Файл: Лекции.doc

Рис.3.7. Структурная схема звена

Характеристическое уравнение

 p²+2T₀ p + 1= 0;

p_1,2 = , (3.36)

т.е. значения и характер корней характеристического уравнения зависят от величины коэффициента относительного затухания .

При >1 корни характеристического уравнения (см. (3.36)) являются вещественными, и поэтому передаточную функцию рассматриваемого звена можно представить в следующем виде:

, (3.37)

где . (3.38)

В этом случае звено второго порядка эквивалентно по своим динамическим свойствам последовательному соединению двух инерционных звеньев первого порядка и называется инерционным звеном второго порядка.

При 0< < 1 корни характеристического уравнения

p_1,2 = -  j,

где , (3.39)

т.е. корни комплексно-сопряженные, а звено называется колебательным.

При  = 0 передаточная функция колебательного звена примет вид

W(p) = 1/( p² + 1). (3.40)

Корни характеристического уравнения

 p²+1= 0;

p_1,2 = , (3.41)

являются мнимыми сопряженными, а звено называется консервативным.

Рассмотренные передаточные функции и корни характеристических уравнений показывают, что звено второго порядка может обладать разными динамическими свойствами.

3.4. Временные характеристики типовых динамических звеньев

а) Усилительное безынерционное звено.

На основе формул (3.6), (3.7) и (3.30) переходная и импульсная переходная функции: h(t) = = k = const; (3.42)

w(t) = 0. (3.43)

б) Интегрирующее звено.

На основе формул (3.6), (3.7) и (3.31)

h(t) = ; (3.42)

w(t) = = Т_и (3.43)

Графики этих функций показаны на рис. 3.8

Рис.3.8

в) Апериодическое звено.

На основе формул (3.6), (3.7) и (3.32)

h(t) = = 1-; (3.44)

w(t) = = . (3.45)

Графики этих функций показаны на рис. 3.9

Рис.3.9

Переходная функция апериодического звена является экспонентой, а поэтому любая подкасательная равна постоянной времени, h(T) = 0,63, h[(35)T]  1.

г) Апериодическое звено второго порядка.

В соответствии с (3.6), (3.7) и (3.35) переходная и импульсная переходная функции инерционного звена второго порядка

h(t) = =1-- ; (3.46)

w(t) = ( - ). (3.47)

Графики этих функций показаны на рис 3.10.

Рис.3.10

График переходной функции имеет точку перегиба h_n(t_n), что подтверждает наличие двух устройств (элементов), способных накапливать энергию.

Вычислив вторую производную h(t), найдем координаты точки перегиба пе­реходной функции

= = (- + ),

откуда следует, что в точке перегиба

= ,

а поэтому

h_n = h(t_n) = 1-.

Угол наклона касательной к переходной функции, проведенной в точке (t_n,h_n)

tg_n = = w_n(t) = = ,

т.е. касательная в точке перегиба отсекает на асимптоте h(t)=1 отрезок, равный сумме постоянных времени T₁ и T₂ (см. рис 3.10,а).

д.) Колебательное звено

В соответствии с (3.6), (3.7) и (3.35) переходная и импульсная переходная функции колебательного звена (0<<1)

h(t)==; (3.48)

w(t) = . (3.49)

Графики этих функций показаны на рис. 3.11.

Рис.3.11

Обратим внимание, что период (затухающих) колебаний

,

где  - частота этих колебаний. Интенсивность затухания колебаний определяется абсолютным значением отрицательной действительной части корней характеристического уравнения. Затухание колебаний за период, как видно из рис.3.11 и выражения (3.48),

,

где m= - степень затухания колебаний, что соответствует физической сущности динамических процессов в колебательном звене.

е) Консервативное звено

В соответствии с (3.48) переходная и импульсная функции консервативного звена

h(t) = = (1- cos ₀t) (3.50)

w(t) = ₀ sin ₀t (3.51)

где ₀=1/T₀ - частота собственных колебаний, совпадающая с частотой вынужденных колебаний, т.е. имеет место резонанс.

ж) Дифференцирующее звено

В соответствии с (3.39) и (3.40) переходные функции дифференцирующих звеньев определяются следующими формулами:

для идеального дифференцирующего звена

h(t) = Т_д(t) = ; (3.52)

для реального дифференцирующего звена (совпадает с импульсной переходной функцией апериодического звена)

h(t) = = , (3.53)

т.е. при t = 0 h(0) = 1.

Импульсная переходная функция реального дифференцирующего звена

w(t) = (t) - . (3.54)

3.5. Частотные характеристики типовых динамических звеньев

Полученные ранее формулы (3.19), (3.20) и (3.21) являются определяющими для нахождения аналитических выражений для частотных характеристик.

Апериодическое звено

W(j) = = = - j, (3.55)

т.е. U() = ; V() = .

A() = = ; (3.56)

() = arctg = - arctg T. (3.57)

АЧХ и ФЧХ звенья показаны на рис. 3.12.

Рис.3.12

Если АЧХ и ФЧХ этого звена сняты экспериментально, то на частоте =1/Т, A(1/T)=, (1/T)=-45. Поэтому значения эти легко найти. Следовательно, по полученным характеристикам можно найти пара­метры звена (К и Т).

АФХ может быть построена по формуле (3.55) при изменении частоты от 0 до . Это обусловлено тем, что для частотных характеристик линейных звеньев и систем

U(-)=U(), V(-)=-V().

Рис.3.13