Файл: trigonometrich_ryad.doc

Так как по условию ограничена в , то существует число М>0 такое, что<М для всех .

Возьмем любое ε>0. Найдем по определению равномерной сходимости ряда номер N такой, что <для всех. Известно, что во всяком сходящемся ряде множитель, общий для всех членов ряда, можно «выносить за скобку». Поэтому справедливо следующее равенство:

Теперь, используя предыдущее неравенство, получаем:

Итак, <дляn N и для всех . Ввиду произвольности

это и означает, что ряд равномерно сходится в .

Т е о р е м а. Если функция f(х) разлагается на в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот тригонометрический ряд есть ее ряд Фурье.

Доказательство. Пусть для

(3)

и ряд сходится равномерно в . Проинтегрируем обе части равенства (3) в . При вычислении интеграла от правой части можно по условию теоремы проинтегрировать ряд почленно:

---

По теореме из § 1 (свойство ортогональности системы тригонометрических

функций) интегралы под знаком суммы равны нулю, и, таким образом, получаем:

,

откуда , то есть(см. формулу (1)).

Теперь умножим обе части равенства (3) на cos nx, где п – любое натуральное число, и проинтегрируем опять в . Умножение всех членов равномерно сходящегося ряда на ограниченный множитель cos nx в силу леммы не нарушает равномерной сходимости ряда, и ряд в правой части (3) можно опять интегрировать почленно:

(4)

В силу теоремы из § 1 интеграл в первом слагаемом равен нулю, первый из интегралов в скобках равен нулю при nm, а второй – всегда равен нулю. Следовательно, из всего ряда в правой части (4) остается только слагаемое с номером n=m:

(см. конец доказательства теоремы из § 1).

Таким образом, равенство (4) принимает вид:, откуда

, то есть (см.(1)).

Таким же образом, умножая обе части равенства (3) на sin nx и интегрируя почленно, получаем, что .

Итак, коэффициенты тригонометрического ряда (3) совпадают с коэффициентами Фурье функции f(х), то есть ряд (3), действительно, является рядом Фурье функции f(х)

---

4. Особенности ряда фурье четной и нечетной функций

1. Пусть функция f(х) задана на и четная.

Проверим, что в этом случае коэффициенты Фурье b_n функции f(х) равны нулю. Так как f(х) – четная функция, то произведение f(х)sin nx – нечетная функция (см. том I, гл. II, § 3), и в силу свойства интеграла от нечетной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно сказать, что

, то есть (1)

Формулам для коэффициентов можно придать несколько иной вид. Действительно, произведениеf(х)cos nx – четная функция и по свойству интеграла от четной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно написать (см. предыдущую ссылку):

Итак, ,(2)

Таким образом, ряд Фурье, соответствующий четной функции, содержит только члены с косинусом и свободный член:

~

2. Пусть функция f(х) задана на и нечетная.

Используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно показать, что в этом случае

(3)

(4)

и поэтому нечетной функции соответствует ряд Фурье, содержащий только члены с синусами:

~

---

5. Сходимость ряда фурье

Соотношение (2) из § 2 оставляет открытым вопрос о том, сходится ли ряд Фурье функции f(х) в , и, если сходится, то к какой функции он сходится: к функции f(х), породившей этот ряд, или к какой-либо другой функции?

Аналогичный вопрос ставился и в гл. XXII при рассмотрении ряда Тейлора функции f(х). Там были даны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы ряд Тейлора функции f(х) сходился в именно к самой этой функции. Поскольку не всякая бесконечно-дифференцируемая функция, то есть такая функция, которой можно поставить в соответствие ее ряд Тейлора, удовлетворяет этим условиям, то и не всякий ряд Тейлора сходится к той функции, для которой он составлен.

Для сходимости ряда Фурье во всех точках промежутка и для того, чтобы сумма ряда Фурье во всем промежутке, за исключением лишь конечного числа точек, совпадала с функцией f(х), породившей этот ряд Фурье, оказываются достаточными, например, следующие условия, наложенные на функцию f(х):

Т е о р е м а (Дирихле). Если функция f(х) такова, что

1) f(х) имеет в разве лишь конечное число точек разрыва первого рода,

2) f(х) имеет конечный правосторонний предел в точке и конечный левосторонний предел в точке,

3) промежуток можно разбить на конечное число частей, внутри каждой из которой f(х) изменяется монотонно,

то ряд Фурье функции f(х) сходится в промежутке , причем его сумма

а) равна числу ,(1)

---

если ,

б) равна числу ,(2)

при и при.

Доказательство этой теоремы мы не приводим, так как оно требует довольно длительных и сложных рассуждений.

Замечание 1. Из а) следует, что сумма ряда Фурье во всякой точке , в которой f(х) непрерывна, равна числу . Действительно, еслиf(х) непрерывна в точке х_0, то и значение выражения (1) совпадает со значением. Следовательно, сумма ряда Фурье совпадает с функциейвсюду, гденепрерывна.

Замечание 2. Так как члены ряда Фурье являются периодическими функциями с периодом (как было указано в § 1), то из теоремы Дирихле следует, что ряд Фурье при указанных условиях сходится на всей оси.

Замечание 3. Если функция , для которой составляется ряд Фурье, сама является периодической функцией с периодом(и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле), то утверждения а), б) и в) этой теоремы справедливы не только в промежутке , но и в любом промежутке , где

Таким образом, в любой точке числовой оси, отличной от, сумма ряда Фурье равна значению выражения (1) (еслинепрерывна в точке, то значение (1) совпадает с); в точках видасумма ряда Фурье равна значению выражения (2).

---