Файл: лекция № 7.doc

Означення 6. Розв’язок диференціального рівняння (1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.

Означення 7. Розв’язок називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

Аналогічно диференціальним рівнянням, розв’язаним відносно , диференціальне рівняння (1) може мати розв’язки, які є ні частинними ні особливими.

Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (3) розв’язок буде особливим, якщо він буде особливим хоча б для одного з диференціальних рівнянь (3).

Приклад 1. Розв'язати диференціальне рівняння

. (9)

Розв'язання. З (9) маємо: . Тоді – загальний інтеграл. Його можна записати таким чином . Цей загальний інтеграл є накладка двох сімейств інтегральних кривих (мал. 3.1).

М ал. 1

Розв’язок задачі Коші для диференціального рівняння (9) в кожній точці площини є єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля: . І через цю точку проходить дві інтегральні криві

, (10)

, якщо (11)

і та , якщо .

---

Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки при фіксованих . Особливих розв’язків немає.

---

Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок

Припустимо, що диференціальне рівняння (1) представлено в формі (3). При дослідженні на особливий розв’язок рівнянь виду (3) ми вище прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких є необмеженою. Але переходити від диференціального рівняння (1) до рівнянь (3) – недоцільно при визначені особливих розв’язків, так як .

Дійсно, припустимо, що існують похідні та ,тоді

.

Звідки

. (12)

Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові

. (13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи

. (14)

Розв’язком системи (14)

=0 (15)

є дискримінантна крива. Якщо вона задовольняє диференціальне рівняння (1) і в кожній точці порушується єдиність, то це буде особливий розв’язок.

Приклад 2. Дослідити на особливі розв'язки диференціальне рівняння

. (16)

Розв'язання. Знаходимо дискримінантну криву, розв'язуючи систему рівнянь

.

Маємо

. (17)

Співвідношення (17) – дискримінантна крива рівняння (16). А на ній ми маємо не два, а один напрямок поля . В той же час – через неї може проходити не одна інтегральна крива.

---

Домашнє завдання: [2], стор. 68-75, [3], §8, стор.34-37, №№ 251, 256, 167, 283, стор. 38.

---