Файл: лекция № 7.doc

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 7

з теми: «Рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної .»

Модуль кзн-02. Пр.О.04.01 Диференціальні рівняння першого порядку

Дисципліна: «Диференціальні рівняння».

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ О.В. Велікодна

Розробив викладач Велікодна О. В.

План заняття

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної.

Мета:

• Дидактична: вивчити методи розв’язання диференціальних рівнянь, не розв’язаних відносно похідної, зокрема метод введення параметру. Розглянути метод розв’язання задачі Коші для даного типу рівнянь першого порядку.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до предмету, вміння чітко та логічно мислити, будувати алгоритми розв’язання основних типів рівнянь.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція.

Вид: лекція - діалог

Методи та форми проведення заняття: мовний, репродуктивний, індуктивний.

Науково-методичне забезпечення:

1. Романенко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

2. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969. – 424 с.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176с.

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учеб. пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

---

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: лінійна алгебра та аналітична геометрія, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються: рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

Хід заняття

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення диференціального рівняння першого порядку;

• Дати визначення загального інтегралу рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання рівняння з розділеними змінними;

• Визначити частинний розв’язок рівняння першого порядку;

• Визначити основні вимоги до постановки задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Сформулювати теорему існування та єдності розв’язку задачі Коші для рівняння першого порядку;

• Визначити основний метод розв’язання однорідних рівнянь першого порядку.

• Визначити основний метод розв’язання лінійних рівнянь першого порядку та рівнянь Бернуллі.

• Визначити основний метод розв’язання рівняння в повних диференціалах.

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної.

• Мотивація вивчення матеріалу: опанувати основні методи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь першого порядку необхідно для їх застосування при розв’язанні прикладних задач. Окрім цього, диференціальні рівняння та методи їх розв’язання дають змогу навчитися чітко та логічно будувати думки.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

---

Конспект лекції № 7

Тема: Рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної

План лекції № 7

1. Про диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної.

2. Методи інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку, не розв’язаних відносно похідної.

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної має вигляд

. (1)

Найбільш часто зустрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ого степеня

. (2)

Означення 1. Функція , визначена і неперервно диференційовна на , називається розв’язком диференціального рівняння (1), якщо вона після підстановки в (1) перетворює це диференціальне рівняння в тотожність

.

Означення 2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок диференціального рівняння (1) в неявній формі, якщо воно визначає як функцію і вона є розв’язком диференціального рівняння (3.1).

Означення 3. Говорять, що співвідношенням , , , визначається розв’язок диференціального рівняння (1) в параметричній формі, якщо

.

Криві на площині , які відповідають розв’язкам, будемо називати інтегральними кривими.

Задача Коші – задача знаходження розв’язків, які задовольняють умові .

---

Означення 4. Говорять, що задача Коші для диференціального рівняння (3.1) з початковими умовами має єдиний розв’язок, якщо через точку в достатньо малому околі її проходить стільки інтегральних кривих, скільки напрямків поля визначає диференціальне рівняння в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.

Теорема 1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

Якщо функція задовольняє наступним умовам:

а) є визначеною і неперервною разом зі своїми частинними похідними в деякому замкнутому околі точки;

б) ;

в) ,

то диференціальне рівняння (1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно–диференційовний в околі точки , який задовольняє умові і такий, що .

(Теорема без доведення).

Припустимо, що розв’язуючи диференціальне рівняння (1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки

, (3)

де визначені в області так, що ми маємо диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в будь якій точці напрямки поля, визначені кожним диференціальним рівнянням (3), різні. Так що інтегральні криві різних рівнянь не можуть дотикатися один одного на .

---

Нехай кожне диференціальне рівняння (3) на має загальний інтеграл

. (4)

Означення 5. Сукупність інтегралів (4) будемо називати загальним інтегралом диференціального рівняння (.1) в області .

Інколи замість співвідношення (3.4) записують

. (5)

Якщо поле на не задовольняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпадали, то інтегральні криві, які відповідають диференціальному рівнянню, дотикаються один одного в точці . Тому, крім інтегральних кривих диференціального рівняння (3.3), будуть ще склеєні інтегральні криві. Всі вони будуть входити в (4) або (5).

В загальному випадку диференціальне рівняння (1) не вдається розв’язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство інтегральних кривих у вигляді

, (6)

яке називається загальним інтегралом диференціального рівняння (1).

Якщо сімейство інтегральних кривих задано у вигляді

, (7)

то воно називається загальним розв’язком диференціального рівняння (1).

Зауважимо, що в (6) можуть входити і розв’язки диференціального рівняння виду (3), коли – комплексні. Ми таких диференціальних рівнянь не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.

Сімейство інтегральних кривих, знайдене в параметричному вигляді

(8)

будемо називати загальним розв’язкам диференціального рівняння в параметричній формі.

---