Файл: л13-перемещения.doc

.

Для решения задачи используем матричное соотношение (13.24)

.

1. Вычисление перепадов приращений температур и приращений температуры на уровне центров тяжести поперечных сечений элементов рамыот каждого воздействия отдельно. На рис. 13.8,б,в графически, в виде эпюр, показано изменение этих величин, являющихся элементами матрицы Т, вдоль всех участков, где происходит изменение температуры. Ординаты эпюрыT_nrоткладываются со стороны более "тёплых" волокон, а на эпюре Т₀фиксируется знак "плюс" в случае положительных приращений температур на уровне центров тяжести поперечных сечений и знак "минус" – в случае отрицательных приращений температур.

2. Построение эпюр изгибающих моментов М₁, М₂и продольных силN₁,N₂от единичных факторов, приложенных в направлении искомых перемещений, и вычисление ординат в средних сечениях участков указанных эпюр с линейным характером изменения (рис. 13.9,а,б).

3. Нумерация участков, где происходит приращение температуры и где эпюры М₁, М₂,N₁,N₂имеют линейный характер, а также срединных сечений этих участков (рис. 13.8,г).

4. Формирование матриц L_t,TиB_t. Элементами матрицыL_tявляются изгибающие моменты М_tи продольные силыN_t(см. эпюры М₁, М₂,N₁,N₂на рис. 13.9,а,б), а элементами матрицы Т – перепады приращений температур по высоте поперечных сеченийT_nrи приращение температур на уровне центров тяжести поперечных сечений Т₀на участках, показанных на рис. 13.8,г (см. рис. 13.8,б,в).

Матрица температурной податливости B_tявляется диагональной и состоит из блоковB_t,nrиB_t,0, характеризующих податливость, определяемую, соответственно, неравномерными и равномерными приращениями температуры.

=

;

;

;

.

.

5. Вычисление требуемой матрицы перемещений.

.

Таким образом, горизонтальное перемещение узла С от снижения наружной температуры на = -40С составит= 0,0278 м = 2,78 см, а от повышения температуры внутри замкнутого контура на= 60С –= 0,0192 м = 1,92 см. Указанное перемещение происходит по направлению действия сосредоточенной силыF= 1 (см. рис. 13.9,а). Угол поворота сечения "к" от вышеупомянутых воздействий равен, соответственно,= -0,0036 рад и= -0,0048 рад. Отрицательные значения величиниозначают, что поворот сечения "к" от заданных изменений температуры совершится против часовой стрелки, т.е. в направлении, противоположном действию сосредоточенного момента М = 1 (рис. 13.9,б).

13.6. Определение перемещений от кинематических воздействий

Для определения перемещений в статически определимых системах от кинематических воздействий, в частности, от смещения опорных связей, используется формула, полученная в п. 12.3 части второй настоящего курса лекций.

, (13.25)

где n– число смещаемых связей.

Соотношение (13.25) представим в матричной форме, удобной для вычисления группы перемещений от различных вариантов кинематических воздействий:

. (13.26)

В матричной зависимости (13.26) _с– это матрица перемещений в заданном сооружении, вызванных заданными смещениями связей. Число её строк равно количеству определяемых перемещений, а столбцов – числу вариантов кинематических воздействий. Каждый вариант такого воздействия может включать в себя смещение одной или группы связей.

Элементы матрицы R_cпредставляют собой реакции в смещаемых связях от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений.

, где.

Реакции в k-ой смещаемой связи от единичных воздействий, приложенных в направлении искомых перемещений, в матрицуR_cвносятся со знаком "плюс", если их направление совпадает с направлением смещения этой связи, и со знаком "минус", – если не совпадает.

_(с)– матрица заданных смещений связей по вариантам воздействий.

.

Число строк в матрицах R_cи_(с)равноn– суммарному числу задаваемых смещений связей во всех вариантах воздействий; число столбцов: в матрицеR_c– числу определяемых перемещений, в матрице_(с)– числу вариантов задаваемых смещений связей.

Знак "минус" в формуле (13.25) учитывается в единичной матрице Е, число строк и столбцов которой равно n.

E=diag [-1  -1  … -1  -1].

Пример 13.6.1. В раме (рис. 13.10,а) заданы независимые друг от друга кинематические воздействия: первое – смещения опорных связей фундамента А (рис. 13.10,б) и второе – смещение опорных связей фундамента В (рис. 13.10,в). От каждого из указанных воздействий требуется определить горизонтальное и вертикальное перемещение сечения С, а также взаимный угол поворота сеченийmиn, т.е. вычислить элементы матрицы перемещений

.

Для решения поставленной задачи воспользуемся матричным соотношением (13.26)

.

1. Вычисление реакций в смещаемых опорных связях от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений (рис. 13.10,г). Эту операцию читателям рекомендуется выполнить самостоятельно.

2. Формирование матриц R_cи_(с).

3. Вычисление матрицы требуемых перемещений.

.

Вертикальное и горизонтальное перемещение сечения С от заданных кинематических воздействий вычислены в метрах, взаимный угол поворота сечений mиn– в радианах. Читателям предлагается самостоятельно пояснить смысл каждого элемента полученной матрицы перемещений.

13.7. Определение перемещений от воздействий различного характера

Ранее полученные матричные соотношения (13.8), (13.24) и (13.26) для определения перемещений в плоских статически определимых стержневых системах отдельно от воздействий различного характера могут быть представлены единой матричной зависимостью:

. (13.27)

В формуле (13.27): _– матрица перемещений в заданном сооружении;L₀– матрица усилий от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений; В₀– матрица общей податливости сооружения;L_– матрица характеристик состояния системы при заданных воздействиях.

Практический интерес представляет задача вычисления элементов матрицы перемещений сооружения от независимых друг от друга силовых, температурных и кинематических воздействий. В этом случае матрицы, вошедшие в соотношение (13.27), имеют следующую структуру:

,

.

Порядок формирования блоков L_i,B,L_F,L_t,B_t,T,R_c,E,_(с)описан в п. 13.4, 13.5, 13.6 настоящей лекции.