2p+

= −‹¸˛ p+ e

 

;

(2.74)

ÇÄÅ p+ = κ sign " | ФПФ ЙЪ РПМАУПŒ p1; p2, ЛПФПТЩК ОБИПДЙФУС Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. рПŒФПТСФШ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ РТЙ x < x ОЕ ОХЦОП, РПУЛПМШЛХ G¸˛ ("; x; x ) = G¸˛ ("; x ; x). (ьФП УМЕДХЕФ ЙЪ ЮЕФОПУФЙ G¸˛ ("; p) РП p.) пЛПОЮБФЕМШОП ЙНЕЕН

 

im

ip+|x−x |

 

 

G¸˛ ("; x; x ) = −p+ e

 

‹¸˛ :

(2.75)

тЕЫЕОЙЕ 8 В. œ РТЙУХФУФŒЙЙ УФЕОЛЙ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G(1) ОБИПДЙН У РПНПЭША

НЕФПДБ ЙЪПВТБЦЕОЙК:

 

 

 

 

G¸˛(1)("; x; x ) = G¸˛ ("; x; x ) − G¸˛ ("; x; −x ) ;

(2.76)

ЗДЕ G ДБЕФУС (2.75). пВПУОПŒБФШ ФБЛПК ПФŒЕФ НПЦОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й РТЙ ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ НЕФПДБ ЙЪПВТБЦЕОЙК Œ ЬМЕЛФТПУФБФЙЛЕ. œ УБНПН ДЕМЕ, G(1)¸˛ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА

(" − H)G¸˛(1)

("; x; x ) = ‹(x − x ) ‹¸˛

(2.77)

 

 

 

Й ЗТБОЙЮОПНХ ХУМПŒЙА G(1)¸˛ ("; 0; x ) = 0, Б РЕТЕИПД Л ЙЪПВТБЦЕОЙСН ПВЩЮОЩН ПВТБЪПН ЪБНЕОСЕФ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПŒЙЕ ХУМПŒЙЕН БОФЙУЙННЕФТЙЙ.

тЕЫЕОЙЕ 8 Œ. œЩТБЪЙН РМПФОПУФШ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ, ОБКДЕООХА Œ ЮБУФЙ В):

( ) = −

 

fi →−0 Tr

¸˛

(

 

)

 

2ı

n x

i

lim

G(1)

 

"; x; x

 

e−i"fi

d" ;

ЗДЕ Tr ПЪОБЮБЕФ ŒЪСФЙЕ УМЕДБ. уХННЙТХС РП УРЙОБН, РПМХЮБЕН

−

 

fi →−0

 

" − ‰(p) + i‹ sign ‰(p) (2ı)2

n(x) =

2i

lim

 

e−i"fi (1 − e−2ipx)

dp d" :

(2.78)

(2.79)

рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ", РПУЛПМШЛХ fi < 0, ЪБНЩЛБЕН ЛПОФХТ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. рПМАУ ЪБИŒБФЩŒБЕФУС РТЙ ‰(p) < 0, Ф. Е. РТЙ p2=2m < EF . оБИПДЙН

 

 

n(x) = −2i 2

 

 

(1 − e−

2ipx

)

2ıi 2

dp :

(2.80)

 

 

 

 

(2ı)

 

 

 

 

p

<2mEF

 

 

 

 

 

 

йОФЕЗТЙТХЕН РП p:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0

 

 

 

 

 

1

 

 

p0

 

 

 

 

 

(1 − e−2ipx)

 

 

 

 

e−2ipxdp =

 

n(x) = 2

2dpı = ı 2p0 −

 

 

 

−p0

 

 

 

 

 

 

 

 

−p0

 

 

1

2p0

−

sin 2p

 

x

= n0

1 −

sin 2p0x

;

 

=

ı

x 0

 

2p0x

(2.81)

2.3. теыеойс

39

ÇÄÅ n0 | РМПФОПУФШ ŒДБМЙ ПФ УФЕОЛЙ. (лПЬЖЖЙГЙЕОФ Œ (2.81) НПЦОП РТПŒЕТЙФШ, РПДУЮЙФБŒ РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ ЛŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛЙ: n0L = 2(2p0L)=2ıh—.)

рМПФОПУФШ n(x) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ ОБ УФЕОЛЕ, Б ŒДБМЙ ПУГЙММЙТХЕФ У РЕТЙПДПН

–0 = ıh=p— 0:

òÉÓ. 2.1

уТБŒОЙН УТЕДОЕЕ ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ d = n−0 1 = ıh=— 2p0 У РЕТЙПДПН ПУГЙММСГЙК –0 | ПОЙ ПФМЙЮБАФУС Œ ДŒБ ТБЪБ. ьФП ПФМЙЮЙЕ УŒСЪБОП УП УРЙОПН ЬМЕЛФТПОПŒ. жЕТНЙЕŒУЛЙЕ ЛПТТЕМСГЙЙ, РТЙŒПДСЭЙЕ Л ПУГЙММСГЙСН, ЙНЕАФУС ФПМШЛП ДМС ЬМЕЛФТПОПŒ У ПДЙОБЛПŒПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ. рМПФОПУФШ ФБЛЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ ЕУФШ n0=2 = –−0 1, ЮФП ЛБЛ ТБЪ УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЙПДХ ПУГЙММСГЙК.

тЕЫЕОЙЕ 9. тБУУНПФТЙН ŒЕТПСФОПУФШ p(t; x) ВМХЦДБАЭЕК ЮБУФЙГЩ ПЛБЪБФШУС Œ ХЪМЕ x ОБ ЫБЗЕ t. œЕТПСФОПУФЙ ОБ ЫБЗЕ t Й t + 1 УŒСЪБОЩ РТПУФЩН УППФОПЫЕОЙЕН:

p(t + 1; x) =

1

|x − |

 

p(t; x )

(2.82)

 

 

2n

x =1

 

 

 

 

 

(УХННБ ВЕТЕФУС РП 2n УПУЕДСН

ÕÚÌÁ

x). рЕТЕКДЕН Л ЖХТШЕ-ПВТБЪХ

p(t; q) =

 

ÄÁÅÔ

 

 

 

eiqx p(t; x). уППФОПЫЕОЙЕ (2.82)

 

 

 

x

p(t + 1; q) = W (q) p(t; q) ;

 

W (q) =

1

(cos q1

+ : : : + cos qn) :

 

n

оБИПДЙН РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА

 

 

 

 

 

 

G(z; q) =

 

zt p(t; q) =

 

1

:

 

 

 

 

t 0

 

1

−

zW (q)

 

 

 

 

 

 

œЕТПСФОПУФЙ p(t; x) ŒЩТБЦБАФУС ЮЕТЕЪ G(z; q) ФБЛ:

 

 

p(t; x) =

−i

 

dz

dnq eiqx

;

(2ı)n+1

zt+1

1 − zW (q)

(2.83)

(2.84)

(2.85)

Смотрите также файлы