Файл: Методические указания к лабораторной работе по курсу Технологии анализа данных для студентов, обучающихся по основной образовательной программе.docx

Решение. В соответствии с условием задачи прибыль будет результативным признаком (у), а затраты на 1 р. произведенной продукции будут факторным признаком или просто фактором (х).



Рисунок 1 – График корреляционного поля по данным таблицы 3

Корреляционное поле, построенное по данным табл. 3 (см. рис. 1), позволяет предположить наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.



Система нормальных уравнений для данного примера имеет вид



Искомые параметры а и b

;

где

Рассчитаем средние величины, для удобства расчёты сведём в таблицу 4. В последней строке таблицы расположены данные о значении средних величин:

Таблица 4– Расчётная таблица

номер п/п	Затраты на 1 руб. продукции, коп.	Прибыль, тыс.р.	Расчётные данные
	хi	уi	x2	y∙x
1	77	1070	5929	82390	1012,86
2	77	1001	5929	77077	1012,86
3	81	789	6561	63909	851,74
4	82	779	6724	63878	811,46
5	89	606	7921	53934	529,51
6	96	221	9216	21216	247,55
Сумма	502	4466	42280	362404	4466
Среднее	83,66	744,33	7046,67	60400,67	744,33

---

Сначала вычислим значение коэффициента регрессии b:



Далее находим параметр a :

;

Следовательно, линейное уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом: ,



Подставляя в это уравнение табличные значения х, вычислим табличные значения .



и так далее. Результаты приведены в последней колонке таблицы 4.

Дополним поле корреляции линией регрессии (рис. 2).



Рисунок 2 – Линейная регрессия по данным таблицы 4
Параметры нелинейных регрессий (степенной, показательной и т.д.) также находятся с помощью метода наименьших квадратов. Только необходимо сначала линеаризировать их, т.е. привести к линейному виду.

Степенная зависимость. Уравнение нелинейной степенной регрессии - . Для определения параметров  а  и  b  с помощью метода наименьших квадратов необходимо предварительно преобразовать степенную (нелинейную) зависимость в линейную – линеаризировать нелинейное уравнение регрессии. Для этого достаточно ее правую и левую части прологарифмировать:



Пусть    Тогда имеем



Применив МНК, находим

Значение параметра  а  находим в результате потенцирования а*: Пример 2. В табл. 1.3 представлены статистические данные о расходах на питание и душевом доходе для девяти групп семей. Рассчитайте параметры уравнения степенной регрессии. Необходимые расчёты приведены в таблице 1.4           Таблица 1.4                 номер  группы Расход на питание (у.д.е.) Душевой доход (у.д.е.) y*=lg (y) x*=lg(x) y*x* х у 1 628 433 2,6365 2,7980 7,8286 7,3768 418,7798 2 1577 616 2,7896 3,1978 10,2261 8,9206 690,1265 3 2659 900 2,9542 3,4247 11,7287 10,1174 916,2665 4 3701 1113 3,0465 3,5683 12,7329 10,8709 1096,307 5 4796 1305 3,1156 3,6809 13,5489 11,4682 1261,818 6 5926 1488 3,1726 3,7728 14,2337 11,9695 1415,292 7 7281 1645 3,2162 3,8622 14,9165 12,4214 1582,575 8 9350 1914 3,2819 3,9708 15,7673 13,0320 1812,568 9 18807 2411 3,3822 4,2743 18,2698 14,4566 2648,237 Сумма     27,5953 32,5498 119,252 100,633   Среднее     3,0661 3,6166 13,2503 11,1815     Находить значения  и  для такого уравнения мы уже умеем: Заполнив табл. 1.5, рассчитаем значения  и :   , . Значение параметра  а  находим в результате потенцирования а*: . Таким образом, уравнение степенной регрессии будет иметь следующий вид: . Расчетные значения представлены в последнем столбце табл. 1.5.

Показательная зависимость. Уравнение нелинейной показательной регрессии - . Это уравнение линеаризируют аналогично степенной зависимости. Логарифмическая зависимость. Уравнение нелинейной логарифмической регрессии - . Для определения параметров  а  и b  при данной зависимости также можно использовать МНК. Для этого достаточно уравнение регрессии   представить в виде где  В результате применения МНК получим

---

Гиперболическая зависимость. Уравнение нелинейной гиперболической регрессии - . При гиперболической зависимости параметры  а  и b находятся таким же образом, как и при линейной зависимости, но для уравнения регрессии  ,  где  

---

2.2 Показатели корреляции

При анализе можно рассчитывать среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

.

Ее значение должно быть в интервале от 8 до 10  %. Если значение средней ошибки аппроксимации больше, то отклонение сильно большое, и использовать модель нецелесообразно.

Перейдем к оценке тесноты корреляционной зависимости. Рассмотрим наиболее важный для практики и теории случай линейной зависимости вида:

.

Коэффициент, использующий средние квадратические отклонения факторов называется коэффициентом корреляции и выражается формулой

.

Коэффициент корреляции характеризует тесноту или силу связи между переменными  х  и  у. 

При  имеет место положительная корреляция, т.е.  с увеличением (уменьшением) значений фактора (х) значение результативного признака (у) соответственно увеличивается (уменьшается). Такая корреляционная связь называется прямой. При  имеет место отрицательная корреляция, т.е. с увеличением (уменьшением) значений фактора (х) значения результативного признака (у)  соответственно уменьшаются (увеличиваются). Такая связь называется обратной.

Свойства коэффициента корреляции:

      коэффициент линейной корреляции изменяется в пределах от  - 1 до + 1;

       - связь между х и у отсутствует или не является линейной даже приближенно;

 

---

       - связь слабая;

      - связь средней тесноты;

    - связь тесная

- связь очень тесная;        - связь между х и у считается функциональной. ,

Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в ее линейной форме.

Для нелинейных регрессий определяют не коэффициент корреляции, а индекс корреляции:



где    ,

.

2.3. Коэффициент детерминации

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, (или, как говорят, мерой качества подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям ), характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации, определяемый по формуле

.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

Величина  показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной

---