Файл: Криволинейный интеграл по плоской кривой (криволинейный интеграл 1 рода).doc

1. Криволинейный интеграл по плоской кривой (криволинейный интеграл 1 рода)

Пусть Г- кривая, лежащая на плоскости хОу. Выясним геометрический смысл криволинейного интеграла , считая интегрируемую функцию положительной.

Построим цилиндрическую поверхность с направляющей линией Г и образующими, параллельными оси OZ. В каждой точке Р Г длину образующей сделаем равной значению функции f(P) (рисунок 30).


Рисунок 30
Цилиндрическая поверхность пересечена сверху поверхностью z=f(x, у). Найдем площадь S построенной части цилиндрической поверхности. Если разбить линию Г на части L₁, L₂…, L_n, то поверхность S разобьется на узкие полосы S₁,…S_n. Площадь узкой полосы приближенно подсчитаем, как площадь прямоугольника с основанием L_i и высотой f(Р_i), где Р_i произвольно взятая точка L_i. Имеем:



где -наибольший из диаметров частей L_i. Последняя формула может быть записана окончательно так:



Таким образом криволинейный интеграл по плоской кривой Г дает площадь куска цилиндческой поверхности с направляющей Г и образующей, параллельной OZ, срезанной сверху поверхностью z=f(x, y).

1.1 Вычисление криволинейных интегралов

Вычисление криволинейно интеграла сводится к

---

вычислению обычного определенного интеграла, если воспользоваться выведенными в дифференциальном исчислении формулами для дифференциала длины дуги dL. Рассмотрим сперва плоскую кривую Г, по которой требуется вычислить интеграл . Пусть линия Г задана уравнением:



В криволинейном интеграле та функция, которую мы интегрируем, не имеет ничего общего с уравнениями кривой, по которой ведется интегрирование.

Вспомним формулу:

(34)

и подставим выражение для dL в наш интеграл. Одновременно, воспользуемся уравнением у = (х) для замены переменного у под знаком функции f(х, у). Наконец, заметим, что х меняется в пределах от a до b, Тогда

(35)

Справа, в формуле (35), стоит самый обычный определенный интеграл. Если бы кривая Г была задана уравнением: x=(у) , где с ≤ у≤ d, то получили бы,

(36)

(37)

Если кривая Г задана параметрическими уравнениями х=х(t), у=у(t), то, вспоминая, что в этом случае

(38)

получаем равенство

(39)

В правой части стоит обычный определенный интеграл от некоторой функции переменной t.

Точно так же, когда кривая Г пространственная и задана уравнениями





выражение для dL имеет вид

(40)

и поэтому

---

(41)

Наконец, в случае, когда плоская линия Г задана полярным уравнением r=r( ), φ₁ φ φ_2, то вспомнив, что х=rcoSφ, у= r sin φ и

(42)

Получим

(43)

С
Рисунок 31
ведение криволинейного интеграла к обычному определенному интегралу по идее очень близко к замене переменной в определенном интеграле. Однако, следует иметь в виду одно отличие. После замены переменной в определенном интеграле, может случиться, что нижний предел интегрирования оказывается больше верхнего. При вычислении же криволинейного интеграла всегда нижний предел должен быть меньше верхнего. Это вызывается тем, что элемент dL, длины дуги всегда должен быть больше нуля. Таким образом, при переходе от криволинейного интеграла к обыкновенному определенному интегралу переменная, выбранная в качестве основной, должна пробегать промежуток своего изменения в сторону возрастания.

Примеры 1. Найти длину дуги Г параболы у=х² на участке от х= 0 до х=а.

.

2. Найти массу М одной четверти окружности радиуса a, расположенной в первом квадрате, если плотность у.

Имеем: . Воспользуемся параметрическими уравнениями окружности х = a cos t, y = a sin t. При этом у нас 0 t /2 и поэтому



3. Найти длину первого витка винтовой линии (рисунок 31) х=acos t, y = a sin t, z = bt.

---

При развертывании цилиндра на плоскость первый виток винтовой линии изобразится диагональю прямоугольника со сторонами 2 а и 2 b. Длина диагонали как мы и нашли (рисунок 32).




Рисунок 32

Рисунок 33


4. Найти площадь части боковой поверхности цилиндра у= х², лежащей в первом октанте и вырезанной плоскостями z=х и х=1.

Воспользуемся геометрическим смыслом интеграла (рисунок 33). В качестве функции z = f(х, у), задающей поверхность ограничивающую цилиндр сверху, выступает сейчас функция z=х. Получаем:





5. Найти длину первого витка спирали Архимеда r = a (a 0).

2. Криволинейные интегралы второго рода (криволинейные интегралы по координатам)

П
Рисунок 34
усть в пространстве (или на плоскости) задана кривая линия Г (рисунок 34). Установим на ней определенное направление движения (на чертеже это направление показано стрелкой), которое происходит от А к В. Кривую с установленным на ней направлением движения назовем ориентированной кривой. Если задать по Г движение в противоположную сторону, то получится уже другая ориентированная кривая. Таким образом, ориентированная кривая состоит из кривой и направления движения по этой кривой.

Пусть на кривой Г задана функция точки Р в виде f(Р) = f(х, у, z). Разобьем Г на части

---

L₁, L₂,…, L_n (как обычно L_i обозначает и саму часть и ее длину). Пусть, как обычно,-максимальный из диаметров частей L_i. Теперь будем интересоваться не длинами этих частей, а величинами их проекций на ось Оу. Возьмем какую-нибудь часть L_i и будем двигаться по ней в направлении, установленном для движения вдоль Г. Проекция (на оси Оу) двигающейся по L_i точки будет двигаться вдоль оси Оу. Если направление движения проекции совпадает с направлением движения, установленным на оси Оу (если движение по проекции происходит в сторону увеличения у), то проекцию у_i части L_i считаем положительной, в противном случае - отрицательно

Приступим к составлению интегральной суммы для нового типа интеграла, еще не встречавшеrося у нас. Возьмем на каждой части L_i по точке P_i и вычислим значение функции f(P) в этой точке, равное f(P). Интегральная сумма составляется следующим образом:

, (44)

(проекции у_i берутся с учетом их знаков). Напомним, что интегральная сумма для введенного нами ранее криволинейного интеграла имела другой вид:

(45)

Если существует предел (не зависящий от способа составления интегральных сумм)

---