Файл: Ф_ЦИИ НЕСК_ ПЕРЕМ .doc

­­­­ТЕМА: ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Теоретический материал для изучения

§1. Основные понятия.

Приведем примеры функций нескольких переменных:

а) объем параллелепипеда: V = abc, гдеa,b,c– его длина, ширина и высота;

б) сила гравитационного притяжения между телами: , гдеm₁ и m₂ – массы тел,R– расстояние между телами,- гравитационная постоянная.

Это примеры функций трех переменных. Введем понятие функции nпеременных на примере пространства товаров.

Будем считать, что имеется n различных товаров. Количествоi– го товара обозначим x_i(i = 1,2, . . . n).Тогданабор товаровобозначимX = (x₁, x₂, . . . , x_n)– его можно рассматривать какn– мерный вектор. Множество всех наборов товаров{X}называетсяпространством товаров.ВекторыХназываются элементами этого пространства. Любые два набораX₁ = (x₁¹, x₂¹, . . . , x_n¹)иX₂ = (x₁², x₂², . . . , x_n²)можно сложитьХ₁ + Х₂ по правилу сложения векторов и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число, последнее означает безграничную делимость товаров, т.е. товары «устроены» наподобие сахарного песка, а не автомобилей. Если в пространстве для всех его элементов определены операции сложения и умножения на число со всеми своими свойствами, то такое пространство называетсялинейным(Rⁿ).Таким образом, пространство товаров является линейным.

Пусть каждый товар имеет цену p_i (i = 1,2, . . . n, p_i > 0).Тогда векторP = (p₁,p₂,_{, . . . ,}p_n) – называется вектором цен. Набор товаровХи вектор ценРимеют одинаковую размерность. Тогда их скалярное произведениеPX = p₁x₁ + p₂x₂ + . . . +p_nx_n есть число, которое называетсяценой набораили егостоимостьюи обозначаетсяС(Х). Если в линейном пространстве определена операция скалярного произведения, то такое пространство называетсяевклидовым(Eⁿ).Пусть вектор цен известен, т.е. ценыp₁,p₂,_{, . . . ,}p_n – данные (фиксированные) величины, тогда стоимость набора товаров есть функцияnнеизвестных:С(Х) = p₁x₁ + p₂x₂ + . . . +p_nx_n.

---

Приведем примеры многомерных функций, используемых в экономике (их одномерные аналоги мы уже рассматривали).

Функция полезностиu(X) = u(x₁, x₂, . . . , x_n)– субъективная числовая оценка данным индивидом полезности набора товаровХ = (x₁, x₂, . . . , x_n).

Функция издержекC(Y) = C(y₁, y₂, . . . y_n)– зависимость издержекСот объемов выпускаемой продукцииY = (y₁, y₂, . . . y_n).

Производственная функция y = F(X) = F(x₁, x₂, . . . , x_n) - зависимость объема выпускаемой продукцииyот объемов перерабатываемых ресурсовХ = (x₁, x₂, . . . , x_n).Наиболее известная производственная функция –функция Кобба-Дугласа:

y = AK^L^1-, гдеA, -неотрицательные константы,K– объем вкладываемого в производство капитала,L –объем вкладываемых трудовых ресурсов.

Df. Если каждому вектору Х = (x₁, x₂, . . . , x_n) из множества D по некоторому правилу (закону) f поставлено в соответствие одно и только одно число y E  R, то говорят, что на множестве D задана (определена) функция n переменных: y = f(x₁, x₂, . . . , x_n) или y = f(X).

При этом x₁, x₂, . . . , x_n – независимые переменные (аргументы),y –зависимая переменная (функция).

Множество D – называетсяобластью определения функции; множество значений, принимаемых функциейE,называетсяобластью изменения функции.

---

§2. Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.

Многие понятия, определенные для функции одной переменной, почти без изменения переносятся на функции нескольких переменных, заданных в евклидовом пространстве. Так, функция одной переменной может быть четной, нечетной, возрастающей, убывающей, ограниченной и т.д. Как выглядят эти понятия для функции нескольких переменных?

Прежде чем дать определение возрастающей (убывающей) функции на множестве Е^п, должно быть определеноотношение порядка:Х₁ < Х₂ понимается как строгое неравенство для всех компонент векторов:x₁¹< x₁², x₂¹< x₂², . . . , x_n¹< x_n².Тогда определение возрастающей (убывающей) функции нескольких переменных полностью аналогично соответствующему определению для функции одной переменной:

Df.Функцияy(X) называется возрастающей (убывающей) на множествеD  Е^п, еслиХ₁, Х₂  D, таких чтоХ₁ < Х₂ следует, чтоy(X₁) < y(X₂) (y(X₁)>y(X₂));функцияy(X) называется неубывающей (не возрастающей) на множествеD  Е^п, еслиХ₁, Х₂  D, таких чтоХ₁  Х₂ следует, чтоy(X₁)  y(X₂) (y(X₁) y(X₂)).

Df.Функцияf(X), область определения которой(D(f))симметрична относительно нуля называется четной (нечетной), еслиf(-X) = f(X) (f(-X) = -f(X))для любогоX D(f).

Df.Функцияf(X)называется ограниченной сверху (снизу) на множествеD, если существует такоечисло m, чтоf(X)  m (f(X)  m)  X  D.

Df.Функцияf(X), ограниченная и сверху и снизу на множествеDназывается ограниченной на этом множестве, еслиm₁  f(X)  m₂,  X  D(m₁, m₂ – некоторые числа).

---

Замечание.Из функции нескольких переменных можно получить несколько функций одной переменной: пусть функцияy = f(x₁, x₂, . . . , x_n)– функцияnпеременных. Зафиксируем значения переменныхx₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰, . . . , x_n = x_n⁰, ах₁– пусть изменяется. Тогда получим функцию одной переменной: y₁ = f(x₁, x₂⁰, x₃⁰, . . . , x_n⁰) = y₁(x₁).Аналогично можно получить функциюy₂(x₂), зафиксировав значения переменныхх₁, х₃, . . . ,х_n, и т.п. Значит, выражение «функцияy = f(x₁, x₂, . . . , x_n)возрастает пох₁» означает, что возрастает функцияy₁(x₁)приx₂ = x₂⁰, x₃ = x₃⁰, . . . , x_n = x_n⁰.

Графическое изображение функции более чем двух переменных невозможно. В случае же если функция f– функция двух переменныхx иy, а значения ееz, тоz = f(x,y) и график этой функции – поверхность в пространствеR³, состоящая из точек(x,y,z), где(x,y)  D(f) (D(f) – область определения функции).

Например.

1. z = x² + y² – параболоид.

Область определенияD(z)– множество всех точек плоскостиOXY.

Область значений E(z): [0; +).Z

Y

О

X

2) - эллиптический конус.

Область определения D(z)– множество всех точек плоскостиOXY.

---

Область значенийE(z): (-; +).Z

O Y

X

3) x² + y² + z² = R²– сфера с центром в точкеО(0;0;0)и радиусаR.

Z

O Y

X

4)- эллипсоид с центром в точкеО(0;0;0).

Z

Y

O O

X

Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня.

Df. Линией уровня функции двух переменных z = f(x,y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью, параллельной плоскости OXY: z = C, где C = const.

Из определения следует, что линия уровня – это линия, в каждой точке которой значение функции не изменяется ( = С ).

Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям С, проецируются на плоскостьOXY, тогда с их помощью можно исследовать характер поверхности, описываемой функциейz = f(x,y). Т.о. линии уровня функцииz = f(x,y)– это семейство кривых на координатной плоскостиOXY, описываемые уравнениями вида f(x,y)= С.

---