Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1486

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

462 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Р, а другая — нуль. Пересечение этих оболочек есть замкнутое кольцо толщиной κ, так что нужно интегрировать по одной компо-

ненте k, задающей положение вдоль кольца, и двум l, задающим положение внутри сечения кольца.) Следовательно, имеется I интегралов по l, и так как подынтегральное выражение ведет себя как lL–I, матричный элемент будет изменяться как

M κL.

(21.6.43)

Число петель связано с числом внутренних линий и числом Vi вершин типа i знакомым соотношением

L = I − å Vi + 1 .

(21.6.44)

i

 

Кроме того, число внутренних линий связано с числом вершин и числом внешних линий Е другим знакомым соотношением

2I + E = å ni Vi ,

(21.6.45)

i

 

ãäå ni — число электронных операторов во взаимодействии типа i. Исключая I из соотношений (21.6.44) и (21.6.45), получаем

L = 1 −

E

+

1

å Vi (ni − 2) .

(21.6.46)

 

 

2 2

i

 

Слагаемые в действии с ni = 2 приводят только к изменению функции E(p), и следовательно, к сдвигу поверхности Ферми. Истинные взаимодействия имеют ni > 2, и из соотношений (21.6.43) и (21.6.46) следует, что они приводят к слагаемым в матричном элементе, дающим пренебрежимо малые вклады при κ → 0. На языке

раздела 18.5, это означало бы, что все взаимодействия являются несущественными операторами. Вот почему электроны вблизи поверхности Ферми в нормальных металлах ведут себя во многом как свободные частицы.

Однако, есть одно исключение из этого вывода. Если пара электронных линий переходит в вакуум, то трансляционная инвариантность требует, чтобы импульсы этих линий были равны

21.6. Сверхпроводимость

463

по величине и противоположны по направлению. Таким образом, если один импульс находится вблизи поверхности Ферми, это же относится и ко второму. (Инвариантность относительно обращения времени требует, чтобы E(p) было четной функцией р, так что, даже если поверхность Ферми в общем случае несферическая, из Е(р) =0 следует, что Е(–р) =0.) Следовательно, интеграл по импульсу р одной из этих линий берется по оболоч- ке толщиной k, или, иными словами, по двум k и одному l. Для

каждого взаимодействия, включающего две такие линии, имеется не два, а одно интегрирование по l, так что вместо уменьшения порядка величины матричного элемента на множитель k,

как это указано в (21.6.43) и (21.6.46), подобное взаимодействие не оказывает на порядок величины матричного элемента никакого влияния. иными словами, взаимодействия, включающие четыре электронных оператора и действующие между электронными линиями, переходящими в конце концов в вакуум, становятся не несущественными, а маргинальными.

Чтобы увидеть следствия из этого исключения, удобно воспользоваться приемом, известным как преобразование Хаббарда– Стратоновича 45, которое кратко упоминалось в разделе 1.7. Теперь мы собираемся включить медленно меняющиеся внешние электромагнитные поля, так что будет удобно работать в координатном представлении. Из калибровочной инвариантности следует, что функция Лагранжа (21.6.37) примет вид

X

3

†

L

 

 

O

 

L = -å Y d

 

xys (x, t)M-i

 

 

- A0 (x, t) + Eb-iÑ + A(x, t)gPys

(x, t)

 

¶t

s Z

 

 

N

 

Q

 

+ å z d3x1d3x2d3x3d3x4Vs1s2s3s4 (x1, x2 , x3 , x4 )

(21.6.47)

s1s2s3s4

 

 

 

 

 

 

 

´ y†s (x1

, t) y†s

(x2 , t) ys

(x3

, t) ys (x4 , t) ,

 

1

 

2

 

3

4

 

ãäå

 

ys (x, t) º (2p)−3/2 z d3p exp(ip × x) a(p, s, t) .

 

 

 

(21.6.48)

Отбросим теперь слагаемые с более чем четырьмя электронными операторами, поскольку все эти слагаемые несущественны. Добавим к этой функции Лагранжа слагаемое

464 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

DL =

1

 

 

d3x1d3x2d3x3d3x4 å Vs1s2s3s4 (x1, x2 , x3 , x4 )

 

4 z

 

 

 

 

 

s s s s

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´

Y† (x

 

, x

, t) - y† (x

 

, t) y† (x

 

, t)

 

(21.6.49)

 

 

 

 

s2s1

2

1

s1

1

 

 

s2

2

 

 

´ Ys3s4 (x3 , x4 , t) - ys3 (x3 , t) ys4 (x4 , t)

èсовершим функциональное интегрирование по новому полю «пары» Y(x, s, x¢, s¢, t) и по электронному полю y. Это возможно, потому что добавка DL квадратична по полям пар, а коэффици-

ент при слагаемом второго порядка не зависит от поля, поэтому,

согласно приложению к гл. 9, интегрирование по Yss′(x, x¢, t) в функциональных интегралах сводится к тому, что Yss′(x, x¢, t)

надо положить равным значению в стационарной точке лагран-

жиана Yss′(x, x¢, t) = ys(x, t)ys′(x¢, t), в которой DL = 0. Дополни-

тельное слагаемое выбрано так, чтобы слагаемые в сумме L + DL, которые четвертичны по электронным полям, сократились, и

остались только квадратичные по этим полям члены:

L +

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

3

 

†

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

= -å Y d

x ys

(x, t)S-i

 

 

 

- A0

(x, t) + Eb-iÑ + A(x, t)gVys(x, t)

 

 

 

¶t

 

 

 

 

 

 

 

s

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

 

 

-

 

 

1

s sås s

 

z d3x1d3x2d3x3d3x4Vs1s2s3s4 (x1, x2 , x3 , x4 )

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1 2

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´

 

y†

(x

1

, t) y†

(x

2

, t)Ys s

(x

3

, x

4

, t)

+ Y†

(x

2

, x

, t)ys

(x

3

, t) ys

(x

4

, t)

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

s s

 

1

3

 

4

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

-Y†

(x

2

, x

, t)Ys s

(x

3

, x

4

, t)

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(21.6.50)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s2s1

 

 

 

1

 

 

3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходим к самому главному. Мы показали, что взаимодействие V несущественно, за исключением случаев, когда оно действует на пару электронных линий, переходящих в вакуум. Когда мы вычисляем квантовое эффективное действие G[Y] в присутствии внешнего медленно меняющегося поля пар Yss′(x, x¢, t), ýòî îçíà-

чает, что мы опускаем все диаграммы, за исключением тех, которые становятся несвязными после разрезания по любой внутренней линии Y. Однако общее определение квантового эффективного

действия требует, чтобы мы отбросили все диаграммы, которые

21.6. Сверхпроводимость

465

становятся несвязными после разрезания по любой внутренней линии. Следовательно, мы не должны вообще включать никаких внутренних линий Y. Так как электронное поле входит в выраже-

ние (21.6.50) квадратично, единственные выживающие диаграммы после интегрирования по электронным полям — это диаграмма с одной вершиной, возникающая от последнего слагаемого в квадратных скобках в (21.6.50), и однопетлевая диаграмма, которая по тем же соображениям, что и в разделе 16.2, дается логарифмом детерминанта от коэффициента при квадратичных по электронным полям слагаемых:

G[Y] =

1

 

 

å

 

z

dt

z

d3x1d3x2d3x3d3x4Vs1s2s3s4 (x1, x2 , x3 , x4 )

 

 

 

 

4 s1s2s3s4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´ Y†

(x

2

, x

 

, t)Ys s (x

3

, x

4

, t)

 

 

 

 

 

 

 

s s

 

 

1

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

(21.6.51)

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

F

A

 

B

I

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

+ const.

 

 

 

ln Det G

 

T J

 

 

 

 

 

 

†

-A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

H B

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь А и В — «матрицы»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

Ax′s′t′,xst º ds′s S-i

 

 

 

- A0 (x, t) + Eb-iÑ + A(x, t)gV d3 (x¢ - x)d(t¢ - t) ,

¶t

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

(21.6.52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bx′s′t′,xst

≡ −

 

s′s (x

′

, x, t)δ(t

′

− t),

(21.6.53)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à D — ùåëü,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ds′s (x¢, x, t) º

1

 

å z d3 yd3 y¢Vs′sσ′σ (x¢, x, y¢, y)Ys′s (x¢, x, t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 σ′σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(21.6.54)

(Здесь и ниже мы игнорируем аддитивную постоянную в G, âîç-

никающую от тех мод, по которым произведено интегрирование.) Это одна из задач, в которой можно вычислить эффективное действие, не делая каких-либо предположений о малости взаимодействия в лагранжиане.

Чтобы упростить дальнейшее обсуждение, ограничимся слу- чаем синглетного по спину спаренного поля

Смотрите также файлы