Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1483

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

466 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Ψ+ − (x′, x, t) = −Ψ− + (x′, x, t) ≡ Ψ(x′, x, t) ,

(21.6.55)

где нижние индексы + и – соответствуют спиновым индексам +1/2 и –1/2, соответственно *. С учетом инвариантности относительно вращений по спиновым индексам, необходимые компоненты потенциала имеют вид

′

′

, x, t) = −V− ++ −

′

′

, x, t)

V+ − + − (x

, x, t) − V+ −− + (x

(x

, x, t) + V− + − + (x

 

 

º 2V(x¢, x, t) .

(21.6.56)

Тогда из выражения (21.6.54) следует:

 

 

 

 

 

 

 

 

+ − (x′, x, t) = −

 

− + (x′, x, t) ≡ (x′, x, t) ,

 

(21.6.57)

 

 

 

 

 

++ = (x′, x, t) =

−− (x′, x, t) = 0 .

 

(21.6.58)

Поэтому квантовое эффективное действие равно

 

 

 

 

 

G[Y] = z dtz d3x1d3x2d3x3d3x4V(x1, x2 , x3 , x4 )

 

 

 

 

 

 

 

´ Y†(x2 , x1, t)Y(x3 , x4 , t)

 

 

 

(21.6.59)

 

 

 

 

 

F A

 

B I

 

 

 

 

 

 

 

 

- i ln DetG

†

-A

T J ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H B

 

K

 

 

 

 

ãäå

 

 

R-i

∂ - A (x, t) + Eb-iÑ + A(x, t)gUd3 (x¢ - x)d(t¢

 

 

Ax′t

xt

º

- t),

 

,

 

 

S

¶t

0

 

 

 

 

V

 

(21.6.60)

 

 

 

T

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

Bx′t,xt ≡ −

′

, x, t) δ(t

′

− t)

 

(21.6.61)

 

 

 

 

 

(x

 

 

è

 

 

D(x¢, x, t) º z d3 yd3 y¢V(x¢, x, y¢, y)Y(y¢, y, t) .

 

 

 

 

 

 

(21.6.62)

Используем сначала эти результаты для рассмотрения трансляционно инвариантного случая без внешних электромагнитных полей.

* В жидком Не3 неисчезающие компоненты спàренного ïоля образуют спиновый триплет с компонентами Ψ1 = Ψ+ + , Ψ0 = 2Ψ+ − = 2Ψ−+, Ψ−1 = Ψ− −

21.6. Сверхпроводимость

467

Тогда поля пары и щели можно записать как фурье-преобразо- вания

Ψ(x′, x) = z d3p eip×(x′ -x)Ψ(p) ,

(21.6.63)

(x′, x) = (2π)-3 z d3p eip×(x′ -x) (p) ,

(21.6.64)

а электрон-электронный потенциал принимает в данном случае вид

z d3x1d3x2d3x3d3x4 eip′×(x1 -x2 ) eip×(x3 -x4 )V(x1, x2 , x3

, x4 )

≡ V 4V(p′, p) ,

(21.6.65)

 

ãäå V4 — пространственно-временной объем

 

V 4 ≡ z d3xz dt1.

(21.6.66)

После перехода в представление волновых чисел и частот «матрицы» (21.6.60) и (21.6.61) становятся диагональными, и вычисление детерминанта становится тривиальным. ффективный потенциал (не путать с электрон-электронным потенциалом) был определен в разделе 16.1 как взятое со обратным знаком эффективное действие в единице пространственно-временного объема:

V[Ψ] ≡ −Γ[Ψ] / V 4

= −z d

3

pd

3

*

′

 

 

′

, p)Ψ(p)

 

 

 

 

 

 

 

p′Ψ

(p

)V(p

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

| (p)|2

I

 

(21.6.67)

+

 

 

 

 

 

z dωd3p lnG

1

−

 

 

 

 

 

J

,

 

(2π)

4

 

ω

2

− E

2

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

 

(p) + iε K

 

 

ãäå

(p) = −z d3p′V(p′, p)Ψ(p′) .

 

 

 

 

 

 

 

 

(21.6.68)

(×ëåí iε может быть получен из фейнмановских правил для элект-

ронных петлевых диаграмм, и, как показано в разделе 9.2, он в конце концов возникает из условий на электронное поле при t → ±∞.) Совершая виковский поворот, интегрируя по ω и выражая Ψ через , получим

468 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

V[ ] = −z d

3

pd

3

p

′

*

 

′

)V

−1

′

, p) (p)

 

 

 

 

 

 

(p

 

(p

 

 

1

 

 

x d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(21.6.69)

−

 

 

3

p

E

2

(p)+|

(p)|

2

− E(p)

.

 

 

 

 

(2π)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как мы видели в разделе 16.1, уравнения поля являются просто условием стационарности эффективного действия, которое в нашем случае приводит к знаменитому уравнению для щели для равновесной функции щели 0(p):

0 =

δV[

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δΔ* (p)

 

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0 (p)

 

= −z d

3

 

′

 

−1

′

 

′

) −

 

 

 

 

p V

 

(p, p

)

0 (p

 

 

 

 

 

 

 

2(2π)3

 

 

 

 

 

 

 

 

E2 (p)+| (p)|2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или, в более знакомом виде,

 

(p) = −

1

 

X

3

 

′

V(p, p′)

0

(p′)

 

.

 

0

2(2π)

3

Y d

p

 

 

 

 

 

 

(21.6.70)

 

 

E2 (p′)+|

(p′)|2

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

Везде выше все интегралы по импульсам неявно понимались как ограниченные импульсами вида (21.6.39) внутри тонкой оболочки толщиной κ вокруг поверхности Ферми. Тогда эффективный потен-

циал (21.6.69) имеет вид

V[ ] = −κ

2

 

 

 

2

 

2

k

′

*

 

′

)V

−1

 

′

, k) (k)

 

 

 

 

 

zS d

kd

 

 

(k

 

(k

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Xκ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(21.6.71)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

π

 

3

 

d k

l vF

(k)+| (k)|

 

− lvF (k)

.

 

 

 

 

Y

dlx

 

 

 

(2

 

)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь эффективный потенциал следует понимать как функционал только от функции щели на поверхности Ферми.

Поскольку κ произвольно, потенциал V(k′, k) должен имет такую зависимость от κ, чтобы V[ ] был независим от κ. В большин-

стве приложений 44 методов ренормгруппы к сверхпроводимости используется описанный в разделе 12.4 подход Вильсона, заключа- ющийся в выводе дифференциального уравнения для зависимос-

21.6. Сверхпроводимость

469

òè V(k′, k) îò κ и изучении поведения его решений при κ → 0. Ñ

целью показать гибкость в подходах полезно заметить, что можно с тем же успехом воспользоваться подходом Гелл-Манна–Лоу и ввести перенормированный электрон-электронный потенциал 44à

Vμ−1

(k′, k) ≡

δ2 V[ ]

,

 

 

 

 

(21.6.72)

*

′

)δΔ(k)

 

 

δΔ

(k

(k) = (k)* = μ

 

 

 

 

 

 

 

ãäå μ — скользящая шкала перенормировки типа введенной в раз-

деле 18.2. Выражая исходный электрон-электронный потенциал че- рез Vμ, получаем вместо формулы (21.6.71)

V[ ] = −zS d

2

kd

2

k

′

*

′

)V

−1

 

′

, k) (k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k

 

 

(k

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Xκ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

π

 

 

3

 

 

 

 

 

l vF (k)+| (k)| − lvF (k)

 

 

 

 

Y dlx d k

 

(2

 

)

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

μ2

 

k 2

 

O

(21.6.73)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| (

k

 

 

 

 

 

 

 

| (

 

−

 

 

 

 

 

 

 

)|

 

 

 

+

 

 

 

)|

 

 

P .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(l2vF2 (k) + μ2 )1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

4(l2vF2 (k) + μ2 )3/2 P

 

Теперь интеграл по l сходится если устремить обрезание к бесконечности, что дает

V[ ] = −zSd2kd2k′

+

2

 

X

 

 

Y

2(2π)

3

 

 

 

ZS

* (k′)V−1(k′, k) (k)

 

k 2

L

 

|

k

O

 

d2k

| ( )|

M

lnF

(

)| I

− 1 .

(21.6.74)

 

 

 

 

J

 

vF (k)

G

μ

 

P

 

 

M

H

 

K

P

 

 

 

N

 

 

 

 

 

Q

 

Условие стационарности V[

] ïðè

=

0 приводит к щелевому урав-

нению в наиболее полезной форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

′

 

−1

′

 

′

F

|

(k′)| I

 

0 (k) = Y d

2

 

 

)

) lnG

 

 

J .

(21.6.75)

 

 

 

 

 

k Vμ (k, k

) vF

(k

0 (k

 

μ

ZS

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка его в формулу (21.6.74) показывает, что плотность энергии сверхпроводящего состояния меньше, чем у нормального состояния, на величину

470 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

 

X

 

|

0

(k)|2

 

 

≡ V(0) − V(

0 ) = Y

d2k

 

 

.

(21.6.76)

2(2π)3 vF (k)

 

ZS

 

Конечно, зависимость от μ электрон-электронного потенциала Vμ должна быть выбрана так, чтобы удовлетворять уравне-

нию ренормгруппы, обеспечивающему выполнение условия, что эффективный потенциал (21.6.74) не зависит от произвольного масштаба перенормировки μ:

 

 

 

 

d

 

 

 

−1

 

′

 

 

 

δ2

(k′

− k)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, k) = − 2(2π)3 vF (k)

 

 

 

 

 

 

 

μ dμ Vμ

(k

 

 

 

 

или, эквивалентно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

d

′

, k) =

1

 

 

z d

2

′′

′

, k

′′

−1

′′

)Vμ (k

′′

, k) . (21.6.77)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dμ

Vμ (k

2(2π)3

 

k Vμ (k

 

)vF (k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это можно с пользой переписать с помощью эрмитового ядра

 

 

Kμ (k′, k) ≡

1

 

 

vF−1/2 (k′)vF−1/2 (k)Vμ (k′, k) ,

 

(21.6.78)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(2π)3

 

êàê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μ

d

 

Kμ = Kμ2 .(21.6.79)

 

 

 

 

 

 

 

 

dμ

 

 

 

 

Поэтому собственные векторы un(k) ÿäðà Kμ(k, k′) не зависят от μ, в то время как собственные значения принимают вид 1/ln(Λn/μ), ãäå Λn — константы интегрирования типа Λ в квантовой хромоди-

намике. Таким образом, получаем следующее выражение для потенциала

*

(k

′

)

 

 

Vμ (k′, k) = 2(2π)3 v1/2F (k)v1/2F (k′)å

un (k)un

 

,

(21.6.80)

 

μg

 

 

n lnbΛ n

 

 

 

 

где собственные векторы выбраны ортонормированными, так что условие полноты принимает вид

Смотрите также файлы