Файл: л13-перемещения.doc

В инженерных расчётах часто возникает необходимость определения группы различных перемещений узлов и сечений заданного сооружения от независимых друг от друга внешних воздействий – силовых, температурных, кинематических. Таблица величин этих перемещений, составленная по определенным правилам, называется матрицей перемещений.

Например, в раме, показанной на рис. 13.1, требуется определить горизонтальное перемещение узла А, вертикальное перемещение сечения "к" и угол поворота сечения "а" отдельно от равномерно распределенной нагрузки q, сосредоточенной силыF, сосредоточенного момента М, изменения температурыи смещения опорных связей₍₁₎,₍₂₎. Установим следующий порядок формирования матрицы перемещений. В её первой строке будем фиксировать только величины горизонтального перемещения узла А, во второй – вертикального перемещения сечения "к", в третьей – угла поворота сечения "а". Порядок записи величин искомых перемещений в каждой строке зависит от принятой нумерации внешних воздействий. Для нашего примера примем: первое воздействие – равномерно распределённая нагрузкаq, второе – сосредоточенная силаF, третье – сосредоточенный момент М, четвёртое – изменение температуры, пятое – смещение опорных связей₍₁₎,₍₂₎. С учётом установленных правил получим матрицу перемещений

 = .

В общем случае для любой задачи число строк матрицы перемещений равно числу определяемых перемещений различного характера, а число столбцов – числу независимых внешних воздействий (собственный вес конструкций, снег, ветер, технологическая нагрузка, изменение температуры, смещение опорных связей и т.д.). В первом столбце матрицы перемещений принято записывать группу искомых перемещений от постоянной нагрузки.

В настоящей лекции рассматривается вычисление элементов матриц перемещений в матричной форме. Для успешного усвоения материала этой и последующих лекций читателям полезно повторить некоторые разделы линейной алгебры, связанные с действиями транспонирования, сложения, вычитания, умножения и обращения матриц.

13.2. Вычисление интегралов формулы Мора в матричной форме в случае произвольных подынтегральных функций

В одиннадцатой лекции (см. Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Ч. 2. Статически определимые системы: Курс лекций / А.А. Крамаренко. – Новосибирск: НГАСУ, 2002. – п. 11.4) было отмечено, что определённые интегралы всех членов формулы Мора

имеют одинаковую структуру и в обобщённой форме могут быть представлены следующим образом:

. (13.1)

Здесь Ф_ik(s) – общее представление функций внутренних усилий М_ik(s),Q_ik(s),N_ik(s) от единичного фактора, приложенного в направлении определяемого перемещения; Ф_Fk(s) – представление функций внутренних усилий М_Fk(s),Q_Fk(s),N_Fk(s) от заданного силового воздействия;T_k(s) – представление функций, описывающих изменение жесткостей поперечных сеченийEJ_k(s),GA_k(s),EA_k(s) и параметраk__kвдоль осиk-го грузового участка.

Численное значение определённого интеграла (13.1) можно получить по формуле Симпсона в матричной форме

(13.2)

В соотношении (13.2):

;;;

;

– матрица, транспонированная по отношению к матрице Ф_ik;– значение функций, входящих в подынтегральное выражение (13.1) в начале интервала;– в середине;,– в конце интервала (рис. 13.2); Т₀– некоторое произвольное число.

Матричная трактовка формулы Симпсона (13.2) позволяет вычислить перемещения от силового воздействия с любой предварительно заданной точностью.

В частном случае, когда T_k(s) =const = T_k, соотношение (13.2) перепишется:

(13.3)

Так как , то приняв Т₀= Т_k, в этом случае получим:

Значение определённого интеграла (13.3) будет точным, если подынтегральная функция будет представлять собой алгебраический полином степени не выше третьей (например, когда определяются линейные и угловые перемещения отдельных сечений и узлов стержневых систем от силового воздействия, включающего сосредоточенные силы и моменты, а также равномерно распределённые нагрузки). Если же силовое воздействие содержит распределённые нагрузки с переменными интенсивностями, то матричная формулировка формулы Симпсона и в случае, когда T_k(s) =constдаёт приближённое значение определённого интеграла (13.3).

13.3. Вычисление интегралов формулы Мора в матричной форме в случае линейных подынтегральных функций Фik(s), фFk(s)

В п. 13.2 упоминалось, что численное значение определённого интеграла (13.1) можно получить в матричной форме (13.2)

Учитывая линейность функций Ф_ik(s) и Ф_Fk(s), их значения приs = 0,5ℓ_kивыразим черезиприs = 0 ииприs = ℓ_k(рис. 13.3).

;(13.4)

С учётом зависимостей (13.4) матрицы выражения (13.2) и Ф_Fkперепишутся:

. (13.5)

Принимая во внимание соотношения (13.5), определённый интеграл выражения (13.2) в матричной форме представим следующим образом:

Вычислив произведение трёх центральных матриц, получим:

(13.6)

В формуле (13.6):

В случае, когда T_k(s) = const = Т_k, т.е. когда== =, при Т₀=T_kматрица Р_kпримет вид:

Наконец, при Ф_ik(s) =const= Ф_ik, Ф_Fk(s) = const = Ф_Fk,T_k = constопределённый интеграл соотношения (13.3) вычисляется наиболее просто.

, (13.7)

где .

В этой ситуации для k-го участка все матрицы формулы (13.7) формируются из одного элемента.

13.4. Определение перемещений от силового воздействия

В одиннадцатой лекции (п. 11.3) упоминалось, что влияние деформаций изгиба, сдвига и растяжения–сжатия на величины перемещений в сооружениях неодинаково. В рамах и балках преимущественное влияние на величины перемещений оказывают деформации изгиба, в комбинированных системах, – как деформации изгиба, так и растяжения–сжатия, в фермах при узловой передаче нагрузки – только деформации растяжения–сжатия. В ряде случаев, например, при расчёте арок и пространственных стержневых систем определение перемещений производится с учётом всех видов деформаций. С учётом данного обстоятельства рассмотрим определение перемещений в сооружениях различного типа от силового воздействия в матричной форме.

1. Балки и рамы.Приняв в соотношении (13.2) Ф_ik(s) =M_ik(s), Ф_Fk(s) = M_Fk(s),T_k(s) =EJ_k(s),P_k = B_Mk, перепишемформулу Мора для определения перемещений в матричной форме:

. (13.8)

В выражении (13.8): n_M– количество грузовых участков для изгибающих моментов;M_i– матрица изгибающих моментов от единичных факторов, приложенных в направлении определяемых перемещений, или матрица изгибающих моментов в единичных состояниях заданного сооружения; В_М– матрица внутренней упругой податливости сооружения, учитывающая деформации изгиба его элементов;M_F– матрица изгибающих моментов от силового воздействия.

Матрицы M_i, В_М,M_Fявляются блочными, причём количество блоков в них равно числу грузовых участков для изгибающих моментов (n=n_M).

(13.9)

Структура блоков, входящих в матрицы (13.9) для любого грузового участка, определяется видом функций, входящих в подынтегральное выражение соотношения (13.8).

В общем случае, когда на k-ом грузовом участке с переменной изгибной жёсткостью поперечного сеченияEJ_k(s) есть распределённая нагрузка, функцияM_Fk(s) нелинейна. Тогда в соответствии с выражением (13.2) имеем: