Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1484

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

21.6. Сверхпроводимость

 

 

 

 

 

471

*

′

) = δ

2

′

) .

(21.6.81)

å un (k)un

(k

 

(k − k

n

Теперь можно переписать эффективный потенциал (21.6.74) как

 

1

X

å

V[ ] =

 

Y d2kd2k′

 

 

π 3

Y

 

2(2 )

Z

n

*

k′

u*

(

k′

k u

n

k L

 

k

O

(

)

n

) ( )

 

( )

M

lnF

| ( )|I

− 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vF (k′)vF (k)

 

 

G

 

P

 

 

 

 

M

H

Λn K

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

Q

(21.6.82) Для вещества с локальной инвариантностью относительно вращений поверхность Ферми является сферой, и собственные векторы un(k) — сферические гармонические функции координат на этой сфере, однако выражение (21.6.82) справедливо без всяких предположений об инвариантности относительно вращений.

Мы можем использовать этот формализм для объяснения того, когда возникает сверхпроводимость. Логарифм в выражении (21.6.82) большой и отрицательный для очень малых , и большой и положительный для очень больших , так что, пока общий масштаб растет от нуля до бесконечности, V[ ] падает от нуля до отрицательных зна- чений, а затем растет до бесконечности. Поэтому при любом элект- рон-электронном потенциале V[ ] всегда имеет минимум при не равном нулю значении . Однако этот результат требует важного уточнения. Когда мы устремляем обрезание κ к бесконечности, интег-

рал в (21.6.73) эффективно обрезается на значениях l порядка | |/vF, в то время как поверхность Ферми имеет радиус порядка κF, ãäå 8πkF3 / 3(2π)3 есть плотность числа электронов. Поскольку мы предпо-

лагаем, что учитываются электроны, находящиеся в тонкой оболоч- ке вокруг поверхности Ферми, вывод верен только при условии, что | | n ωD, ãäå ωD — дебаевская частота κFvF. В частности, в случае

инвариантности относительно вращений и не зависящей от направления щелевой функции, эффективный потенциал достигает локально-

го минимума при щелевой функции порядка Λs-волна, òàê ÷òî äî òåõ ïîð, ïîêà Λs-волна n ωD, симметрия спонтанно нарушена. Этот резуль-

тат можно выразить иначе, сказав, что для s-волновой сверхпроводимости s-волновая проекция электрон-электронного потенциала (21.6.80) после перенормировки на масштабе μ d ωD должна быть при-

тягивающей. Однако не имеет значения, насколько силен этот перенормированный притягивающий потенциал.

472 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Это свойство сверхпроводимости, заключающееся в том, что голдстоуновский бозон образует притягивающий потенциал, как бы слаб этот потенциал не был, есть следствие существования ферми-поверхности, усиливающей эффекты дальнодействия. В квантовых теориях поля, не содержащих элементарных бесспиновых полей типа рассмотренных в разделе 21.5, мы обычно не должны ожидать спонтанного нарушения симметрии в пустом пространстве, если только взаимодействия не достаточно сильны.

Вернемся к случаю внешнего электромагнитного поля. Как обычно, можно ввести поле голдстоуновского бозона j(x, t), çàïè-

сав каждое заряженное поле в теории, которым в данном случае является щелевое поле D(x, x¢, t) или спаренное поле Y(x, x¢, t),

как калибровочное преобразование с калибровочным параметром j(x, t), действующее на соответствующее калибровочно инвариан-

тное поле, которое мы отмечаем знаком тильды:

Y(x, x¢, t) = expb-ij(x, t)gY~ (x, x¢, t) expb-ij(x¢, t)g. (21.6.83)

После этого эффективное действие определяется подстановкой (21.6.83) в (21.6.59). С помощью калибровочного преобразования можно теперь устранить зависимость от j в выражении (21.6.83), подразумевая при этом, что Aμ(x) в формуле (21.6.60) заменено на Aμ(x) – μj(x). Если вещество не только сверхпроводящее, но на-

ходится в состоянии, далеком от точки перехода между сверхпроводящим и нормальным состояниями, можно также проинтегрировать по калибровочно инвариантным степеням свободы, связанным с полем Ψ~ (x, x′, t) , что означает просто его замену на равновесное значение Y0(x,x¢, t). Зависящая от голдстоуновского и внешнего

электромагнитного полей часть эффективного действия имеет тогда вид

G[j, A] = G

 

L

A

B O

LA

0

O

 

(21.6.84)

=0

[A] - i ln DetM

 

†

-A

T P

+ i ln DetM

0

-A

T P

,

 

 

NB

 

Q

N

Q

 

 

где теперь

 

 

 

 

L

∂

+ eA0

 

O

Ax′t,xt = M-i

 

(x, t) - ej(x, t) + Eb-iÑ + eA(x, t) - eÑj(x, t)gP

N

¶t

 

&

(21.Q6.85)

 

 

´ d3 (x¢ - x)d(t¢ - t) ,

 

Приложение

 

 

 

 

 

473

Bx′t,xt =

0 (x

′

− x)δ(t

′

− t).

(21.6.86)

 

 

Количественные свойства сверхпроводников типа глубины проникновения можно извлечь 46 из разложения выражения (21.6.84) по степеням A0 (x, t) − ϕ& (x, t) è A(x, t) - Ñj(x, t) .

Приложение. Произвольная унитарная калибровка

В этом приложении мы покажем, что в произвольных спонтанно нарушенных калибровочных теориях всегда можно выбрать «унитарную» калибровку, в которой поля голдстоуновских бозонов удовлетворяют условию (21.4.30)

å Fab2 ξaeαb = 0 .

(21.À.1)

ab

 

Используя экспоненциальную параметризацию, верную для всех групп, заметим, во-первых, что любой элемент G, по крайне мере, в конечной окрестности единицы, может быть записан в виде

F

 

I

F

I

F

I

 

g = expG

−iå θα Tα J expG iå ϕaxa J expG iå μiti J ,

(21.À.2)

H

α

K

H a

K

H i

K

 

ãäå ϕa подчинено для всех α линейному ограничению

 

 

 

 

å Fab2 ϕaeαb

= 0 .

 

 

(21.À.3)

 

 

ab

 

 

 

 

 

Это легко увидеть, когда элемент g бесконечно близок к единице. Любой такой элемент g можно записать как

g = 1 + iå ϕ0axa + iå μ0i ti ,

(21.À.4)

a

 

i

 

с бесконечно малыми ϕ0a è μ0i . Эквивалентно,

 

g = 1 + iå ϕaxa

+ iå μiti

− iå θα Tα ,

(21.À.5)

a

i

α

 

474 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

ãäå θa — произвольные бесконечно малые параметры, а

 

ϕa (θ) ≡ ϕ0a + å θαeαa ,

(21.À.6)

α

 

μ i (θ) ≡ μ0i + å θαeαi .

(21.À.7)

α

 

Для любого данного можно выбрать θa так, чтобы минимизировать

положительную величину

å Fab2 ϕa (θ)ϕb (θ) .

(21.À.8)

ab

 

В этом минимуме величина (21.А.8) стационарна по отношению к вариациям θa, òàê ÷òî ϕa(θ) удовлетворяет условию (21.А.3). Для бесконечно малых ϕ, μ è θ формула (21.А.5) совпадает с (21.А.2), так что мы видим, что множество всех g вида (21.А.2) (с ϕa, óäîâ-

летворяющими условию (21.А.3)) включает все g, бесконечно близкие к единице. Из соображений непрерывности следует, что все это верно для всех g по крайней мере в некоторой конечной окрестности единицы.

Далее, рассмотрим конкретный групповой элемент

 

 

 

F

I

 

 

 

 

g = γ (ξ) = expG iå ξaxa J

 

 

(21.À.9)

 

 

 

H a

K

 

 

 

и запишем его в виде (21.А.2):

 

 

 

 

 

 

F

 

I

 

F

 

I

 

γ (ξ) = expG

−iå θα (ξ)Tα J

γ (ϕ(ξ)) expG iå μ i

(ξ)ti J ,

(21.À.10)

H

α

K

 

H

i

K

 

ãäå ϕa(ξ) подчиняется условию (21.А.3). Это означает, что калиб-

ровочное преобразование expdiåα θa (ξ)Tα i

превращает ξa â

ξ′

= ϕ

 

(ξ) .

(21.À.11)

a

 

a

 

 

Смотрите также файлы