Файл: Лекции.doc

3) W_p(j_)>1, что ведет к увеличению амплитуды колебаний на частоте _ и, следовательно, такая система неустойчива.

Отобразим три возможных варианта поведения замкнутой системы на плоскости АФХ разомкнутой системы (см. рис. 4.3).

Рис. 4.3. Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы для трех вариантов преобразования гармоники X_св(j) на частоте _

Рассмотренная выше физическая трактовка динамических свойств замкнутой системы и рис. 4.3 позволяют сделать заключение о том, что

если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (1, j0).

Разомкнутая система неустойчива.

В этом случае наглядная физическая трактовка условий устойчивости практически невозможна. Поэтому целесообразно воспользоваться принципом аргумента для вспомогательной функции

 (p) = 1 + W_p(p) = 1 + = = , (4.17)

где D_p(p) и D_з(p) - характеристические многочлены соответственно замкнутой и разомкнутой систем. При p=j

(j) =

и  arg (j) =  arg D_з(j) -  arg D_p(j). (4.18)

0   +   0   +    0   + 

Если разомкнутая система неустойчива и характеристическое уравнение D_p(p)=0 имеет m корней с положительной действительной частью, то условие устойчивости системы в замкнутом состоянии запишется на основании (4.15) и (4.18) в следующем виде:

 arg (j) = n/2 - (n - 2m)/2 = 2 m /2. (4.19)

0   + 

Это значит, что в этом случае условием устойчивости замкнутой системы является охват годографом вектора (j) начала координат своей комплексной плоскости m /2 раз в положительном направлении при изменении  от 0 до +  . Однако использовать такую методику анализа устойчивости неудобно. Если же на основании (4.17) учесть, что

 (p) = 1 + W_p(p) или W_p(p) =  (p)- 1. (4.20)

Это означает, что  (p) и W_p(p) отличаются только постоянным смещением на единицу, т.е. началу координат на плоскости  (p) соответствует на плоскости W_p(p) точка с координатами (-1, j0).

Вместо подсчета числа охватов АФХ разомкнутой системы точки с координатами (-1, j0) целесообразно подсчитать разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных переходов (снизу вверх) отрезка (-1-) дей­ствительной оси АФХ разомкнутой системы (в частотном диапазоне от 0 до + ). Для устойчивости системы в замкнутом состоянии эта разность должна быть равна m/2, где m - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью.

Примечание. Если АФХ разомкнутой системы начинается (при =0) на отрезке (-1-) действительной оси, то учитывается 1/2 перехода с соответствующим знаком.

Если разомкнутая система нейтрально устойчива, т.е. в состав W_p(p) входят интегрирующие звенья, то для анализа устойчивости замкнутой системы АФХ разомкнутой системы должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса, проходящей в отрицательном направлении число квадрантов, соответствующих числу интегрирующих звеньев.

Пример 4.2. Передаточная функция разомкнутой системы

W_p(p) = .

Выполнить анализ устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Найквиста для двух случаев: T₁<<T₂ и T₁>>T₂.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

p²(T₂ p + 1) = 0

имеет корни p_1,2 = 0 и p₃ = - 1/T₂, т.е. эта система нейтрально устойчива и m=0.

АФХ разомкнутой системы показаны на рис. 4.4.

При T₁<<T₂ АФХ разомкнутой системы пересекает один раз отрезок (‑1‑) вещественной оси в отрицательном направлении, т.е. условие устойчивости замкнутой системы не выполняется.

При T₁>>T₂ разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы отрезка вещественной оси (-1 -) равна 1-1=0 и m=0, т.е. условие устойчивости замкнутой системы выполнено.

Рис. 4.4. АФХ разомкнутой системы, рассматриваемой в примере 4.2. штрихпунктирной линией обозначена основная часть АФХ W_p(j) для случая T₁>>T₂

4.4. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости

Анализ устойчивости по логарифмическим характеристикам ЛЧХ разомкнутых систем выполняется на основе критерия устойчивости Найквиста-Михайлова.

АФХ разомкнутых систем в зависимости от пересечения с вещественной осью относительно критической точки с координатами (-1, j0) можно подразделить на два типа: первый, когда все точки пересечения АФХ с вещественной осью расположены справа от критической точки (рис. 4.5); второй, когда точки пересечения АФХ с вещественной осью расположены справа и слева от критической точки (рис. 4.4).

Рассмотрим взаимнооднозначное соответствие между АФХ первого типа и ЛЧХ.

Рис. 4.5. АФХ первого типа

АФХ первого типа, показанная на рис 4.5 сплошной линией, соответствует системе, устойчивой в замкнутом состоянии. На этой АФХ выделены две частоты: частота среза (_с), при которой W_p(j_с)=А(_с)=1 и частота _, при которой arg W_p(j_)=_p(_)=-180.

Для устойчивых замкнутых систем удаление годографа W_p(j) от критической точки (-1, j 0) характеризуется запасами устойчивости по фазе и модулю. Минимальный угол , образуемый вектором W_p(j_с) и отрицательной частью действительной оси, называется запасом устойчивости по фазе

 = 180 - arg W_p(j_с) (4.21)

Минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической и ближайшей точкой пересечения годографом W_p(j) с действительной осью называют запасом устойчивости по модулю.

Отобразим рис. 4.5 на плоскость ЛЧХ (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, соответствующие устойчивой замкнутой системе (сплошные линии) и неустойчивой замкнутой системе (пунктирная линия)

Рассмотренное позволяет сделать вывод:

система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФХ первого типа, устойчива в замкнутом состоянии, если при всех частотах, при которых ЛАЧХ положительна, т.е.L() 0, ()>-180 .

4.5. Влияние структуры и суммарного коэффициента системы на устойчивость

Существуют САУ, которые неустойчивы при любых значениях параметров. Такие системы называют структурно неустойчивыми. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, изменив ее структуру.

Рассмотрим в качестве примера одноконтурную систему, содержащую одно апериодическое звено и два интегрирующих звена. Характеристическое уравнение такой системы имеет вид

(T₂ p + 1)  p² + K = 0 (4.22)

и не содержит слагаемое с p в первой степени, т.е. a₁=0. Очевидно, что в данном случае не выполняется необходимое условие устойчивости - условие положительности коэффициентов характеристического уравнения, и никакие вариации параметров T₂ и K не могут привести к появлению слагаемого с p в первой степени. Следовательно, эта система структурно неустойчива.

Существуют звенья, которые, как правило, ухудшают устойчивость системы, и звенья, которые почти всегда улучшают устойчивость. К первой группе относятся звенья:

интегрирующее

W(p) =; (4.23)

неустойчивое инерционное звено первого порядка

W(p) =; (4.24)

консервативное

W(p) =. (4.25)

Звеньями, улучшающими устойчивость системы, являются форсирующие звенья. Обычно используют форсирующие звенья первого порядка

W(p) = T_ф p + 1. (4.26)

Рассмотрим общие условия структурной устойчивости одноконтурной системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы в общем случае имеет вид

D_з(p) = D_p(p) + M_p(p) = 0,

где D_p(p)=- произведение знаменателей передаточной функции отдельных звеньев, входящих в контур системы;