Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Г л а в а VI

РАВНОВЕСИЕ. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

§1. Введение

Вэтой главе будут изучаться положения равновесия механи-

ческих систем, условия, при которых движения системы не выходят за пределы малой окрестности положения равновесия, и некоторые особенности движений такого рода.

В предыдущих главах было показано, что уравнения Лагранжа обычно представляют собой систему нелинейных Дифференциальных уравнений. Если же ограничиться исследованием движений, происходящих вблизи положения равновесия, то уравнения Лагранжа можно упростить —они заменяются в этом случае приближенными линейными дифференциальными уравнениями. Решения таких уравнений хорошо изучены, их можно записать в замкнутой форме с помощью элементарных функций, и это позволяет детально исследовать данный класс движений.

Прежде чем приступить собственно к изучению условий рав: новесия и движений вблизи положений равновесия, введем представление о четырех основных пространствах, которые будут широко использоваться в этой и следующей главе.

§ 2. Основные пространства

Назовем координатным пространством1) п-мерное пространство, каждая точка которого определяется заданием п чисел — обобщенных координат qlt .... qn. По определению эти координаты независимы и любой их выбор не противоречит механическим связям (если таковые наложены на систему). Поэтому положение системы может быть представлено любой точкой координатного пространства.

При движении системы значения обобщенных координат меняются во времени, и точка, определяемая в каждый момент функциями qi(t), .... qn(t), описывает в координатном пространстве соответствующую траекторию.

Порядок системы уравнений Лагранжа равен 2м, и чтобы задать движение, надо задать 2я начальных данных, т. е. надо

1) Это пространство иногда называют конфигуративныМ|

§ 3. Положения равновесия

Положение системы материальных точек, определяемое внекоторой системе отсчета обобщенными координатами <7у = 9/ (/— = 1, ..., п), называется положением равновесия для наблюдателя, связанного с этой системой отсчета, если система материальных точек, будучи приведена в это положение с нулевыми скоростями q) = 0 (/=1, ..., п), остается в нем сколь угодно долго.

Из этого определения следует, что в положении равновесия все <jy и (JJ равны нулю, а это означает, что в фазовом пространстве положениям равновесия соответствуют только особые точки.

Если выполняются обычные условия единственности решений уравнений Лагранжа, то в стационарном случае более удобные условия равновесия определяет следующая

Теорема . Для того чтобы в стационарном случае некоторое положение системы

было положением равновесия,необходимо и достаточно, чтобы в этом положении все обобщенные силы были равны нулю:

Д о к а з а т е л ь с т в о . При исследовании уравнений Лагранжа

где Т% —квадратичная форма относительно q с коэффициентами, зависящими только от q,

л

Сумма, стоящая в левой части равенства (9), равна элементарной работе всех приложенных сил на произвольном возможном перемещении рассматриваемой стационарной системы

Таким образом, доказанная теорема может быть сформулирована следующим образом:

Для того чтобы положение gy = q) былоположением равновесия стационарной системы, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении элементарная работа всех приложенных сил на любом возможном перемещении была равна нулю.

В такой формулировке доказанная теорема называется принципом возможных перемщений.

Если рассматривается система без механических связей, то любые перемещения системы возможны и слова «на любом возможном перемещении» могут быть заменены словами «на любом перемещении». Если же на систему наложены идеальные склерономные связи, то термин «любые возможные перемещения», как всегда, означает «любые малые перемещения, совместимые со связями».

Принцип возможных перемещений в стационарном случае определяет необходимые и достаточные условия равновесия. Он определяет необходимые условия равновесия и в том случае, когда система нестационарна, например, содержит идеальныереономные связи, —надо лишь слова «на любом возможном перемещении» заменить словами «на любом виртуальном перемещении». Установленный выше принцип называют в этом, более общем случае, принципом виртуальных перемещений1).

Рассмотрим теперь консервативные системы, т. е. стационарные системы, на которые действуют только потенциальные силы, причем V —V (q) не зависит явно от времени. В этом случае

и условие (8) означает лишь, что все точки, гдефункция V имеет стационарныезначения, в частности всеточкиэкстремумов и точки перегибафункции V, являются точками равновесия системы.

*) Мы не рассматриваем этот случай детально и, в частности, не приводим доказательств.