Файл: Лекции.doc

АФХ апериодического звена показана на рис.3.13.

Отметим, что для линейных систем и звеньев строятся асимптотические ЛАЧХ. Рассмотрим методику этого построения для апериодического звена.

Используя выражение (3.56), найдем соотношение для ЛАЧХ в децибелах (дБ).

L()=20lg=20lg1-20lg. (3.58)

Найдем асимптотическое представление для (3.58). Для этого рассмотрим два диапазона частот.

Для 0    1/T L()  20lg1. (3.59)

Для 1/T     L()  20lg1 - 20lgT=-20lgT. (3.60)

Выражения (3.59) и (3.60) представляет собой уравнения прямых линий (асимптот точной ЛАЧХ). Низкочастотная асимптота (3.59) горизонтальна и совпадает с осью частот, а высокочастотная асимптота (3.60) является наклонной прямой линией. Эти асимптоты сопрягаются (соединяются) на частоте сопряжения.

Выясним, с каким наклоном на плоскости ЛАЧХ проводится асимптота (3.60). Для этого найдем изменение ординаты этой асимптоты при десятикратном изменении частоты, т.е. найдем наклон прямой в размерности дБ/дек:

L(10) - L() = 20lg1 - 20lg(10T) - 20lg1 - 20lgT = -20lg 10 = -20 дБ,

а это означает, что наклон этой асимптоты равен -20 дБ/дек.

Максимальная погрешность аппроксимации имеет место при _сопр=1/Т и равна 20lg 3 дБ.

ЛЧХ апериодического звена построены на рис. 3.14.

Рис.3.14

Для интегрирующего звена

W(j) = = ,

т.е. A()= и )=-/2, что отображено на рис. 3.14.

Обратим внимание на то, что интегрирующее звено дает постоянный сдвиг по фазе, равный -90 при всех значениях частот.

ЛАЧХ определяется выражением

-20lg A() = 20lg = 20lg1 - 20lg . (3.61)

Выражение (3.61) - уравнение прямой линии, имеющей наклон -20 дБ/дек на плоскости ЛАЧХ при всех значениях частот. Эта линия проходит при =1с^-1 через ординату L()=0 дБ (см. рис. 3.14)

ЛЧХ других типовых динамических звеньев приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1.

Характеристика основных элементарных звеньев

Продолжение табл. 3.1.

3.6. Построение логарифмических частотных характеристик последовательного

соединения звеньев

Чтобы понять порядок построения ЛЧХ последовательного соединения звеньев, рассмотрим два примера.

Пример 3.1.

.

Это передаточная функция последовательного соединения безынерционного усилительного звена W₁(p)=10, двух интегрирующих звеньев W₂(p)=, апериодического звена W₃(p)= и форсирующего звена с передаточной функцией W₄(p)=2p+1.

Аналитическое выражение для ЛАЧХ этого соединения

L() = 20lg10 - 40lg - 20lg+ 20lg.

Следует учесть, что строятся асимптотические ЛАЧХ. Построим их на рис. 3.15 и графически просуммируем. При построении учтем сопрягающие частоты _сопр1=1/2=0,5 с^-1, _сопр2=1/0,4=0,25 с^-1 и то, что ЛАЧХ двух интегрирующих звеньев (W₂(p)=) есть прямая с наклоном -40 дБ/дек, пересекающая ось нуля децибел (ось частот) при =1 с^-1. Результатом суммирования окажется ломаная линия, показанная на рис. 3.15.

Низкочастотная асимптота пройдет с наклоном -40 дБ/дек до сопрягающей частоты _сопр1=0,5 с^-1 так, что ее продолжение будет зафиксировано в точке (=1 с^-1, L₁()=20lg10=20 дБ). На первой сопрягающей частоте наклон асимптоты изменится на +20 дБ по сравнению с наклоном предыдущей асимптоты и составит -20 дБ. На второй сопрягающей частоте _сопр2=0,25 с^-1 наклон асимптоты изменится на -20 дБ/дек по сравнению с наклоном предыдущей асимптоты и составит -40 дБ/дек.

Рис. 3.15

Рассмотренное в примере 3.1 обоснование построения асимптотических ЛАЧХ последовательного соединения типовых динамических звеньев можно свести к следующим этапам:

1) По передаточной функции соединения звеньев находят 20lgK дБ и сопрягающие частоты _сопрi=1/Т_i.

2) Проводят низкочастотную асимптоту:

а) горизонтально, если отсутствуют интегрирующие и идеальные дифференцирующие звенья (ордината этой горизонтали равна 20lgK дБ);

б) с наклоном -20 дБ/дек через точку с координатами (=1 с^-1, L(1)=20lgK дБ), если имеется  интегрирующих звеньев;

в) с наклоном +20 дБ/дек через точку с координатами (=1 с^-1, L(1)=20lgK дБ), если имеется  идеальных дифференцирующих звеньев.

3) На каждой сопрягающей частоте наклон асимптоты изменяется по отношению к наклону предыдущей асимптоты на:

-20 дБ/дек - для апериодического звена,

-40 дБ/дек - для колебательного звена,

+20 дБ/дек - для форсирующего звена первого порядка W(p)=,

+40 дБ/дек - для форсирующего звена второго порядка W_i(p)  = .

4) При необходимости производится уточнение асимптотической ЛАЧХ, что существенно при наличии колебательных звеньев с относительными коэффициентами <0,5.

ЛФЧХ последовательного соединения строится на основании алгебраического суммирования ЛФЧХ звеньев, входящих в это соединение. В этом случае упростить построение не удается.

При использовании ЭВМ производится точное построение ЛАЧХ и ЛФЧХ. При этом необходимо задаться начальным и конечным значениями частоты и шагом ее изменения, при котором обеспечивается необходимое число расчетных точек в пределах каждой декады.

В заключение отметим, что частотные характеристики позволяют судить о влиянии на динамические свойства систем тех или иных звеньев и осуществлять анализ и синтез систем автоматического управления. Поэтому ЛАЧХ и ЛФЧХ необходимо строить на одном графике.