Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1154
Скачиваний: 2
27.42 (710). |
Самолет А |
летит на высоте |
4000 |
м над |
землей |
|||
с горизонтальной |
скоростью |
500 км/'час. |
На каком |
расстоянии х, |
||||
измеряемом по горизонтальной прямой от |
данной точки |
В, |
должен |
|||||
быть сброшен |
с |
самолета без начальной |
относительной |
скорости |
||||
|
|
|
какой-либо груз для того, чтобы |
|||||
|
|
|
он упал в |
эту |
точку? |
Сопро- |
||
|
|
I |
тивлением |
воздуха |
пренебре- |
|||
|
h I |
А |
|
I | / |
\ |
^1д |
^гШ |
1 |
1 |
|
Ш% |
К задаче 27 42. |
К задаче 27 43. |
|
г а е м -
Ответ: лг= 3960 ж
' 27-43 ( 7 1 1 ) ' Самолет А ле-
т и т наД землей на высоте h с горизонтальной скоростью vh
И з ОруДИЯ В произведен ВЫ-
|
|
стрел по |
самолету в тот мо- |
мент, |
когда самолет находится |
на одной вертикали с орудием. |
|
Найти: |
1) какому условию должна |
удовлетворять |
начальная скорость |
г>о снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет, и 2) под каким
углом а к горизонту |
должен |
быть |
сделан |
выстрел. Сопротивлением |
|||||
воздуха |
пренебрегаем. |
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: 1) |
г>§ 5г v\ -f 2gh; |
2) c o s a = 3 . |
|
|||||
|
27.44 (712). Наибольшая горизонтальная дальность снаряда равна |
||||||||
L. |
Определить |
его |
горизонтальную |
дальность / при |
угле бросания |
||||
a = |
30° |
и высоту |
h |
траектории |
в этом |
случае. |
Сопротивлением |
||
воздуха |
пренебрегаем. |
|
|
|
|
|
|||
Ответ: l=~L; |
ft |
= -o-. |
|
|
|
|
|
|
||||
27.45 (713). |
При |
угле |
бросания а |
снаряд |
имеет |
горизонтальную |
||||||
дальность 1а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определить |
горизонтальную |
дальность при угле бросания, равном |
||||||||||
а/2. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. |
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
4/2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27.46 (714). Найти дальность полета снаряда, если радиус кривизны |
||||||||||||
траектории |
в |
высшей |
ее |
точке р= |
16 км, |
а |
угол наклона |
ствола |
||||
орудия к |
горизонту |
a = |
30°. |
Сопротивлением |
воздуха пренебречь. |
|||||||
Ответ: хтйХ |
— 2р tg a = 18 480 м. |
|
|
|
|
|
||||||
27.47 (715). Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, |
||||||||||||
если |
цель |
обнаружена |
на |
расстоянии |
32 км, |
а начальная скорость |
||||||
снаряда г>0 =600 м/сек. |
Сопротивлением воздуха |
пренебрегаем. |
||||||||||
Ответ: <Xi = 30°18"; a2 = 59°42'. |
|
|
|
|
|
|||||||
27.48 (716). |
Решить |
предыдущую |
задачу |
в |
том |
случае, |
когда |
|||||
цель |
будет |
находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерийских |
||||||||||
лозийий.
sОтвет: a1 = 30°45'; a2 = 59°23'.
27.49(717). Из орудия, находящегося в точке О, произвели выстрел под углом а к горизонту с начальной скоростью г\). Одновременно из точки А, находящейся на расстоянии / по горизотали
214
от |
точки |
О, произвели выстрел |
вертикально |
вверх. |
Определить, |
|||
с |
какой |
начальной |
скоростью |
vx |
надо выпустить второй |
снаряд, |
||
чтобы он столкнулся |
с первым |
снарядом, если |
скорость t>0 |
и точка |
||||
А |
лежат |
в одной .вертикальной |
плоскости. Сопротивлением |
воздуха |
||||
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: t>i= '0o sina (независимо отрасстояния/, для |
l < < " ° s m a ) . |
||||||
27.50 (718). Найти геометрическое место положений в момент t материальных точек, одновременно брошенных в вертикальной плоскости из одной точки с одной и тойже начальной скоростью v0 под всевозможными углами к горизонту.
Ответ: Окружность радиуса vrf с центром, лежащим на верти-
кали точки бросания, ниже этой точки на -^gtz-
27.51 (719). Найти геометрическое место фокусов всех параболических траекторий, соответствующих одной и той же начальной скорости v0 и всевозможным углам бросания.
Ответ: х * + у = - | „ .
27.52 (720). Тело весом Р, брошенное с начальной скоростью v0 под углом а к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и сопротивления R воздуха. Определить наибольшую высоту h тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: R = kPv.
Ответ: /г= -^— р"Ц( -\-kvu?,ina).
27.53 (721). В условиях задачи 27.52 найти уравнения движения точки.
Ответ X=J
27.54 (722). Приусловиях задачи 27.52 определить, на каком расстоянии s погоризонтали точка достигнет наивысшего положения.
о |
vl sin2a |
Ответ: s = o |
"—: т-гг- |
27.55 (723). В вертикальной трубе, помещенной в центре круглого бассейна и наглухо закрытой сверху, на высоте 1 м сделаны отверстия в боковой поверхности трубы, из которых выбрасываются наклонные струи воды под различными углами ср к горизонту
(ф-<-5); начальная скорость струи равца •D0~yr4g/3cos(p м/сек,
где g — ускорение |
силы тяжести; высота трубы 1 м. |
Определить |
|||
наименьший |
радиус |
R бассейна, |
при котором |
вся выбрасываемая |
|
трубой вода |
падает в бассейн, |
как бы мала |
ни была |
высота его |
|
стенки. |
|
|
/ |
|
|
Ответ:#=2,83 м.
27.56 (724). Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна т граммам, притягиваемой к неподвижному
215
центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение
происходит в пустоте; сила притяжения на |
единице расстояния равна |
|||||||||||||||||||||||
ti'rn |
дан; |
в |
момент |
£— 0: х = |
а, |
х = |
0, |
у = |
0, |
у = |
0, |
причем |
ось |
|||||||||||
Оу |
направлена по вертикали вниз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Ответ: |
Гармоническое |
колебательное |
движение: |
x = |
acoskt, |
||||||||||||||||||
y~jL(l |
|
— coskt) |
по отрезку |
прямой y = |
js— W x> |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
27.57 (725). Точка массы т движется под действием силы оттал- |
|||||||||||||||||||||||
кивания |
|
от |
неподвижного |
центра |
О, |
изменяющейся |
по |
закону |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
р = |
к*тг, |
где |
|
г — радиус-вектор |
точки. |
В началь- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ный |
момент точка |
находилась |
в |
Жо (а, 0) |
и |
имела |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
скорость Уо, направленную |
параллельно оси у. |
Опре- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
делить |
траекторию |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
- |
|
— |
— |
= |
1 (гипербола). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\а |
I |
|
\vo/ |
нить, |
закрепленная |
в |
точ- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
27.58 (726). |
Упругая |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ке А, |
проходит |
через |
неподвижное |
гладкое |
коль- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
цо О; к свободному концу ее прикреплен шарик М, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
масса которого |
равна |
т |
граммам. |
Длина |
невытяну- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
той нити lz=AO; |
для удлинения |
нити на 1 см |
нужно |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
приложить |
силу, равную k^m дин. Вытянув |
нить по |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
прямой |
АВ |
так, что длина ее увеличилась вдвое, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
сообщили |
шарику скорость г)0> перпендикулярную |
|||||||||||||||||
к |
прямой АВ. |
Определить |
траекторию шарика, пренебрегая дей- |
|||||||||||||||||||||
ствием |
силы |
тяжести |
и |
считая |
натяжение |
нити |
пропорциональным |
|||||||||||||||||
ее |
удлинению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: Эллипс -^--\-у-г |
= |
|
\. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
27.59 (727). |
Точка |
М, |
масса которой |
равна |
т, |
притягивается |
|||||||||||||||||
к |
я |
неподвижным |
центрам |
С\, С»,..., |
С,-,..., Сп |
силами, |
пропорцио- |
|||||||||||||||||
нальными |
расстояниям; |
|
сила |
притяжения |
точки |
М |
к |
центру |
С; |
|||||||||||||||
( / = 1, 2, 3,..., |
я) |
равна |
kim-MCi |
дин; |
точка |
М |
и притягивающие |
|||||||||||||||||
центры |
лежат |
в |
плоскости |
Оху. |
Определить траекторию |
точки |
М, |
|||||||||||||||||
если |
при |
^= |
0: |
х = Хъ, у=Уо, |
х = 0, |
г/= |
х;0. |
Действием |
силы |
|||||||||||||||
тяжести |
пренебрегаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: Эллипс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= |
1, где |
|||||||
27.60 (728). |
Точка |
М |
притягивается к двум |
центрам Ct и |
С9 |
|||
силами, пропорциональными |
расстояниям: km • МС\ и km • MCi, |
центр |
||||||
Ci неподвижен |
и находится |
в начале координат, центр Са равномерно |
||||||
движется по оси Ох, так |
что х?, = |
2 (a -f- bf). |
Найти |
траекторию |
||||
точки М, полагая, что в момент £= |
0 |
точка М находится |
в плоско- |
|||||
сти ху, координаты ее |
х=у |
= а и скорость имеет проекции |
|
|||||
|
|
x = i~b, |
0 ===(!. |
|
|
|
||
216
Ответ: Винтовая линия, расположенная на эллиптическом цилин-
дре, ось которого есть Ох, а уравнение имеет вид ^ - | - - T J - = 1;
шаг винта равен up у -г.
27.61 (729). Отклонение катодных лучей в электрическом поле.
Частица массы т, несущая заряд отрицательного электричества е,
вступает |
в однородное электрическое поле напряжения Е со скоростью |
|||||||||
vo, перпендикулярной |
к |
направлению |
напряжения поля. Определить |
|||||||
траекторию дальнейшего |
движения частицы, зная, что |
г |
|
|||||||
в электрическом поле на нее действует сила |
F=eE, |
|
||||||||
направленная в сторону, противоположную напряже- |
|
|||||||||
нию Е; действием силы тяжести пренебрегаем. |
|
|||||||||
Ответ: Парабола, параметр которой равен |
mvljeE. |
/н |
|
|||||||
27.62 |
(730). Отклонение катодных |
лучей в маг- |
|
|||||||
нитном |
поле. Частица массы т, несущая заряд отри- |
К задаче 27 62. |
||||||||
цательного электричества е, вступает в однородное |
||||||||||
„магнитное поле напряжения Н |
со скоростью |
v0, пер- |
|
|
||||||
' пендикулярной к направлению напряжения поля. Определить траек- |
||||||||||
торию |
дальнейшего |
движения |
частицы, зная, что |
на частицу |
дей- |
|||||
ствует |
сила F—— |
е (v X И)- |
|
|
|
|
|
|||
При |
решении |
удобно |
пользоваться |
уравнениями |
движения |
точки |
||||
в проекциях на касательную и на главную нормаль к траектории. |
|
|||||||||
Ответ: Окружность радиуса —•—.
27.63 (731). Определить траекторию движения частицы массы т, несущей заряд е электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением Е = Acoskt (Ли k — заданные постоянные) со скоростью г% перпендикулярной к направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебрегаем. В электрическом поле на частицу действует
сила F= — еЕ.
|
еА ! |
k |
\ |
Отеет:у= |
гз |
1 — c o s — |
х), |
где ось у направлена |
по напряже- |
||
нию ноля, начало координат совпадает с начальным положением точки
вполе.
27.64(732). По негладкой наклонной плоскости движется тяже-
лое тело М, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизон-
тальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого момента
движение тела |
становится прямолинейным и равномерным, причем |
|||
из двух взаимно |
перпендикулярных составляющих скорости та, кото- |
|||
рая |
направлена |
параллельно АВ, равна |
12 см/сек. |
Определить вто- |
рую |
составляющую vi скорости, а 1акже |
натяжение |
7" нити при сле- |
|
217
дующих |
данных: |
уклон |
плоскости t g a = l / 3 0 , |
коэффициент трения |
|||
/ = 0 , 1 , |
вес тела |
300 |
н. |
|
|
|
|
Ответ: xi1 = 4,24 |
см/сек; 7*= 28,3 |
н. |
|
|
|||
27.65. Точка М массы т находится под действием двух сил при- |
|||||||
тяжения, направленных |
к неподвижным центрам |
О1 |
и О2 (см. чертеж). |
||||
Величина этих сил пропорциональна |
расстоянию |
от точек Ох и О2. |
|||||
Коэффициент пропорциональности одинаков и равен с. Движение
начинается в точке Ао |
со скоростью v0, перпендикулярной к линии Ofi2. |
|||||
Определить, какую |
траекторию |
опишет |
точка |
М. Найти моменты |
||
времени, когда она пересекает направление линии OjO2, |
и вычислить |
|||||
ее координаты в эти моменты времени. |
|
|
|
|||
Ответ: Эллипс |
|
= |
1. где |
£=1/ |
±. |
|
|
|
|
|
|
т ' |
|
|
,0, |
, = — 2а, |
_уо = < |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
h~у. 2я |
-^2 = —2а» |
^о = 0 |
и т. д. |
|
||
Время, в течение которого |
точка |
описывает эллипс, |
Т=-г-. |
|||
27.66. На точку А массы /я, которая начинает движение из положения г — г0 (где г— радиус-вектор точки) со скоростью ч>0, перпендикулярной к г0, действует сила притяжения, направленная к центру О и пропорциональная расстоянию от него.
|
Ао |
К задаче 27.65. |
К задаче 27.66. |
Коэффициент пропорциональности равен mc-j. Кроме того, на точку действует постоянная сила пгсг0. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение сг1с, чтобы траектория движения проходила через центр О? С какой скоростью точка пройдет центр О?
Ответ: 1) r=-ro |
-f |
г0 (* |
- - |
|
—= sin |
||
|
|
\ |
С |
2) эллипс |
•х—c~г0 |
|
•\rV7-1' |
||
|
2Г8