Файл: Лекции.doc

M_p(p) - произведение числителей этих же функций.

Условия структурной устойчивости зависят от порядка п характеристического уравнения и вида многочленов D_p(p) и M_p(p). Обозначим:

- число интегрирующих звеньев (4.23);

t - число неустойчивых звеньев;

r - число консервативных звеньев, входящих в систему.

Если форсирующих звеньев в контуре нет, т.е. M_p(p)=К (где - К коэффициент усиления системы), то условие структурной устойчивости системы выражается в виде двух неравенств:

(4.27)

Для более сложных видов многочлена M_p(p) условия структурной устойчивости одноконтурных систем приводятся в специальной литературе.

Рассмотрим влияние одного из основных параметров системы - суммарного коэффициента усиления разомкнутого контура на ее устойчивость. Учтем, что для одноконтурных систем коэффициент К входит в выражение ЧПФ W(j) как множитель

W(j) = , (4.28)

где

Это означает, что длины вектора W(j) при всех значениях  пропорциональны коэффициенту К.

При увеличении коэффициента К АФХ расширяется (рис. 4.7,а) и приближается к критической точке (-1, j0). Следовательно, увеличение добротности системы приводит к нарушению устойчивости системы.

Это правило справедливо для большинства реальных систем, т.е. систем с АФХ первого рода. Однако существуют системы с АФХ второго рода (рис. 4.7,б). В таких системах к нарушению устойчивости может привести не только увеличение, но и уменьшение коэффициента усиления.

Рис 4.7. Определение предельного значения коэффициента усиления

Значение коэффициента усиления, при котором АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1, j 0), т.е. при котором замкнутая система находится на границе колебательной устойчивости, называют предельным или критическим. Этот вопрос с помощью критерия Гурвица рассматривался в 4.2 (см. пример 4.1).

Если A_p(_) = W_p(j_) = B (см. рис. 4.7,а), К_кр = К/В.

Таким образом, установлена одна из важнейших в ТАУ закономерностей

чем больше суммарный коэффициент усиления разомкнутого контура регулирования, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.

Предельное значение коэффициента усиления зависит от соотношения постоянных времени звеньев, образующих контур системы. Рассмотрим систему, структурная схема которой показана на рис. 4.8.

Рис. 4.8

Передаточная функция замкнутой системы

W_з(j) = = , (4.29)

где K_ = K_уK₁K₂K₃ K_ос

D(p) = a₃ p³ + a₂ p² + a₁ p + a₀ ,

где

(4.30)

Согласно критерию Гурвица система третьего порядка будет находиться на границе колебательной устойчивости при

₂ = а₁а₂ - а₀а₃ = 0. (4.31)

Подставив в уравнение (4.31) коэффициенты (4.30), получим

(Т₁Т₂ + Т₁Т₃ + Т₂Т₃)( Т₁ + Т₂ + Т₃) - Т₁Т₂Т₃(1 + К_КР) = 0. (4.32)

Решив это равенство относительно К_КР и выполнив некоторые дополнительные преобразования (деление на а₃), получим

К_КР = . (4.33)

На основании выражения (4.33) можно сформулировать важное практическое правило:

предельное значение добротности системы зависит от соотношения постоянных времени и не зависит от их абсолютных значений.

В рассматриваемом случае К_КРмин=8 при Т₁=Т₂=Т₃.

Для увеличения К_КР целесообразно уменьшать наименьшую постоянную времени.

Рассмотрим случай контура регулирования, состоящего из п одинаковых апериодических звеньев с Т_i=Т. Для нахождения К_КР используем условия прохождения АФХ разомкнутого контура через точку (-1;j 0). В этом случае частота среза _с=_, что позволяет записать следующие два уравнения:

(4.34)

n arg tg(_с T) = - . (4.35)

Из уравнения (4.35) получаем

_с T = - tg(/n). (4.36)

Подставив (4.36) в уравнение (4.34), найдем

(4.37)

5. Синтез замкнутых систем регулирования

Обычно под синтезом замкнутой системы регулирования подразумевается расчет и включение в контур регулирования дополнительных динамических звеньев, корректирующих устройств, с целью достижения требуемых показателей качества в установившемся и переходном режимах, которые задаются в технических требованиях.

На практике наибольшее распространение получил частотный метод синтеза корректирующих устройств с использованием логарифмических амплитудных (ЛАЧХ) и логарифмических фазовых (ЛФЧХ) частотных характеристик разомкнутой системы регулирования.

5.1. Содержание технических требований

В качестве исходных данных для синтеза принимаются технические требования к точности системы регулирования в установившихся режимах работы и динамические показатели переходного процесса отработки ступенчатого задающего воздействия.

Технические требования к системе регулирования обычно составляются на основании параметров технологического процесса, в реализации которого используются система регулирования.

Точность системы регулирования в установившемся режиме при отработке воздействия f_з называют статизмом по воздействию f_з.

Статизм определяется соотношением

(5.1)

где Y_з – заданное значение выходной координаты;

Y_х – выходная координата после отработки воздействия f_з.

Если статизм равен нулю, т.е. S_fз=0, то система называется астатической по входу f_з .

На рисунке 5.1. приведен график переходного процесса отработки системой регулирования ступенчатого воздействия f_з.

К динамическим показателям переходного процесса отработки ступенчатого воздействия относятся:

1. Время переходного процесса t_пп, с,

2. Перерегулирование  %,

3. Число колебаний регулируемой координаты n_к,

4. Время нарастания до заданного значения t_нр, с.

Время переходного процесса t_пп – момент вхождения выходной координаты Х в зону допустимых отклонений, после которого она уже не выходит из этой зоны.

Перерегулирование выходной координаты  % вычисляется из соотношения

(5.2)

Рис.5.1 График переходного процесса отработки системой регулирования

Ступенчатого воздействия fз

Число колебаний n_к равно числу переходов выходной координаты через уровень заданного значения до попадания в зону допустимых отклонений.

Время нарастания t_нр – момент первого достижения регулируемой координатой уровня заданного значения.

5.2. Общий порядок синтеза корректирующего устройства и вид желаемой лачх

На основании технических требований по точности, времени переходного процесса t_пп и допустимому перерегулированию  выбирается вид желаемой ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой скорректированной системы. В теории регулирования было выявлено, что существует определенная взаимосвязь между ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы и точностью, временем переходного процесса t_пп и перерегулированием  в замкнутом контуре регулирования.

Типовые желаемые ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых скорректированных систем приведены на рисунке 5.2 а, б, в. Они имеют асимптоты с наклоном –0, -20, -40 ДБ/дек (рис. 5.2.а); -20, -20, -40 ДБ/дек (рис.5.2.б); -40, -20, -40 ДБ/дек (рис.5.2.в). При этом первым указывается наклон низкочастотной асимптоты.

Разомкнутый контур с ЛАЧХ вида 0; -20; -40 Дб/дек имеет передаточную функцию

(5.3)

и содержит три звена: одно усилительное и два апериодических.

На рис. 5.2.а ЛФЧХ определяется соотношением

()= - arctg T₁ - arctg T₂

Разомкнутый контур с ЛАЧХ вида –20; -20; -40 Дб/дек имеет передаточную функцию

(5.4)