Файл: Руководство к лабораторным работам по дисциплине Теория управления для студентов по направлению Т. 02 Автоматика и управление в технических системах.doc

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

Исследование частотных характеристик динамических звеньев
Цель работы: исследование частотных характеристик объектов 1-го и 2-го порядков.
Краткие теоретические сведения

Частотные характеристики звена. Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания звена.

Если на вход линейного звена подать гармоническое воздействие

x(t)=X₀sin(wt),

где X₀ - амплитуда, w - угловая частота, имеющая размерность [рад/с] или

[c^-1], то, как следует из необходимых и достаточных условий линейности, на выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но, в общем случае, другой амплитуды Y₀ и сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол φ

y(t)=Y₀sin(wt+ φ).

Связь между выходной гармоникой и входной устанавливается с помощью частотной передаточной функции звена W(jw).

Частотная передаточная функция является важнейшей динамической характеристикой звена и представляет собой отношение изображений по Фурье выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах:



Из сравнения преобразований Фурье и Лапласа следует, что частотную передаточную функцию звена легко получить из его передаточной функции путем замены s на jw, т.е.



Частотная передаточная функция W(jw), как видно, представляет собой комплексное число, которое можно записать как в полярной, так и декартовой системах координат:

W(jw) = A(w) = U(w) + jV(w),

где А(w) - модуль или амплитуда частотной передаточной функции, представляющий собой отношение амплитуды выходной величины к амплитуде входной, т.е. коэффициент усиления звена k на частоте w

А(w) = | W(jw) | = mod W(jw) = ;

φ (w) - аргумент или фаза частотной передаточной функции, показывает фазовый сдвиг выходной гармоники по отношению к входной на частоте w

---

φ (w) = arg W(jw);

U(w) - вещественная составляющая частотной передаточной функции

U(w) = Re W(jw);

V(w) - мнимая составляющая частотной передаточной функции

V(w) = Im W(jw).

Соотношения

и

связывают между собой составляющие частотной передаточной функции.

Таким образом, частотная передаточная функция, определяющая реакцию звена на гармонические колебания всех возможных частот, позволяет, пользуясь принципом суперпозиции, найти реакцию линейного звена на произвольное воздействие.

W(jw) представляет амплитудно-фазовую частотную характеристику звена. А(w) и φ(w) называются соответственно амплитудной частотной характеристикой звена и фазовой частотной характеристикой звена, а U(w) и V(w) - вещественной частотной характеристикой и мнимой частотной характеристикой звена.

Для наглядного представления частотных свойств звена частотные характеристики отображают графически.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ). Строится на комплексной плоскости и представляет собой геометрическое место концов векторов (годографов), соответствующих частотной передаточной функции W(jw) при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис.10). Для каждой частоты w на комплексной плоскости наносится точка, полученные точки соединяются затем плавной кривой. АФЧХ можно строить как в декартовых координатах (U, V), так и в полярных (A, φ).


Рис.10. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
АФЧХ строится как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в W(jw) w на -w получается сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот является зеркальным отображением относительно вещественной оси АФЧХ для положительных частот. На рис.10 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую выбранной частоте w, равна А(w), а угол между вектором и положительным направлением вещественной оси равен φ (w).

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ). Показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты, иначе, представляет собой коэффициент изменения амплитуды гармонических колебаний при прохождении через звено (рис.11).

---

Рис.11. Амплитудная частотная характеристика
где w_р - резонансная частота, т.е. частота, на которой амплитудная частотная характеристика достигает максимума, иначе, на этой частоте звено имеет максимальный коэффициент усиления;

w_с - частота среза, частота, на которой амплитудная частотная характеристика, уменьшаясь, принимает значение, равное единице, и при дальнейшем повышении частоты остается меньше единицы;

w_п - частота пропускания, частота, на которой амплитудная частотная характеристика, уменьшаясь, принимает значение, равное 0,707, и при дальнейшем повышении частоты не увеличивается;

w_п=2w_п - полоса пропускания, диапазон частот гармонических колебаний, пропускаемых звеном без заметного ослабления.

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах (рис.12).


Рис.12. Фазовая частотная характеристика
Вещественная частотная характеристика (ВЧХ). Представляет собой зависимость вещественной составляющей частотной передаточной функции от частоты (рис.13).


Рис.13. Вещественная частотная характеристика
Мнимая частотная характеристика (МЧХ). Представляет собой зависимость мнимой составляющей частотной передаточной функции от частоты (рис.14).


Рис.14. Мнимая частотная характеристика
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). На практике чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе (рис.15).


Рис.15. Логарифмические частотные характеристики
При построении логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАХ) по оси ординат откладывают величину

---

L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg|W(jw)|.

Эта величина выражается в децибелах [дб]. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз и т.д. Децибел равен одной десятой части бела. Так как А(w) представляет собой отношение не мощностей, а амплитуд, то увеличение этого отношения в десять раз соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части стоит множитель 20. По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе lg(w). Равномерной единицей на оси абсцисс является декада [дек] - любой отрезок, на котором значение частоты w увеличивается в десять раз. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс соответствует частоте среза w_с . Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям А>1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А<1 (ослабление амплитуды).

При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) отсчет углов φ(w) = argW(jw) идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах.

Главным достоинством логарифмических частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы.

Все рассмотренные виды динамических характеристик звеньев (передаточная функция, дифференциальное уравнение, весовая функция, переходная функция, амплитудно-фазовая частотная характеристика) связаны между собой. Поэтому все они эквивалентны друг другу в определении динамических свойств звена системы управления.
Задание и порядок проведения лабораторной работы

Даны два звена (параметры объектов заданы в табл.4):

• 
  апериодическое звено 1-го порядка
  
• 
  звено 2-го порядка
  

Требуется построить следующие частотные характеристики (cм. пример):

1. 
   Комплексная частотная характеристика (КЧХ)
   
2. 
   Амплитудная фазовая характеристика (АЧХ)
   
3. 
   Фазовая частотная характеристика (ФЧХ)
   
4. 
   Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАЧХ)
   

Таблица 4

№	k	T	ξ	№	k	T	ξ
1	15	0,25	0,1	11	3	0,44	0,7
2	18	0,66	0,4	12	8	0,6	0,3
3	20	0,5	0,6	13	2	0,33	0,6
4	13	0,88	0,3	14	7	0,72	0,2
5	17	0,7	0,2	15	3	0,22	0,9
6	14	0,55	0,8	16	6	0,48	0,2
7	12	0,95	0,5	17	5	0,99	0,5
8	19	0,12	0,3	18	9	0,24	0,4
9	16	0,05	0,7	19	4	0,11	0,8
10	11	0,77	0,9	20	7	0,84	0,1

---

Пример построения КЧХ (рис. 16, 17)



Рис.16. Программная часть

• 
  real – комплексная реальная часть,
  
• 
  imag – комплексная мнимая часть,
  
• 
  plot – изображение векторов и матриц,
  
• 
  axis – масштабирование осей,
  
• 
  grid on – нанесение сетки,
  
• 
  title – заголовок над графиком,
  
• 
  xlabel – подпись под осью х,
  
• 
  ylabel – подпись по осью у.
  

Рис.17. Построенная КЧХ.
Контрольные вопросы:

1. 
   Чем отличаются частотные характеристики динамических звеньев от временных характеристик?
   
2. 
   Что называется частотной передаточной функцией?
   
3. 
   Как определяются вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции?
   
4. 
   Дайте определение амплитудной частотной характеристики. Что называется резонансной частотой, частотой среза, частотой и полосой пропускания?
   
5. 
   Дайте определение фазовой частотной характеристики.
   
6. 
   Дайте определение логарифмической амплитудной частотной характеристики.
   

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5

Типовые соединения в САУ
Цель работы: Исследование типовых соединений в САУ.
Краткие теоретические сведения.

Структурной схемой в теории автоматического управления называют графическое изображение математической модели автоматической системы управления в виде соединений звеньев. Звено на структурной схеме условно обозначают в виде прямоугольника с указанием входных и выходных величин, а также передаточной функции внутри него.

Сравнивающие и суммирующие звенья изображают в виде круга, разделенного на секторы. В сравнивающем звене сектор, на который подается «вычитаемое», затемняют или перед соответствующим входом ставят знак минус.

Основные правила преобразования структурных схем.

Последовательное соединение звеньев (рис.18, а). При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием последующего звена. При преобразовании структурных схем це­почку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном (рис.18, б) с передаточной функцией

---