Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 863

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

223

(либо все определителис нечетными индексами) былистрого положительными ').

К р и т е р и й М и х а й л о в а . Вернемся теперь к характеристическому полиному (24) и заменим в нем переменное Я, мнимым переменным /со:

 

Ао (/со)™ + А, (/со)'»-1 + ... + Ат.

(28)

Собрав действительные

и

мнимые члены, получим

комплексную

функцию действительного

переменного со

 

 

 

/(/со) = i7 (со)+ /У (со).

(29)

Рассмотрим теперь

комплексную плоскость, по осям которой

отложены

значения

U

и V. Подставляя в функцию (29) после-

довательно значения

со от 0 до + о о , можно по точкам построить

годограф

этой комплексной функции (см. рис. VI.5, на котором

стрелкой

указано направление роста со). Если менять со от О

до —оо, то построенный таким образом годограф будет зеркальным отображением относительно действительной оси годографа,

построенного для

положительных

значений со. В самом деле,

при

замене

со

на — со значе-

 

ние функции tV(co),

содержащей

 

только четные

степени со, не

 

меняется,

а функция У (со), со-

 

держащая

только

нечетные сте-

 

пени со, меняет

знак. Часть го-

 

дографа, соответствующая отри-

 

цательным

значениям со, пока-

 

зана

на

рис. VI.5

штриховой

 

кривой.

 

 

 

 

 

Построенный

таким образом

Рис. VI.5.

годограф

(для

положительных

 

значений со) называется годографом характеристического полинома

(24) или годографом Михайлова. Определяемый формулой (29) вектор, конец которого при изменении со от 0 до + о о описывает

годограф Михайлова

(этот вектор

показан на рис. VI.5), назы-

вается характеристическим вектором.

 

г) При

практическом

использовании критерия Гурвица рекомендуется не

развертывать

определители

по элементам

строки или столбца, а свести

стар-

ший определитель Гурвица

к треугольной

форме, т. е. к такой форме,

чтобы

все элементы, расположенные слева от главной диагонали, были равны

нулю.

При этом должны использоваться лишь преобразования, не меняющие знаков ни самого определителя, ни его диагональных миноров. После того как старший определитель Гурвица представлен в треугольной форме, критерий Гурвица сводится к требованию положительности всех элементов этого определителя, расположенных на главной диагонали (подробнее см. книгу М. А. Айзер-

мана, упомянутую а предыдущем примечании).

224

 

ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

 

 

Критерий

Михайлова утверждает следующее: для того чтобы

характеристический

полином был гурвицевым, необходимо и

доста-

точно,

чтобы

годограф Михайлова начинался

при

со= 0

на дей-

ствительной

положительной

полуоси и чтобы

при

изменении со

от О

до

-|-оо аргумент характеристического

вектора

монотонно

возрастал

от

нуля до тп/2.

 

 

 

 

 

При

выполнении

условий

этого критерия годограф

Михайлова

последовательно проходит первый, второй, третий, четвертый,

пятый

(т.

е.

вновь первый)

и т. д. квадранты плоскости О, V,

уходя

в бесконечность в

т-м

квадранте.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

к р и т е р и я М и х а й л о в а 1 ) .

Заменив

в

формуле

(25) К на /со, получим уравнение годографа Михайлова

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

А»П (/ f f l -M-

(3°)

Рассмотрим

один

сомножитель /со — Xj и выясним, как

меняется

его аргумент

при

изменении со от — оо до -|-оо. На

плоскости

комплексного переменного корень Я, представляется фиксирован-

ной

точкой, а

/со —точкой,

расположенной на

мнимой

оси

и при

 

 

 

 

 

изменении

со

от — оо

до

+ оо

 

 

 

 

 

«пробегающей» эту ось. Сомно-

 

 

 

 

 

житель

/со — Я/

представляется

 

 

 

 

 

вектором, отложенным

из

точки

 

 

 

 

ReA

%] к

точке,

«пробегающей» мни-

 

 

 

 

*"

мую

ось

(рис. VI.6).

Сразу вид-

 

 

 

 

 

но, что

если

точка

Я/

располо-

 

 

ш

 

жена

слева

 

от

мнимой оси, то

 

 

 

 

 

при изменении соот — оо до + оо

 

 

 

 

 

аргумент

этого вектора меняется

 

 

Рис

VI6.

 

монотонно на + я. Если же точка

 

 

 

 

 

Я, расположена

справа

от

мни-

мой

оси,

то

аргумент

вектора меняется

на

— я. Обращаясь

к формуле

(30)

и учитывая, что

изменение аргумента

произведе-

ния равно сумме изменений аргументов сомножителей, заключаем, что общее изменение аргумента характеристического вектора, «вычерчивающего» годограф Михайлова, будет равно тп/2, если все корни Я* характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, и будет заведомо меньше, чем тп/2, если хотя бы один корень расположен справа от мнимой оси. Отсюда следует, что годограф Михайлова будет протекать так, как это

*) Критерий Михайлова является прямым следствием применения к функции комплексного переменного (29) принципа аргумента Коши. Однако критерий Михайлова можно доказать и непосредственно, без обращения к принципу аргумента, именно такое доказательство будет проведено здесь

§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

225

предписывается критерием, тогда и только тогда,

когда иссле-

дуемый характеристический полином является гурвицевым, т. е. когда все его корни расположены слева от мнимой оси.

Пример .

Рассмотрим характеристический полином степени

т = 8

и различное возможное протекание годографа

Михайлова

в этом

случае

(рис. VI.7). Из критерия Михайлова

следует, что

характеристические полиномы, для которых годограф Михайлова

Рис. VI.7.

протекает так, как показано в верхней части рисунка, — гурви-

цевы, а характеристические полиномы, годограф которых

проте-

кает так, как это показано в нижней части рисунка, заведомо

не являются

гурвицевыми.

 

 

 

4.

Устойчивость

равновесия консервативной системы. Потен-

циальные ямы и

барьеры. Рассмотрим теперь условия устойчи-

вости

равновесия

консервативной системы. Критерии устойчиво-

сти, приведенные выше, непригодны для этой цели. Дело

в том,

что у характеристического уравнения линейного приближения

для

консервативной

системы все корни чисто мнимые *) и асимп-

тотическая устойчивость

не может иметь места. Выделить

устой-

чивые

положения равновесия в консервативной системе позволяет

 

Теорема

(Лагранжа— Дирихле2)). Если в некотором поло-

жении консервативной системы потенциальная энергия,

являю-

щаяся непрерывной функциейs)

q, имеет строгий изолированный

 

1) Это утверждение

будет

доказано

ниже.

 

 

2 )

Применительно

к частному случаю поля сил тяжести эту теорему знал

еще

Торричелли

(1644 г.). Для потенциальных полей в общем случае ее выска-

зал

Лагранж (1788 г.),

но лишь Дирихле (1846 г.) строго доказал

теорему.

 

3 )

Формально для доказательства теоремы требуется лишь непрерывность

функции V (q).

В механике,

однако, предполагается существование производ-

ных

dV/dq, так как

только

тогда имеют смысл понятия «обобщенная сила»,

«уравнения Лагранжа» и т. д.

 

 

 

8

М. А. Айэермаи

 

 

 

 

 

226 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия системы.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим положение равновесия <7ь ..., q"n, в котором потенциальная энергия V (q) имеет строгий минимум. Поместим в точку q\, ..., q"n начало координат, т. е. будем считать, что

^= ... = ^ = 0.

Всвязи с тем, что потенциальная энергия V определена с точностью до аддитивной постоянной, распорядимся выбором этой постоянной так, чтобы в данном положении потенциальная энергия обращалась в нуль:

УЮ = 0.

(31)

Тогда из определения строгого минимума следует, что в п-мер- ном координатном пространстве существует такая Д-окрестность начала координат, что если

то

 

 

 

 

|<7/К А

 

(/ = 1

 

п),

 

 

 

 

(32)

 

 

 

 

 

 

 

V(<7)>0

 

 

 

 

 

 

(33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в любой точке окрестности (кроме начала

координат, где

 

V (0) =

= 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем теперь к 2я-мерному фазовому

пространству

qu ...

..., qn\ qlt

...,

qn. Здесь началу

координат также

соответствует

исследуемое состояние равновесия. Рассмотрим в этом простран-

стве

2п-мерную

окрестность

начала

координат, в

которой <7/

( / = 1 ,

...,

п)

удовлетворяют

условию

(32).

Во

всех

точках

этой окрестности полная энергия системы

E = T-\-V

положи-

тельна,

кроме начала

координат, где £ = 0. Это следует из усло-

вия

(33) и

из того

факта,

что

кинетическая

энергия

Т = Т2

обращается

 

в

нуль

лишь

тогда, когда

все

ty

равны

нулю, и

Т > 0 ,

когда

хотя бы одна

из ц}

отлична

от

нуля.

 

 

 

Выберем

 

теперь

в

фазовом пространстве

произвольную е-ок-

рестность,

целиком

лежащую

внутри

Д-окрестности и содержа-

щую

начало координат в качестве внутренней точки. На границе

этой е-окрестности функция Е непрерывна и ограничена, а сама граница представляет собой замкнутое ограниченное множество точек. Поэтому в силу теоремы Вейерштрасса существует принадлежащая границе s-окрестности точка, где Е достигает мини-

мума

на границе. Пусть

этот минимум равен Е = Е*. В связи

с тем,

что всюду на границе е-окрестности Е~>0, во всех точках

этой границы

£ 5 э Я * > 0 .

(34)

 

 

Выберем £ * * < £ * и

определим такую

б-окрестность, что

всюду в ней £ < £ * * . Она заведомо лежит внутри е-окрестности

§ 5. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

227

(рис. VI.8) и всегда существует в силу непрерывности

функ-

ции Е итого, что £ =0 в начале координат и £ > 0 в е-окре- стности.

Рассмотрим

произвольную точку А, принадлежащую этой

б-окрестности,

и примем соответствующие ей значения

<7/л и

^ ( / = 1, ..., п) заначальные:

 

 

=|<//л|<6 .

(35)

Обозначим через £дэнергию Е системы в этой точке. Всилу того, что точка А лежит в б-окрестности,

£д<£**<£*.

Начальным данным (35) соответствует некоторое движение изучаемой системы. Но система консервативна, ипоэтому во время движения ее энергия не меняется:

£(0 = £д<£*.

(36)

Из неравенства (36) сразу следует, что фазовая траектория, начинающаяся внутри б-окрестности, недостигает границ е-окре-

стности,

так как награнице

 

е-окрестности £:==£*. Поэтому

 

для любой е-окрестности мож-

 

но указать такую б-окрестность,

 

что если

начальные

данные

 

удовлетворяют

неравенствам

 

(35), то при всех

<SsO

удовле-

 

творяются

неравенства

 

 

\qj(t)\<B,

lqj(t)l<*

 

 

(/=1, ..., л).

 

 

Теорема

доказана.

 

 

Из доказательства видно, что

Рис. VI.8,

теорема

остается

справедливой

 

и в том случае,

когда

система

отличается отконсервативной

наличием гироскопических сил. Действительно, добавление гироскопических сил неменяет ни положения равновесия г), ни того

факта, что энергия

системы

сохраняется

во время движения2).

При доказательстве

теоремы

использовался

лишь этот факт без-

относительно к тому, покаким причинам онимеет место. Теорема Лагранжа определяет лишь достаточный признак

устойчивости равновесия консервативной системы: если положе-

1) Это следует из принципа возможных перемещений — работа гироскопических сил на возможных перемещениях равна нулю.

») См. § 3 гл, IV.

8*

Смотрите также файлы