Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Вычислим сначала áq¢, t + dt|q, tñ для инфинитезимального

интервала dt. Принимая соглашение, что в H(Q, P) все Q записаны левее всех P, имеем

áq′, t + dt| q, tñ = áq′, t| expb-H(q′, P)dtg| q, tñ .

Разложим |q,tñ по полному набору собственных состояний опе-

раторов Pa(t). Из формулы (23.А.1) имеем, как обычно,

(Здесь временно приостановлено соглашение о суммировании.) Как и в разделе 9.1, разделим временной интервал от –Т/2 до

Т/2 на большое число очень маленьких интервалов и включим для каждого интервала сумму по собственным состояниям Q. Определяя функции q(t) и p(t), осуществляющие интерполяцию между вели- чинами собственных значений Q и P на каждом интервале, получа- ем выражение для F в виде функционального интеграла в самой общей форме

Чтобы вычислить функцию распределения (23.А.7), мы должны проинтегрировать по p и q, которые подчинены только условию, что q(t) — периодическая функция с периодом, равным обратной температуре b:

(23.À.15)

Формулы (23.А.14) и (23.А.15) выглядят несколько странно, так как в экспоненте один член — действительный, а другой — мнимый. Вид этих формул становится более привычным, если мы возьмемфункциональный интеграл по всем pa(t). Для важного класса теорий, в которых H(q,p) квадратичен по р, интеграл тривиален:

à `p(t) — стационарная «точка» аргумента в экспоненте в формуле

(23.А.17), т. е. решение уравнения

Множитель i здесь не должен удивлять, так как уравнение (23.А.19)

— это то же уравнение, которое удовлетворяется неэрмитовыми операторами (23.А.8):

Для гамильтониана в виде произвольной квадратичной формы (23.А.16) решение уравнения (23.А.19) имеет вид

В частном (но часто встречающеся) случае, когда Ba(q) = 0, это выражение упрощается:

Следовательно в данном случае «лагранжиан», возникающий в функциональном интеграле, равен тому выражению, которое должен был бы иметь гамильтониан в пространстве-времени Минковского, когда все p выражены через q и q& .

Приложение B. Перечень гомотопических групп

В этом приложении представлен перечень гомотопических групп 40 различных многообразий. Ниже Z обозначает группу целых чисел, со сложением в качестве операции группового умножения, так что единичным элементов является нуль. Кроме того, Zn — группа целых чисел по модулю n. Тривиальная группа, состоящая из элемента 0, обозначается 0. Гомотопические группы для прямых произведений многообразий можно получить из гомотопических групп самих многообразий с помощью правила произведения:

πn (M1 × M2 ) = πn (M1) × πn (M2 ) .

p7 (S4 ) = Z ´ Z12 ;

pn(S1) = 0, кроме p1(S1) = Z.

Многообразия групп Ли