55.2 (1347). Весомый шарик находится в полости гладкой трубки,
|
|
|
|
|
Хг |
|
22 |
|
|
|
|
изогнутой по эллипсу -t-\—2= |
1, вращающемуся вокруг вертикаль- |
ной |
оси Oz |
с |
постоянной угловой |
скоростью |
со (ось Oz направлена |
вниз). |
Определить |
положения |
относительного равновесия шарика и |
исследовать |
их |
устойчивость. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
При |
ю 2 ^ ^ |
существуют два |
положения равновесия: |
а) |
х = 0, z — c |
(устойчивое); |
б) |
лг = О, z = — с (неустойчивое). |
|
При ю2 > ™ |
существуют |
три |
положения |
равновесия: а) |
дг = О, |
z=-\-c |
(неустойчивое); б) |
лг = О, г = — с (неустойчивое); в) |
z = ~~2 |
(устойчивое). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55.3 (1348). Весомый шарик находится в полости гладкой трубки, |
изогнутой по параболе хг |
— 2рг |
и вращающейся с постоянной угло- |
вой |
скоростью |
ш |
вокруг |
оси Oz. |
(Положительное направление оси |
Oz — вверх.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить положение относительного равновесия шарика и иссле- |
довать |
его |
устойчивость. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Существует единственное положение равновесия |
z = 0; |
оно устойчиво |
при со2 <Сglp |
и неустойчиво при и 2 >• glp; при to2 = |
=glp — безразличное равновесие.
55.4(1349). Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с узловой скоростью со. Потенциальная энергия V(s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого другой s, отсчитываемой вдоль кривой; г (s) — расстояние точки от оси вращения.
Определить частоту малых колебаний точки около ее относительною положения равновесия.
Ответ: k2 = — [-j-r- — -у \тг 4- w2 |
1 |
. где sa |
определяется из |
т \ as* ds[_ |
as] |
/s=s. |
|
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
ldV\ |
= |
ш 2 / |
|
|
|
|
\ds)s=s, |
\ |
|
|
|
55.5 (1350). Материальная точка |
с массой т описывает окруж- |
ность радиуса г0 |
под действием центральной силы |
притяжения, про- |
порциональной л-й степени |
расстояния: F = |
arn. |
|
Найти условия, при выполнении которых траектория возмущенгого |
движения близка к исходной окружности. |
|
|
Ответ: При |
л-< — 3 |
движение |
неустойчивое, |
а при л > — 3 |
устойчивое. |
|
|
|
|
|
|
55.6 (1351). Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью со. Точка G—центр инерции тела; плоскость NTG является плоскостью симметрии, ось OG — главной осью инерции. Ось KL параллельна NT, ось ED проходит через точку О и перпендикулярна к NT и OG. Моменты инерции тела относительно осей OG, KL и ED
равны |
соответственно |
С, |
А |
|
и В; А—длина отрезка |
OG; |
М — масса |
тела. Определить |
возможные |
|
положения |
относительного равновесия и |
исследовать |
их |
устойчивость. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: Возможным положением относитель-• |
|
|
ного |
равновесия |
отвечают |
следующие |
значения |
|
|
угла отклонения |
линии |
00 |
от оси Oz: |
|
|
|
|
а) ф= 0 [устойчиво, |
если |
В<С; |
при |
Z ? > C |
|
|
оно устойчиво, |
если ш2 <; й |
g |
i , и неустойчиво при |
|
|
"^ |
в~сг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ф= л (неустойчиво, если S > C ; |
при B<ZC |
|
|
оно устойчиво, |
если |
|
|
|
и |
неустойчиво |
|
|
при |
ю2<.с |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
К задаче 55.6. |
в) |
ф = |
|
|
|
|
|
|
[ существует, |
если |
|
|
(о2>•, » „.; |
устойчиво |
при |
В~>С |
и |
неустойчиво |
при |
5 < С ) . |
55.7. При условии задачи 48.29 исследовать малые движения системы вблизи положения равновесия а = 0 , ф = — и выяснить, устой-
чиво это положение равновесия или нет. Ответ: Положение равновесия а —0, ф =
= Y неустойчиво.
55.8 (1352). Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира О к вертикальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью со; маятник симметричен относительно своей продольной оси; А к С — его моменты инерции относительно главных центральных осей инерции £, х\ и £; Л—рас- стояние центра тяжести маятника от шарнира. Исследовать устойчивость положений равновесия маятника и определить период колебаний около среднего положения равновесия.
Ответ: Положения равновесия и их устой- |
К задаче 55.S. |
чивость |
определяются |
формулами, |
данными в |
|
ответе к |
задаче 55.6 |
(в них нужно |
положить |
B=A-\-M№). Период |
колебаний
Т-
56.9 (1353). Вертикальная ось симметрии гонкого однородного круглого диска радиуса г и весом Q может свободно вращаться вокруг точки А. В точке В оно удерживается двумя пружинами. Оси
пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жесткости
|
|
|
|
|
|
|
соответственно равны cf и с2, |
причем с2 > |
cv |
Пружины крепятся |
к оси диска на расстоянии L от |
нижней опоры; расстояние диска от |
нижней опоры /. Определить угловую ско- |
рость |
<й, которую |
нужно |
сообщить диску |
для обеспечения устойчивости вращения. |
Ответ: При Ql<.CiL2 |
система устой- |
чива |
при |
любой |
угловой |
скорости; при |
Q / > c a L 2 |
система устойчива, если |
co>to*, |
где |
|
|
{/ '-¥+ |
|
|
|
|
|
При |
ctZ.a < Ql <ZсгЬг |
система |
неустой- |
чива при любой угловой скорости. |
55.10 |
(1354). |
Материальная |
точка М |
движется под действием силы тяжести по |
поверхности кругового цилиндра |
радиуса |
а, ось которого |
наклонена под углом а |
квертикали. Исследовать устойчивость
|
|
движения по нижней |
(<? = 0) и |
верхней |
|
|
(ср= тс) образующим. |
Определить |
период |
К задаче 55.9. |
колебаний при |
движении по нижней об- |
|
|
разующей, |
|
|
|
Ответ: |
Движение по |
верхней образующей |
неустойчиво; период |
колебаний |
при возмущении движения вдоль |
нижней образующей |
g sin a *
55.11 (1355). Материальная точка вынуждена двигаться по гладкой поверхности тора, заданного параметрическими уравнениями
,2
тд
К задаче 55.10. |
|
|
|
jc = рcos«5*; .y=psint|>; 2=6sin&; |
p= a + &c °s$ |
(ось z направ- |
лена вертикально вверх). Найти возможные движения |
точки, харак- |
теризующиеся постоянством угла |
%, и исследовать |
их |
устойчивость. |
Ответ'. Значения &==&;= const находятся из уравнения
где а = — , р = —^-; (J) = со = const. Это уравнение допускает два существенно различных решения:
Движение, соответствующее первому решению, устойчиво, второму —• неустойчиво.
55.12 (1356). Исследовать устойчивость движения обруча, равномерно катящегося с угловой скоростью ш по горизонтальной плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а.
Ответ: Движение устойчиво, если ш 2 > ^ .
55.13 (1357). Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса а, скорость центра его в исходном движении v. Исследовать устойчивость движения.
Ответ: Движение устойчиво при v2 >• • % .- •ag.
55.14(1358). Исследовать устойчивость движения однородного
обруча радиуса а, вращающегося вокруг |
вертикального диаметра |
с угловой |
скоростью |
со. Нижняя |
точка |
обруча |
соприкасается с гори- |
зонтальной |
плоскостью. |
|
|
|
|
Ответ: |
Движение |
устойчиво |
при ш2 >. — &-, |
|
|
|
|
|
3 |
а |
|
|
|
z\ |
|
|
|
|
|
|
ii |
|
|
|
|
|
/ / |
i |
|
|
/ |
|
|
1 |
|
|
|
/ |
|
oi |
|
|
/ |
|
|
Л- |
|
|
|
|
|
|
i |
V/ |
|
/ |
|
/ |
|
i |
/ |
|
x |
i |
/ |
Ш. |
|
|
|
l |
|
|
|
Кзадаче 55.15.
55.15(1359). На материальную точку массы т, отклоненную от положения равновесия, действуют: сила Fn по величине пропорцио-
нальная отклонению ОМ = г = ] / ^ a + J 2 «3 этого положения и
направленная к нему, сила Fr перпендикулярная к первой (боковая сила), по величине тоже пропорциональная отклонению г:
Исследовать |
методом малых колебаний устойчивость равновесного |
положения точки. |
|
|
|
|
У к а з а н и е . В таких |
условиях будет находится |
точечная |
масса, за- |
крепленная на |
свободном конце сжатого |
и скрученного стержня (с одинако- |
выми главными |
жесткостями |
на изгиб), |
нижний конец |
которого |
заделан. |
Прямолинейной форме стержня соответствует состояние равновесия. Коэф-
фициенты |
сп, |
С(2 |
зависят |
от |
сжимающей |
силы, |
скручивающего |
момента, |
длины стержня |
и от жесткостей |
на изгиб и кручение. |
|
|
Ответ: Равновесие |
неустойчивое. |
|
|
|
|
|
55.16 |
(1360). При |
исследовании |
устойчивости |
движения точки |
в предыдущей |
задаче |
принять во внимание силы сопротивления, про- |
порциональные |
первой |
степени |
скорости: |
Rx = — $Я, Ry |
— — PJ> |
'ф — коэффициент сопротивления). |
|
|
|
|
|
|
Ответ: Равновесие устойчиво |
при |
$гсг\ >> тс\г. |
|
|
55.17 |
(1361). |
Если |
у стержня, описанного в задаче 50.15, жест- |
кости на |
изгиб |
не |
равны, то реакции конца стержня, действующие |
на массу т, определяются выражениями |
|
|
|
|
Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости равно- |
весия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: При (си |
— с2 2 )2 -f- 4с1 2 с21 > |
0 |
равновесие |
устойчиво. |
55.18 (1362). Уравнение движения |
муфты |
центробежного |
регуля- |
тора |
двигателя имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тх + PJP + сх = А (ш— а>0), |
|
|
где |
х—перемещение |
муфты |
регулятора, т — инерционный коэффи- |
циент системы, р— коэффициент сопротивления, с — жесткость пружин регулятора, ш— мгновенная и ш0 — средняя угловая скорость машины, А—постоянная. Уравнение движения машины имеет вид
(В—постоянная, J—приведенный момент инерции вращающихся частей двигателя).
Установить условия устойчивости системы, состоящей из двигателя и регулятора.
- Ответ: Система устойчива при
т
(с, р, J, А, В считаются положительными).
55.19(1363). Симметричный волчок, острие которого помещено
внеподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, кото-