Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Мы вернемся позже к явному приближенному решению для ϕ(ρ), но сначала рассмотрим, как можно использовать такие реше-

íèÿ.

В данном случае мы имеем не однобаунсовую конфигурацию, при которой евклидово действие стационарно, но континуум, характеризующийся коллективными координатами x0 è t0. Согласно результатам раздела 23.7, мы должны провести интегрирование по этим параметрам, и так как В не зависит от x0 è t0, что в результате дает множители V и Т в ящике пространственного объема V. Вклад всех однобаунсовых конфигураций в функциональный интеграл (23.8.2) дается в однопетлевом приближении выражением

Коэффициент А пропорционален * произведению ∏′n λ−n1/2 , ãäå λn — собственные значения ядра δ2S[ϕ]/δϕ(x,t)δϕ(x′,t′), а штрихи

означают, что мы должны опустить нулевые собственные значе- ния, отвечающие изменениям коллективных координат x0 è t0. Используя формулу (23.8.10), видим, что вторая производная выражения (23.8.9) по R отрицательна при R = 1, так что имеется по крайней мере одно (на самом деле ровно одно 39) отрицательное собственное значение, и следовательно в данном порядке коэффициент А мнимый. Мы не будем пытаться вычислить А, заметим лишь, что в противоположность exp(–B) коэффициент А не содержит драматической зависимости от параметров теории, так что можно оценить его по соображениям размерности как величину

* Когда непрерывная группа симметрии G спонтанно нарушается до подгруппы H, существуют дополнительные коллективные координаты, задающие ориентацию H внутри G. Интегрирование по этим параметрам приводит к дополнительным множителям в А, равным объему факторпространства G/H.

порядка iM–4, где М — некоторый характерный масштаб масс в теории.

При больших V и Т можно найти дополнительные стационарные конфигурации, образуя наложение любого числа N таких баунсовых конфигураций, что приводит к вкладу, представляющему N- ю степень величины (23.8.12), деленному на N!, для того, чтобы учесть тот факт, что при интегрировании x0 è t0 по N, мы суммируем по конфигурациям, которые отличаются только перестановками N тождественных баунсов. Суммирование по N дает тогда степень величины (23.8.12), так что энергия (23.8.2) есть просто величина (23.8.12), деленная на –Т:

Поскольку А — порядка iM–4, вероятность распада фальшивого вакуума в единице объема будет величиной порядка

Заметим, что это — вероятность распада в единице объема, поскольку распад происходит не за счет изменения скалярного поля одновременно во всем пространстве, а за счет появления пузырьков истинного вакуума на фоне фальшивого вакуума.

Результат (23.8.14) часто оказывается полезным в случае, когда В велико, так что подбарьерный переход сильно подавлен, и можно оцентить фактор подавления просто как exp(–B). К счастью, наиболее естественная ситуация, в которой В велико, это та, когда удается вычислить В в замкнутой форме. Это случай, когда энергия V(ájñ) º –e истинного вакуума лишь немного меньше нулевой энергии фальшивого вакуума, но V(j) положительно и не мало между j = 0 è j = ájñ. Чтобы минимизировать в этом случае евклидово действие (23.8.3), нужно взять j близким к ájñ внутри четырехмерного шара большим радиусом R, при котором j падает до нуля внутри

оболочки толщиной L d M–1, характерной для потенциала в пределе e ® 0. (Иногда это называют «приближением тонкой стенки», но,

возможно, лучшим названием было бы «приближение большого пузыря».) В этом приближении действие (23.8.3) равно

где S — поверхностное натяжение, равное вкладу оболочки в действие, отнесенному к единице площади. Второй член в левой части формулы (23.8.7) становится пренебрежимо малым при ρ d R, òàê

что задача становится по существу одномерной. Поэтому можно взять поверхностное натяжение из неравенства (23.1.4), которое при подстановке решения полевых уравнений становится равенством. В теперешних обозначениях

так что действие в своей стационарной точке имеет значение

Заметим, что В велико для малых ε, так что в этом случае

вероятность распада фальшивого вакуума сильно подавлена. После прохождения сквозь барьер пузырек истинного вакуума будет расти со скоростью света, сталкиваясь в конце концов с другими пузырьками, пока все пространство не окажется в состоянии наименьшей энергии.

Приложение А. Евклидовы функциональные интегралы

В этом приложении описывается использование евклидовых функциональных интегралов в квантовой теории поля. Как отмеча- лось в разделе 9.1, квантовую теорию поля можно сформулировать в четырехмерном евклидовом пространстве-времени. Вместо того, чтобы углубляться в нетривиальное аналитическое продолжение, необходимое для вычисления элементов S-матрицы в данном подходе, мы проиллюстрируем здесь использование евклидовых

функциональных интегралов, обратившись к задаче, для которой они естественно приспособлены.

Рассмотрим набор эрмитовых канонических переменных Qa è Pa, с коммутационными соотношениями

В квантовой теории поля считается, что индекс а, как в разделе 9.1, включает пространственную координату x и любые дискретные лоренцовские индексы и индексы сортов m, а кронекеровский дельта-символ в формуле (23.А.1) понимается как d = d3(x – y)dmn. Определим собственные состояния Qa:

Аналогично определены собственные состояния |pñ оператора Pa.

Задача, котрую мы рассматриваем, состоит в вычислении матричного элемента

где Н — гамильтониан, а Т — произвольная положительная постоянная. Одним из приложений является изучение энергий основных состояний. Если наименьшее собственное значение Н равно Е0, и собственный вектор этого состояния есть |0ñ, тогда при Т ® ¥

F(q′, q; T) ® áq′|0ñá0| qñexp(-E0T) ,

òàê ÷òî

F ln F(q′, q; T)I

E0 = - limT→∞ G J . (23.À.6)

H T K

Кроме того, можно вычислить функцию распределения в статисти- ческой механике, зная след

ãäå 1/b — температура.

Чтобы вывести формулу функционального интеграла для F(q¢,q; T), определим евклидовы зависящие от времени операторы

Одно различие между этим формализмом и обычным формализмом в пространстве Минковского заключается в том, что «временная» эволюция операторов управляется неунитарным преобразованием подобия (23.А.8), так что здесь нет простой связи между правыми собственными состояниями áq,t| оператора Q(t) и эрмитово сопряженными левых собственных состояний |q,tñ, не считая состо-

яний, взятых в точке t = 0.

На этом языке определение (23.А.5) величины F(q¢,q;t) можно

переписать в виде