Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

viii

Содержание

Доказательство теоремы.

Задачи.......................................................................................................................................................

384

Список литературы ....................................................................................................................

385

7.

Канонический формализм .....................................................................................

386

7.1.

Канонические переменные .................................................................................................

387

.Гамильтонианы свободных частиц. Лагранжианы свободных частиц.

Канонический формализм для взаимодействующих полей.

7.2. Лагранжев формализм ............................................................................................................

395

Уравнения движения Лагранжа. Действие.

Лагранжиан. Уравнения

Эйлера–Лагранжа. Действительность действия. От лагранжианов к

гамильтонианам

Новый подход к скалярному полю. Переход от пред-

ставления Гейзенберга к представлению взаимодействия. Вспомога-

тельные поля.

Интегрирование по частям в действии.

7.3. Глобальные симметрии ..........................................................................................................

406

Теорема Нетер.

Явное выражение для сохраняющихся величин.

Явное выражение для сохраняющихся токов.

Квантовые операторы

симметрии.

Тензор энергии–импульса. Импульс.

Внутренние сим-

метрии. Коммутаторы токов.

7.4. Лоренцевская инвариантность .......................................................................................

418

Òîêè Mρμν .

Генераторы Jμν . Тензор Белинфанте.

Лоренц-инвари-

антность S-матрицы.

7.5. Переход к представлению взаимодействия. Примеры ..........................

424

Скалярное поле со связью с производными.

Векторное поле.

Äèðà-

ковское поле.

7.6. Связи и скобки Дирака ..........................................................................................................

433

Первичные и вторичные связи. Скобки Пуассона.

Связи первого и

второго рода.

Дираковские скобки. Пример: действительное вектор-

íîå ïîëå.

7.7. Переопределения полей

и несущественные константы взаимодействия * ........................................

442

Лишние параметры. Переопределение полей. Пример: действи-

тельное скалярное поле.

Приложение. Вычисление скобок Дирака

из канонических коммутаторов ....................................................................................

444

Задачи.......................................................................................................................................................

450

Список литературы ....................................................................................................................

451

ix

8. Электродинамика ................................................................................................................

453

8.1. Калибровочная инвариантность ...................................................................................

454

Необходимость константы для сохраняющегося тока.

Оператор за-

ряда. Локальная симметрия. Действие для фотона. Уравнения поля

Калибровочно инвариантные производные.

8.2. Связи и калибровочные условия .................................................................................

459

Первичные и вторичные связи. Связи первого рода.

Фиксация ка-

либровки. Кулоновская калибровка.

Решение для А0.

8.3. Квантование в кулоновской калибровке .............................................................

463

Остающиеся константы относятся ко второму роду.

Вычисление ди-

раковских скобок в кулоновской калибровке. Построение гамильто-

ниана.

Кулоновское взаимодействие.

8.4. Электродинамика в представлении взаимодействия .............................

468

Гамильтонианы свободного поля и взаимодействия. Операторы в кар-

тине взаимодействия.

Разложение по нормальным модам.

8.5. Фотонный пропагатор

.............................................................................................................

472

Полином в числителе.

Отделение нековариантных слагаемых. Со-

кращение нековариантных слагаемых.

8.6. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики ..........................

475

Диаграммы Фейнмана.

Вершины.

Внешние линии.

Внутренние

линии.

Разложение по α /4 π. Круговая, линейная и эллиптическая

поляризация.

Поляризация и суммы по спинам.

8.7. Комптоновское рассеяние ....................................................................................................

484

S-матрица.

Дифференциальное сечение.

Кинематика.

Суммы по

спинам. Следы. Формула Клейна–Нишины. Поляризация при том-

соновском рассеянии.

Полное сечение.

8.8. Обобщение: калибровочные поля как р-формы ..........................................

494

Обоснование. р-формы. Внешние производные. Замкнутые и точные р-

формы. Калибровочные поля в виде р-форм

Дуальные поля и токи в D

пространственно-временных измерениях. Калибровочные поля в виде

р-форм эквивалентны полям в виде (D – p – 2)-форм.

В четырех изме-

рениях нет ничего нового.

Приложение. Следы ...................................................................................................................

498

Задачи

502

Список ....................................................................................................................литературы

503

9. Методы функционального интегрирования ...............................

504

9.1. Общая формула для функционального интеграла ....................................

507

Амплитуды перехода для бесконечно малых интервалов.

Амплиту-

9.2. Переход к S-матрице ...............................................................................................................

517

Волновая функция вакуума.

Добавка iε.

9.3. Лагранжева формула для функционального интеграла ......................

523

Интегрирование по импульсам.

Скаляры со связью с производными.

Нелинейная сигма-модель.

Векторное поле.

9.4. Вывод фейнмановских правил

с помощью функциональных интегралов...........................................................

531

Выделение действия для свободных полей.

Гауссово интегри-

рование. Пропагаторы: скалярные, векторные поля, связь с произ-

водной.

9.5. Функциональные интегралы для фермионов

................................................

536

Антикоммутирующие с-числа.

Собственные векторы канонических

операторов.

Суммирование по состояниям с помощью интегрирова-

ния по Березину. Замена переменных. Амплитуды перехода для

бесконечно малых интервалов

Амплитуды перехода для конечных

интервалов.

Вывод фейнмановских правил

Фермионный пропага-

9.7. Разные статистики * .................................................................................................................

563

Приготовление ин- и аут-состояний. Правила композиции.

 ïðî-

странствах с числом измерений больше 3 — только бозоны и фермионы.

Анионы в двух измерениях.

Приложение. Многократные гауссовы интегралы .....................................

567

Задачи.......................................................................................................................................................

571

Список литературы ....................................................................................................................

572

10. Непертурбативные методы ..................................................................................

574

10.1. Симметрии ...........................................................................................................................................

575

Трансляции. Сохранение заряда. Теорема Фарри.

10.2. Полология.............................................................................................................................................

579

Полюсная формула для общей амплитуды. Вывод полюсной форму-

лы. Обмен пионами.

10.3. Перенормировка поля и массы ......................................................................................

588

Редукционная формула Лемана–Симанчика–Циммермана.

Перенор-

xi

мированные поля.

Полюсы пропагаторов.

Во внешних линиях нет

радиационных поправок.

Контрчлены в собственноэнергетических

частях.

10.4. Перенормированный заряд и тождества Уорда ...........................................

597

Оператор заряда.

Перенормировка электромагнитного поля. Пере-

нормировка заряда.

Тождество Уорда−Такахаши Тождество Уорда.

10.5. Калибровочная инвариантность ...................................................................................

604

Поперечность многофотонных амплитуд.

Швингеровские члены.

Калибровочные слагаемые в фотонном пропагаторе. Структура фо-

тонного пропагатора.

Перенормированная масса фотона равна нулю.

Вычисление Z3. Радиационные поправки к выбору калибровки.

10.6. Электромагнитные форм-факторы и магнитный момент .................

610

Матричные элементы J0.

Форм-факторы Jm: ñïèí 0.

Форм-факто-

ðû Jμ: ñïèí 1/2 .

Магнитный момент частицы спина 1/2. Измерение

форм-факторов.

10.7. Представление Челлена–Лемана *..............................................................................

618

Спектральные функции. Условия причинности. Спектральное пред-

ставление. Асимптотическое поведение пропагаторов.

Полюсы.

Îã-

раничение на константу перенормировки поля Z = 0 для составных

частиц.

10.8. Дисперсионные соотношения * ......................................................................................

624

История.

Аналитические свойства амплитуды рассеяния вперед для

безмассового бозона. Вычитания. Дисперсионное соотношение. Крос-

ñèíã.

Теорема Померанчука. Реджевское асимптотическое поведе-

íèå.

Рассеяние фотонов.

Задачи.......................................................................................................................................................

634

Список литературы ....................................................................................................................

635

11. Однопетлевые радиационные поправки

в квантовой электродинамике..............................................................

638

11.1. Контрчлены ........................................................................................................................................

639

Перенормировка поля, массы и заряда.

Контрчлены в

лагранжиане.

11.2. Поляризация вакуума..............................................................................................................

640

Однопетлевой интеграл для фотонной собственноэнергетической части.

Параметры Фейнмана.

Виковский поворот

Размерная регуляриза-

öèÿ.

Калибровочная инвариантность.

Вычисление Z3.

Сокращение

расходимостей.

Поляризация вакуума при рассеянии заряженных

частиц.

Эффект Юлинга.

Мюонные атомы.