Файл: Ф_ЦИИ НЕСК_ ПЕРЕМ .doc

Геометрический смысл полного дифференциала.

Для функции одной переменной y = f(x)в точкеx₀ геометрический смысл дифференциала означает приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссойx₀при переходе к точкеx₀ + x. А дифференциал функции двух переменных в этом плане является приращениемаппликатыкасательнойплоскости, проведенной к поверхности, заданной уравнениемz = f(x,y), в точкеM₀(x₀, y₀) при переходе к точкеM(x₀ + x, y₀ + y).Дадим определение касательной плоскости к некоторой поверхности:

Df.Плоскость, проходящая через точкуР₀поверхностиS, называетсякасательной плоскостью в данной точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через две точкиР₀иР(любая точка поверхностиS), стремится к нулю, когда точкаРстремится по этой поверхности к точкеР₀.

Пусть поверхность Sзадана уравнениемz = f(x,y).Тогда можно показать, что эта поверхность имеет в точкеP₀(x₀, y₀, z₀)касательную плоскость тогда и только тогда, если функцияz = f(x,y)дифференцируема в этой точке. В этом случае касательная плоскость задается уравнением:

z – z₀ = + (6).

§5. Производная по направлению, градиент функции.

Частные производные функции y=f(x₁,x₂..x_n)по переменнымx₁, x₂ . . . x_n выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Например,есть скорость изменения функции пох₁ – то есть предполагается , что точка, принадлежащая области определения функции, перемещается лишь параллельно осиОХ_1, а все остальные координаты остаются неизменными. Однако, можно предположить, что функция может изменяться и по какому-нибудь другому направлению, не совпадающему с направлением какой либо из осей.

---

Рассмотрим функцию трех переменных: u=f(x,y,z).

Зафиксируем точку М₀(x₀,y₀,z₀)и какую-нибудь направленную прямую (ось)l, проходящую через эту точку. ПустьМ(x,y,z) - произвольная точка этой прямой иМ₀М- расстояние отМ₀доМ.

u = f (x,y,z) – f(x₀,y₀,z₀)– приращение функции в точкеМ₀.

Найдем отношение приращения функции к длине вектора :

Df.Производной функцииu = f (x,y,z)по направлениюl в точкеМ₀называется предел отношения приращения функции к длине вектораМ₀Мпри стремлении последнего к 0 (или, что одно и то же, при неограниченном приближенииМкМ₀):

(1)

Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке М₀в направленииl.

Пусть ось l (векторМ₀М) образует с осямиOX, OY, OZуглысоответственно.

Обозначим x-x₀= ;

y - y₀ = ;

z - z₀ = .

Тогда вектор М₀М = (x - x₀, y - y₀, z - z₀)= и его направляющие косинусы:

;

;

.

(4).

---

(4) – формула для вычисления производной по направлению.

Рассмотрим вектор, координатами которого являются частные производные функции u=f(x, y, z)в точкеМ₀:

grad u - градиент функцииu=f(x, y, z)в точке М(x, y, z)

Свойства градиента:

1. Производная функции u=f(x, y, z)в данной точке М(x, y, z)по направлениюlимеет наибольшее значение, если направлениеlсовпадает с направлением градиента функции в этой точке.

2. Наибольшее значение производной функции u=f(x, y, z)по заданному направлению в данной точкеМ(x, y, z) равно длине градиента функции в этой точке:.

Вывод: длина градиента функцииu=f(x, y, z) – есть наиболее возможное значениев данной точкеМ(x, y, z), а направление вектораgrad uсовпадает с направлением вектора, выходящего из точкиМ, вдоль которого функция меняется быстрее всего. То есть, направление градиента функции grad u - есть направление наискорейшего возрастания функции.

---

§6.Частные производные высших порядков.

Частные производные ,i = 1,2, . . . ,nназываютчастными производными первого порядка.Их можно рассматривать как функции отX=(x₁,x₂,. . . x_n). Эти функции могут иметь частные производные, которые называютсячастными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

(1),

где i = 1, 2, . . . , n иk = 1, 2, . . . , n.

Если i  k, то частная производная (1) называетсясмешанной частной производной второго порядка. Еслиi = k, то частная производная второго порядка обозначается следующим образом:

(2).

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков.

Функция y = f (x₁,x₂…x_n)называетсяm раз дифференцируемой в точкеМ₀(x₁⁰, x₂⁰. . . ,x_n⁰),если все её частные производные(m-1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями в этой точке.

Теорема Шварца

Если функция y = f (X) дифференцируема m раз в точке M (x₁, x₂ .. x_n), то смешанные производные m- го порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для функции z = f (x,y)имеем.

§7. Экстремумы функции нескольких переменных

п.1 Определение и необходимые условия локального экстремума

Пусть функция y = f (X)определена на некотором множестве, аM₀ (x₁⁰,x₂⁰ .. x_n⁰)– некоторая точка этого множества.

---

Df.1

Функция y = f(X) имеет в точке М₀ локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М₀ ,что для любой точки М(x₁,x₂ .. x_n) из этой окрестности выполняется неравенство .

Так же, как и в случае функции одной переменной,точка М₀ называется критической точкой функцииy = f(X), если все частные производные функции в этой точке равны нулю или какая-нибудь из них не существует.Точка М₀ называется стационарной точкойфункции, если она есть внутренняя точка области определения и все частные производные функции в этой точке равны нулю.

Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных):

Если функция y = f(x₁, x₂, . . . ,x_n) имеет во внутренней точке М₀(x₁⁰,x₂⁰.. x_n⁰) экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю в точке М₀:

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых все частные производные равны нулю или какая-нибудь из них не существует; в случае, если функция всюду имеет частные производные, то координаты этих точек можно найти, решив систему уравнений:

(2).

п.2 Достаточное условие экстремума

Для функции многих переменных достаточный признак экстремума намного более сложен, чем для функции одной переменной (Если в точке х = х₀: f(x₀)=0, тогда еслиf”(x₀) < 0то в этой точке функция имеет максимум, а если f”(x₀) > 0то - минимум).

Ограничимся случаем функции двух переменных:

---