Файл: Ф_ЦИИ НЕСК_ ПЕРЕМ .doc

Пусть имеем функцию z = f (x,y)иM₀(x₀,y₀)- стационарная точка этой функции, т.е.f’_x(x₀,y₀) = f’_y(x₀,y₀) =0.

Обозначим А = f”_xx(x₀,y₀),B = f”_xy(x₀,y₀), C = f”_yy(x₀,y₀), D = AC – B².

Теорема 2 (достаточный признак экстремума)

Если D>0 иA<0, то в точкеМ₀(x₀,y₀)функция имеет максимум;

Если D>0 иA>0, то в точкеМ₀(x₀,y₀)– минимум;

Если D<0,то в точкеМ₀(x₀,y₀)экстремума нет.

В случае, если D = 0экстремум в точкеМ₀(x₀,y₀)может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования (без доказательства).

Пример.

Найти экстремум функции: z = x²+xy+y²-3x-6y.

Решение

1. z’_x= 2x + y -3; z’_y= x + 2y – 6.

2. Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:

2x + y – 3 = 0

x+ 2y -6 =0

2x + y =3

x +2y = 6 2

2x + y = 3

2x + 4y = 12

- 3y = -9

y = 3 x = 0. Отсюда получим стационарную точкуМ (0,3).

3. z”_xx = 2 = A

z”_xy = 1 = B

z”_yy= 2 = C

- экстремум функции в точкеМесть, а так какА = 2 >0,

то в точке М(0,3)– минимум.

4. z_min(0,3) = -9

8