Файл: л13-перемещения.doc

Продолжение табл. 1

3. Формирование матриц продольных усилий в стержнях фермы N_iот единичных силовых факторов иN_Fот заданной нагрузки. Порядок записи продольных усилий в упомянутых матрицах сохраним такой же, как в табл. 1.

1	0	-0,5	0,83	0,83	0
-0,75	0	0,75	0	-1,25	1,25
N13	N35	NB6	N43	N36	N21

-12

-16

-2

3,33

3,33

20

4. Формирование матрицы внутренней податливости фермы B_N, учитывающей деформации растяжения–сжатия её стержней. Выше было показано, что дляk-го стержня фермы

[1].

Учитывая это соотношение, получим:

– для горизонтальных стержней – ;

– вертикальных – ;

– наклонных – .

Для всей фермы матрица внутренней податливости B_Nимеет диагональную структуру и запишется:

.

5. Вычисление требуемой матрицы перемещений

.

Операция умножения матриц здесь не приведена. Читатели, при желании, могут это выполнить самостоятельно. Знак "плюс" элементов матрицы _Fпоказывает, что от заданной нагрузки вертикальное перемещение узла 1 фермы будет происходить вниз, а горизонтальное перемещение узла 6 – влево.

Пример13.4.3. В комбинированной системе (рис. 13.6,а) изгибная жёсткость поперечного сечения горизонтального элемента АК равнаEJ, а жёсткости поперечных сечений на растяжение–сжатие опорных элементов ДС, СВ и ВК – ЕА, причём ЕА = 10EJ. В этой системе требуется вычислить вертикальное перемещение шарнира К отдельно от постоянной (q= 2 кН/м) и временной (М = 48 кНм,F= 16 кН) нагрузок, т.е. требуется определить элементы матрицы перемещений

.

Решая поставленную задачу, будем пренебрегать влиянием деформаций сдвига и растяжения–сжатия горизонтального элемента АК на величину искомого перемещения.

1. Построение эпюр изгибающих моментов M_constиM_tempи определение продольных усилий в опорных элементах от постоянной (рис. 13.6,б) и временной (рис. 13.6,в) нагрузок.

2. Вычисление продольных сил в элементах ДС, СВ, ВК и построение эпюры изгибающих моментов М₁на участке АК от вертикальной сосредоточенной силыF= 1, приложенной к шарниру К (рис. 13.6,г).

Все вышеперечисленные операции по определению внутренних усилий в заданной системе читателям предлагается выполнить самостоятельно.

3. Сквозная нумерация грузовых участков и сечений на элементе АК и стержней, для которых задана жёсткость поперечных сечений на растяжение–сжатие ЕА (рис. 13.6,д).

4. Формирование матриц, необходимых для решения поставленной задачи по формуле (13.16)

.

Блоки M_i,B_MиM_Fэтих матриц для грузовых участков 1 и 2 формируются по правилам, изложенным выше для рам и балок (см. пример 13.4.1), а блокиN_i,B_N,N_Fдля опорных элементов 3, 4, 5 – по соответствующим правилам для ферм (см. пример 13.4.2).

,

где В_М,1= В_М,2=;

В_N,3= В_N,4= В_N,5=.

5. Вычисление элементов требуемой матрицы перемещений.

.

Знак "минус" величин полученных перемещений означает, что шарнир К заданной комбинированной системы от постоянной и временной нагрузок будет перемещаться вверх.

13.5. Определение перемещений от температурных воздействий

В двенадцатой лекции (см. п. 12.2, часть 2 настоящего курса лекций) получена формула для определения перемещений от изменения температуры в статически определимых плоских стержневых системах

. (13.19)

По-прежнему будем считать постоянными на любом участке сооружения величины коэффициента линейного температурного расширения материала _k, высоты поперечного сеченияh_kи приращения температуры. Эпюры внутренних усилийM_ik(s) иN_ik(s) на участках, где происходит изменение температуры, при определении линейных и угловых перемещений сечений и узлов стержневой системы от единичных сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов линейны.

Определённые интегралы соотношения (13.19) имеют одинаковую структуру и для k-го участка могут быть записаны в обобщённой форме:

. (13.20)

Здесь L_tk(s) – представление линейных функций изгибающих моментовM_ik(s) и продольных силN_ik(s);– представление постоянных физических и геометрических характеристик участка_kиh_k,T_k– постоянных неравномерныхи равномерныхприращений температуры (рис. 13.7).

Определённый интеграл (13.20) вычислим по формуле Симпсона, принимая во внимание, что =const,T_k = const,

. (13.21)

Учитывая линейность функции L_tk(s), получим:

. (13.22)

Обозначим ℓ_k=B_tkи подставим зависимость (13.22) в соотношение (13.21). После несложных преобразований получим точное численное значение определённого интеграла (13.20).

(13.23)

Формула (13.23) по существу есть представление численного значения определённого интеграла (13.20) в виде произведения трёх матриц первого порядка, т.е. в матричной форме. С учётом всех участков, где происходит изменение температуры, формула (13.19) для определения перемещений в матричной форме запишется:

. (13.24)

В матричном соотношении (13.24) _t– матрица перемещений от температурных воздействий. Количество её строк равно количеству определяемых перемещенийn, а столбцов – числу вариантов температурных воздействийf.

Матрица L_t– это матрица внутренних усилий (изгибающих моментов и продольных сил) от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений.

, гдеL_tj=.

Для k-ых участков, где задано изменение температуры=const, элементы блоковM_tjиN_tjфиксируются в срединных сечениях этих участков.

Матрица B_tназывается матрицей температурной податливости сооружения и состоит из двух блоков:B_tn,r– податливости, определяемой неравномерным приращением температуры, иB_t,0– равномерным приращением температуры.

.

В случае, когда для k-го участка изменения температуры_k = const,h_k = const, имеем:

.

Наконец, Т – это матрица приращений температуры по вариантам воздействий.

T= [T₁  T₁  … T_j  …T_f], где.

T_nr,jиT_0,j, соответственно, – подматрицы неравномерных и равномерных приращений температурj-го варианта температурного воздействия. Элементами этих матриц наk-ом участке изменения температуры являются перепады приращений температур по высоте поперечного сеченияи приращения температуры в центре тяжести поперечного сечения.

Пример13.5.1. Стержни трёхшарнирной рамы с затяжкой (рис. 13.8,а) имеют прямоугольные поперечные сечения, причём высота этих сечений для горизонтальных элементов равна 50 см, для вертикальных – 30 см. Материал, из которого изготовлена рама, имеет коэффициент линейного температурного расширения материала= 1210^-61/С. Первым воздействием на раму будем считать снижение наружной температуры на= -40С, вторым – повышение температуры внутри заданного контура на= 60С (рис. 13.8,а). От каждого из этих воздействий требуется определить горизонтальное перемещение узла С и угол поворота сечения "к", т.е. требуется вычислить элементы матрицы перемещений