ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 886
Скачиваний: 3
§ 9 ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА |
113 |
точкам объема, но и к точкам, принадлежащим его внешней оболочке, т. е. одинаковые частицы материи, выходя из объема или входя в него, приобретают в одних и тех же местах оболочки одинаковые скорости. Если в этом случае осуществляется поток через объем W частиц одинаковой массы, например если протекает жидкость одинаковой плотности, то вектор Qw оказывается неизменным во времени. Поэтому для стационарного потока dQw/dt==Q, и формула (87) принимает вид
|
Лвнеш+ Лд о п = 0. |
|
(89) |
Обратимся |
теперь к главному вектору |
внешних |
сил /?в н е ш . |
Будем различать главный вектор объемных сил /?Объем> т- е- с и л > |
|||
действующих |
на находящиеся внутри объема |
W точки |
и обуслов- |
ленных воздействием материи, расположенной вне этого объема
(например, через |
гравитационные, магнитные |
и т. п. поля), и |
главный вектор /?<,т оболочки сил, обусловленных |
действием огра- |
|
ничивающей объем |
W оболочки на частицы материи, находящиеся |
|
внутри объема и непосредственно примыкающие к этой оболочке, в тех случаях, когда сболочка не является абсолютно проницаемой. Таким образом,
"внеш = ^объем ~г Лот оболочки-
В силу третьего закона Ньютона при наличии сил, действующих со стороны оболочки на примыкающие к ней частицы, возникают равные и противоположно направленные силы, действующие со стороны этих частиц на оболочку. Обозначим их главный вектор /?„а оболочку; разумеется,
Лот оболочки== |
*Сна оболочку- |
("') |
Подставляя в (89) выражение |
(90) и учитывая |
(91), получаем |
Лна оболочку = |
Лобъем i Лдоп- |
|
Формула (92) была получена Эйлером и носит название формулыЭйлера. Она определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который ссуществляется стационарный проток вещества. Из этой формулы следует, что главный вектор сил, действующих на оболочку со стороны вещества, находящегося внутри объема, отличается от главного вектора внешних сил как раз на ту дополнительную силу /?доп, которую пришлось добавить к главному вектору внешних сил для того, чтобы к системам переменного состава можно было бы применять теорему об изменении количества движения.
Мы можем вернуться теперь к рис. 111.18 и объяснить причину разных показаний весов при взвешивании труб различной формы вместе с протекающей через них жидкостью. Рис. III.22 повторяет рис. III.18 с той лишь разницей, что на нем для каж-
114 |
|
ГЛ III |
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ II ЗАКОНЫ |
МЕХАНИКИ |
|
|
|
||||||||
дого |
случая графически построено дополнительное усилие |
/? |
д о п . |
||||||||||||
Непосредственно видно, что это усилие |
будет |
наибольшим |
на |
||||||||||||
рис. |
111.18, а, равным нулю |
на рис. II 1.18, |
в, |
а на |
рис. II 1.18, б — |
||||||||||
отличным от нуля, но меньшим, чем на рис. II 1.18, а. Ясно |
поэтому, |
||||||||||||||
что |
весы |
покажут наибольший |
«вес» на |
рис. III.18, а, несколько |
|||||||||||
меньший |
на рис |
III.18, б и истинный вес трубы |
вместе с |
находя- |
|||||||||||
щейся в ней жидкостью лишь |
на |
рис. III.18, в. |
|
|
|
|
|||||||||
Представим себе теперь объем W произвольной формы. Веще- |
|||||||||||||||
ство |
(например, |
жидкость) |
может |
«втекать» в |
него и «вытекать» |
||||||||||
из него так, что |
скорость |
«втекающего» |
и |
«вытекающего» |
веще- |
||||||||||
ства |
(например, жидкости) |
постоянна и равна соответственно ©п р и х |
|||||||||||||
|
|
.ц |
и ©у х о д |
(рис. II 1.23). Подсчитаем, чему |
|||||||||||
|
™ |
' " |
равны |
в |
этом |
случае |
векторы |
/ у х о д |
|||||||
|
|
|
и /прихНапример, для |
/ у „ о д имеем |
|
||||||||||
|
|
|
/уход |
= |
|
|
|
|
Ы-+0 |
At |
|
(93) |
|||
|
|
|
|
|
At-* О |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
й) |
|
|
Но так |
как |
рассматривается |
случай |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
стационарного |
|
потока, |
когда |
© |
у х о д |
не |
||||||
|
|
|
изменяется во |
времени, |
в формуле (93) |
||||||||||
|
|
|
можно |
вынести скорость |
за знак |
преде- |
|||||||||
|
|
|
ла и |
получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/уход = |
^уход ' 1 Г П „ |
|
|
д7 |
= |
Иуход^уход |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
hi -+О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Цуход |
|
|
|
|
|
|
(95) |
|||
|
|
|
называется расходом массы. Совершенно |
||||||||||||
|
|
|
аналогично можно написать |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/прих |
|
Н'прих^прих» |
|
V |
/ |
|||
6)- |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цп Р их= |
l i m |
— д / |
|
|
(97) |
||||
Стационарный поток возможен лишь при условии, что суммарный расход массы (поступающей в объем и уходящей из
него) равен нулю, ибо в противном случае происходило бы уменьшение или увеличение массы, находящейся внутри объема, а значит, не были бы соблюдены условия стационарности. Поэтому для стационарного потока
= И |
(98) |
|
|
|
|
§ 9 |
ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА |
|
115 |
||||||||||||||||
и дополнительная сила |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Учитывая эту формулу, мы могли бы для определения допол- |
||||||||||||||||||||||
нительной силы геометрически сложить |
векторы ©п р и х и © |
у х о д |
(а не |
||||||||||||||||||||
векторы/п р их и/ухОд) и затем умножить результат на коэффициент ц, |
|||||||||||||||||||||||
т. е. на расход массы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Вернемся |
к |
рис. III.21 |
и вновь |
рассмотрим вопрос |
о приме- |
|||||||||||||||||
нении |
|
законов |
механики |
к |
системе |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
переменного |
состава, |
но |
постоянного |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
объема, |
имея |
|
теперь |
в виду |
не |
тео- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рему |
об изменении |
количества |
движе- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ния, |
а |
теорему |
|
об |
|
изменении кине- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
тического |
момента. Дословно |
повторяя |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
рассуждения, |
|
которыэ |
привели |
нас к |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
формулам |
(86) |
и |
(87), |
но |
|
рассматри- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
вая |
для |
системы |
Е |
и W не |
векторы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
количества |
|
движения, |
а векторы |
ки- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
нетического момента, |
подсчитанного |
от- |
|
|
|
Рис. 111.23. |
|
||||||||||||||||
носительно какого-либо полюса О (напри- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
мер, относительно |
начала координат), получаем вместо формул (86) |
||||||||||||||||||||||
и |
(87) соответственно |
формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"OW |
|
" " 0 2 |
|
| |
»ж |
|
|
|
|
ПГ\С\\ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—dT^^dT1'™0*™ |
|
|
|
|
|
|
|
(WU> |
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JJ |
— '"Овнеш |
i '"Олоп* |
|
|
|
|
v 1 ^ 1 / |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*"Одоп = |
|
^Оуход |
I |
*Оприх> |
|
|
|
|
('"^) |
||||||
а |
'оуход и |
'оприх |
определяются |
подобно |
тому, |
как |
|
ранее |
(см. фор- |
||||||||||||||
мулу |
(84)) |
были |
определены |
векторы / |
у х о д и /п р и х |
, |
только |
вместо |
|||||||||||||||
расхода |
и прихода |
количества |
движения |
теперь |
рассматривается |
||||||||||||||||||
расход |
и приход |
кинетического момента |
соответственно: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
lim |
А^ОУ*°Д |
|
7 |
|
|
|
Ц™ |
А ^Оприх |
|
( |
|||||
|
|
|
|
/ О у х о д = |
'И*1 |
|
ДГ |
|
•» |
'Оприх = |
ИП1 |
Xt |
' |
|
' |
||||||||
|
Таким образом, для того чтобы применить теорему |
об изме- |
|||||||||||||||||||||
нении |
|
кинетического |
момента |
относительно |
какого-либо полюса |
||||||||||||||||||
к |
системе |
переменного |
состава, |
но |
постоянного |
объема, |
надо |
||||||||||||||||
к моменту внешних сил относительно того же полюса прибавить дополнительный момент (102).
В случае стационарного протока жидкости (dKOw/dt = 0) вместо формулы (92) совершенно аналогично получаем выражение для
116 ГЛ III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
момента сил, действующих на оболочку объема W,
Мо на оболочку = Л^Ообъем + Мо доп > |
О 0 4 ) |
где Мообъс* — главный момент объемных («полевых») сил, действующих на точки, расположенные в W.
Для неинерциальных систем отсчета вместо формулы (101) имеем
|
Т |
= |
МО в н е ш -Ь AWnep + Л1о,кор-Ь МО д о п . |
(Ю5) |
||
Рассмотрим |
теперь пример использования |
этого |
соотноше- |
|||
ния при подвижном объеме W. При |
этом мы |
выберем систему |
||||
отсчета |
х', у', г', |
жестко связанную |
с оболочкой объема W (и, |
|||
вообще |
говоря, |
неинерциальную). В |
этой системе оболочка W |
|||
неподвижна и, следовательно, в выражениях для /?доп и Мо доп будут фигурировать относительные скорости (скорости относительно си-
стемы отсчета х', у', г', жестко |
связанной с оболочкой W). |
|||
П р и м е р . Рассмотрим |
ротор турбины |
(рис. III.19), |
вращаю- |
|
щийся относительно оси. |
В |
условиях |
стацинарного |
протока |
df(ow/dt = 0 и равенство (107) |
принимает |
вид |
|
|
МовнеШ+ M0Jnep+ |
MOJKOp+ Модоп = °- |
(1 0 6 ) |
||
В качестве неинерциальной системы, для которой выписывается это равенство, рассмотрим вращающуюся систему, связанную с ротором турбины, и подсчитаем- Mojn . Этот момент складывается из двух моментов, порождаемых осестремительным и вращательным ускорениями соответственно.
Осестремительное ускорение в каждой точке проходит через О, и поэтому главный момент соответствующих составляющих переносных сил инерции равен нулю.В случае вращения вокруг оси главный момент тангенциальных сил инерции относительно оси равен —/е, где / —момент инерции ротора вместе с заполня-
ющей его жидкостью относительно оси вращения*). |
|
||
Проектируя |
теперь |
равенство (108) на направление оси ротора, |
|
получаем |
|
|
|
|
|
р , |
(107) |
где Мо — момент относительно оси ротора. |
|
||
Если MOJKO |
мал, |
например если относительная скорость жид- |
|
кости невелика, то формула (109) принимает вид
J e ^ Мовнеш + Мо доп»
х) Моментом инерции системы материальных точек относительно оси называется 2 m i r ( ' г ^е ri — расстояние 1-й точки до оси; подробности можно найти в гл. V-
§ 9 ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА |
117 |
|
где дополнительный момент МОлоп |
подсчитывается |
в принятой |
неинерциальной системе, т. е. при выборе в качестве |
г»х и vz ско- |
|
ростей жидкости относительно рогора. |
|
|
Таким образом, дополнительный момент, возникающий за счет протока жидкости через межлопаточные пространства турбины,
вызывает |
|
ускорение |
ротора |
|
и в |
том |
случае, |
когда |
МО в н е ш = 0. |
||||||||||||||
При |
равномерном |
вращении |
е = 0 |
и равенство |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
' "^ доп |
|
*•**- внеш |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
определяет момент, которым нагружен ротор турбины. |
|
|
|||||||||||||||||||||
Подсчитаем |
дополнительный |
момент /Идоп, возникающий за |
|||||||||||||||||||||
счет |
протока |
жидкости |
через |
объем W. С этой целью найдем |
|||||||||||||||||||
'уход и 'пРих- |
Кинетические моменты |
|
частиц |
материи, |
входящих |
||||||||||||||||||
в этот объем |
и |
выходящих |
из |
него, |
соответственно |
равны |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 2 . |
|
|
(108) |
В |
связи |
с |
тем, |
что |
радиусы-векторы |
|
гх |
и |
/*2 |
и |
скорости |
||||||||||||
©j и v, постоянны, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
'при = Л X ©,^ j f = Hi (fi |
X ©0, |
|
/у х о д |
= Гг |
X V, 4jj± |
= |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= щ ( г 2 х в 2 ) . |
(109) |
||||
Предположим |
теперь, |
что |
скорость |
vx |
жидкости |
на |
входе |
||||||||||||||||
в объем |
W между двумя лопатками ротора постоянна по величине, |
||||||||||||||||||||||
одинакова вдоль всего входного сече- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ния |
и составляет |
угол ах |
|
с |
радиу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сом-вектором, проведенным к |
середи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
не входного сечения (рис. III.24). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично |
скорость на выходе |
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
объема W равна v2, |
одинакова |
вдоль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
всего выходного сечения и составляет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
угол а2 |
с |
радиусом-вектором, |
про- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
веденным к середине выходного се- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
чения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы |
всех |
моментов |
|
направ- |
|
|
|
|
р и с |
ш.24. |
|
||||||||||||
лены по одной и той же |
прямой, пер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
пендикулярной |
плоскости |
чертежа |
(рис. |
111.19) и |
проходящей |
||||||||||||||||||
через точку О. |
Поэтому |
можно |
рассматривать лишь скалярные |
||||||||||||||||||||
величины |
/уход |
и /прич с учетом |
знаков; тогда |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
'при* = JViWi sinocx, |
|
/у х о д |
= |V2 y2 |
sina2 . |
|
|
|
||||||||||||
Для |
стационарного |
потока |
цл = ц2 = \i, |
и поэтому модуль |
допол- |
||||||||||||||||||
нительного момента |
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Модоп = ц ( i v I bin 0^ — v./i |
|
s i n a 2 ) . |
|
|
(110) |
|||||||||||||