ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1368
Скачиваний: 1
636 Глава 23. Протяженные полевые конфигурации
|
| |
|
n - even, |
|
||
p |
R Z(2n+2)!, |
p2n (SU(n)) = Zn! . |
||||
4n+2 bUSp(2n)g = S |
|
|
|
|
||
|
T|Z2(2n+2)!, n - odd; |
|
||||
Теоремы периодичности Ботта |
|
|||||
Äëÿ n ³ (k – 1)/4, k ³ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R Z, |
k = 3,7 (mod 8); |
|||
|
pk bUSp(2n)g = |
| |
|
k = 4,5 (mod 8); |
||
|
SZ2 |
, |
||||
|
|
| |
|
k = 0,1,2,6 (mod 8); |
||
|
|
T 0, |
|
|||
Äëÿ n ³ k + 2, k ³ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R Z, |
k = 3,7 (mod 8); |
|||
|
pk bSO(n)g = |
| |
|
k = 0,1 (mod 8); |
||
|
SZ2 |
, |
||||
|
|
| |
|
k |
= 2, 4,5,6 (mod 8); |
|
|
|
T 0, |
|
|
||
Äëÿ n ³ (k + 1)/2, k ³ 2
RZ, k − even; pk bSU(n)g = ST 0, k - odd .
Фактор-пространства
Для любой группы Ли G и любой подгруппы Ли H ф G
π2 bGHg = kerlπ1(H) a π1(G)q .
Это означает, что p2(G/H) есть та подгруппа p1(H), которая отображается в тривиальный элемент p1(G) при вложении H и G.
В частном случае
π2 bGHg = π1(H), åñëè π1(G) = 0.
Задачи |
637 |
Задачи
1.Какого типа слагаемое следует добавить в действие для полей голдстоуновских бозонов в четырехмерном евклидовом простран- стве-времени, чтобы стало возможным получить топологически нетривиальные полевые конфигурации, на которых действие стационарно?
2.Рассмторите теорию скалярных полей в шести пространственных измерениях, в которой киральная симметрия SU(2) × SU(2)
лагранжиана спонтанно нарушается до SU(2) группы изоспина. Предположите, что в лагранжиан добавлено достаточное коли- чество слагаемых с высшими производными, так что скирмионы стабилизированы. Какому типу закона сохранения подчиняются эти скирмионы? (Указание: заметьте, что как показано в разделе 2.7, SU(2) топологически то же самое, что S3.)
3.Покажите, что все πn(M) для n > 1 и произвольных многообра-
зий М являются абелевыми.
4.Какова зависимость от константы связи вклада инстантонов с единичным топологическим числом в SU(4) калибровочной теории?
5.Выведите формулу для массы аксиона в случае, когда все массы mu, md è ms ìàëû.
6.Рассмотрите теорию действительного скалярного поля ϕ ñ ëàã-
ранжианом
L = − 1 ∂μϕ∂μϕ + 1 m2ϕ2 − 1 λϕ4 − gϕ , |
||
2 |
2 |
4 |
ãäå m2 è λ положительны, а g очень мала. Вычислите экспонен-
циальный подавляющий множитель exp(–B) в вероятности распада метастабильного вакуумного состояния через m2, λ è g.
638 |
Глава 23. Протяженные полевые конфигурации |
Список литературы
1.Belavin, A.A., Polyakov, A.M., Schwarz, A.S., and Tyupkin, Yu.S., Phys. Lett., 59B, 85 (1975).
2.′t Hooft, G., Nucl. Phys., B79, 276 (1974); Polyakov, A.M., JETP
Letters, 20, 194 (1974).
3.Skyrme, T.H.R., Proc. Roy. Soc. London, A260, 127 (1961).
4.Nielsen, H. and Oleson, P., Nucl. Phys., B61, 45 (1973).
5.Zel′dovich, Ya.B., Kobzarev, I.Yu., and Okun’, L.B., Sov. Phys.
JETP, 40, 2 (1975).
6.Coleman, S., Phys. Rev., D15, 2929 (1977); Callan, C.G. and Coleman, S., Phys. Rev., D16, 1762 (1977). Обсуждение в разделе 23.8 основано на этих работах. Первые работы по образованию областей с нарушенной симметрией см.: Lee, T.D. and Wick, G.C., Phys. Rev., D9, 2291 (1974); Voloshin, M.B., Kobzarev, I.Yu., and Okun’, L.B., Sov. J. Nucl. Phys., 20, 644 (1975).
7.Coleman, S., Nucl. Phys., B262, 263 (1985); Lee, T.D. and Pang, Y., Phys. Rep., 221, 251 (1992) и процитированные в этой работе другие ссылки на статьи Ли с сотрудниками.
8.Необычайно живо написанный обзор этих вопросов и ссылки на большую часть оригинальной литературы см.: Coleman, S., Aspects of Symmetry (Cambridge University Press, Cambridge, 1985), ch. 6, 7. Хороший более поздний обзор: Weinberg, E.J.,
Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 42, 177 (1992).
9.Derrick, G.H., J. Math. Phys., 5, 1252 (1964).
10.Bogomol’nyi, E.B., Sov. J. Nucl. Phys., 24, 449 (1976).
11.Теория гомотопий была использована для изучения нарушения симметрии в ранней Вселенной в работах: Kibble, T.W.B., J.Phys., A9, 1387 (1976); Vilenkin, A. and Shellard, E.P.S., Cosmic Strings
Список литературы |
639 |
and Other Topological Defects (Cambridge University Press, Cambridge, 1994) и приведенные там ссылки.
12.Georgi, H. and Glashow, S.L., Phys. Rev. Lett., 28, 1494 (1972).
13.Arafune, J., Freund, P.G.O., and Goebel, C.J., J. Math. Phys., 16, 433 (1975).
14.Prasad, M.K. and Sommerfeld, C.M., Phys. Rev. Lett, 35, 760 (1975).
15.Arbais, F.A. and Primack, J.R., Phys. Rev., D13, 819 (1976).
16.Dirac, P.A.M., Proc. Roy. Soc. London, A133, 60 (1934); Phys. Rev., 74, 817 (1948).
17.Zel’dovich, Ya.B. and Khlopov, M.Yu., Phys. Lett., 79B, 239 (1978); Preskill, J., Phys. Rev. Lett., 43, 1365 (1979). Обзор см.: Preskill, J., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 34, 461 (1984).
18.См., например: Weinberg, S., Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972), ch. 15 (есть рус. пер.: С. Вейнберг. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975).
19.Guth, A., Phys. Rev., D23, 347 (1981); Linde, A.D., Phys. Lett., 108B, 389 (1982); Albrecht, A. and Steinhardt, P., Phys. Rev. Lett., 48, 1220 (1982).
20.Jackiw, R. and Rebbi, C., Phys. Rev., D13, 3398 (1976).
21.Rubakov, V.A., JETP Lett., 33, 644 (1981); Nucl. Phys., B212, 391 (1982); Callan, C.G., Phys. Rev., D25, 2141 (1982); Phys. Rev., D26, 2058 (1982); Nucl. Phys., B212, 391 (1982).
22.Bott, R., Bull. Soc. Math. France, 84, 251 (1956).
23.′t Hooft, G., Phys. Rev., D14, 3432 (1976); Phys. Rep., 142, 357
(1986).
640 |
Глава 23. Протяженные полевые конфигурации |
24.Atiyah, M. and Ward, R., Commun. Math. Phys., 55, 117 (1977).
25.′t Hooft, G., Phys. Rev. Lett., 37, 8 (1976). Вместо использован-
ной здесь идентификации свободных от аномалий сохраняющихся токов, вывод ′т Хофтом правил отбора базировался на
анализе нулевых мод оператора Дирака (см. раздел 23.7), приводящих к изменению каждого квантового числа у инстантона с данным топологическим числом.
26.Callan, C.G., Dashen, R.F., and Gross, D.J., Phys. Lett., 63B, 334 (1976); Jackiw, R. and Rebbi, C., Phys. Rev. Lett., 37, 172 (1976).
27.Kuzmin, V.A., Rubakov, V.A., and Shaposhnikov, M.E., Phys. Lett., 155B, 36 (1985). Доминирующий вклад в переход дают полевые конфигурации, известные как сфалероны; см.: Manton, N.S., Phys. Rev., D28, 2019 (1983); Klinkhammer, F.R. and Manton, N.S., Phys. Rev., D30, 2212 (1984); Dasshen, R.F., Hasslacher, B., and Neveu, A., Phys. Rev., D10, 4138 (1974).
28.Georgi, H. and McArthur, I., unpublished (1981); Kaplan, D.V. and Manohar, A.V., Phys. Rev. Lett., 56, 2004 (1986); Choi, K., Nucl. Phys., B383, 58 (1992).
29.Более детальные вычисления см.: Baluni, V., Phys. Rev., D19, 2227 (1978); Crewther, R.J., Di Vecchia, P., Veneziano, G., and Witten, E., Phys. Lett., 88B, 123 (1979).
30.Peccei, R.D. and Quinn, H., Phys. Rev. Lett., 38, 1440 (1977); Phys. Rev., D16, 1791 (1977).
31.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 40, 223 (1978); Wilczek, F., Phys. Rev. Lett., 40, 279 (1978).
32.Kim, J.E., Phys. Rev. Lett., 43, 103 (1979); Shifman, M.A., Vainshtein, A.I., and Zakharov, V.I., Nucl. Phys., B166, 493 (1980); Zhitnitsky, A.R., Sov. J. Nucl. Phys., 31, 260 (1980); Dine, M., Fishler, W., and Srednicki, M., Phys. Lett., 104B, 199 (1981).
Список литературы |
641 |
33.Weinberg, S., in Neutrinos ’78, ed. E.C. Fowler (Purdue, Lafayette, 1978).
34.Dicus, D.A., Kolb, E.W., Teplitz, V.I., and Wagoner, R.V., Phys. Rev., D18, 1829 (1978); D22, 839 (1980).
35.См. обзоры: Turner, M.S., Phys. Rep., 197, 68 (1990); Raffelt, G.G., Phys. Rep., 198, 1 (1990).
36.Preskill, J., Wise, M.B., and Wilczek, F., Phys. Lett. 120B, 127 (1983); Abbott, L.F. and Sikivie, P., Phys. Lett., 120B, 130 (1983); Dine, M. and Fishler, W., Phys. Lett., 120B, 137 (1983). Обзоры см.: Kim, J.E., Phys. Rep., 150, 1 (1987); Turner, M.S., Phys. Rep., 197, 68 (1990).
37.Coleman, S., Glaser, V., and Martin, A., Commun. Math. Phys., 58, 211 (1978).
38.Coleman, S., [8], Section 6.2.
39.Coleman, S., [8], Section 6.5.
40.Actor, A., Rev. Mod. Phys., 51, 461 (1979); Encyclopedic Dictionary of Mathematics (MIT Press, Cambridge, 1980), Appendix A.