Файл: Курс лекций.doc

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели.

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в характере функциональных зависимостей, связывающих их величины.

Экономико-статистические модели устанавливают зависимость между показателями и определяющими их факторами в виде линейной и нелинейной функции. Основными элементами экономико-статистической модели являются экзогенные и эндогенные переменные, индек­сы и параметры. Экзогенные переменные — это перемен­ные, которые задаются вне модели, т.е. известны заранее. Параметры — это коэффициенты уравнений модели. Эндо­генные переменные — это те переменные, которые опреде­ляются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. Все переменные и параметры модели имеют свой индекс, ко­торый меняется от 0 до n. Например, если экономико-статистическая модель имеет вид

у = а₀ + a_lx_l + a₂x₂ +...+ а_nx_n,

то у — эндогенная переменная; а₀, а₁, а₀, ..., а_n — парамет­ры; x₁, х₂, ..., х_n — экзогенные переменные; i = 0, 1, ..., n — индексы.

Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию. Целевая функция в самом общем виде определяется тремя моментами: управляемыми переменными; неуправляемыми переменными (зависящими, например, от внешней среды); формой функции (видом зависимости между ними). Система ограничений состоит из отдельных математичес­ких уравнений или неравенств, называемых балансовыми урав­нениями или неравенствами.

3 Классификация экономико-математических моделей

На сегодняшний день общепризнанной единой классифика­ции моделей не существует. Однако можно выделить порядка десяти классификационных рубрик таких моделей. Рассмотрим некоторые из этих рубрик.

В зависимости от формы построения можно выделить следующие типы моделей:

- словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень час­то она выражается в виде определения, правила, теоремы, зако­на или их совокупности;

- графическая модель создается в виде рисунка, географиче­ской карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс — цена (Р). Кри­вая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот (рисунок 1.1);

Рисунок 1.1 - Графическая модель, отображающая зависимость

между спросом и ценой

- физические, или вещественные, модели создаются для кон­струирования пока еще несуществующих объектов.

По степени агрегирования объектов моделирования различают модели:

- микроэкономические (эти модели разрабатываются для углубленного анализа структуры производства, позволяют выявить резервы роста объемов производства продукции);

- локальные (это модели, с помощью которых анализируются и прогнозируются некоторые показатели развития отрасли);

- макроэкономические (эти модели строятся для изучения народного хозяйства республики в целом на базе укрупненных показателей). Макромодели в зависимости от принятых уровней детализации подразделяются на одно-, двухсекторные и многосекторные (одно-, двух-, многопродуктовые).

По учету фактора времени различают модели:

- статические (в этих моделях экономическая система описана в статике, применительно к одному определенному моменту вре­мени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени);

- динамические (эти модели описы­вают экономическую систему в развитии).

По учету фактора неопределенности различают модели.

- детерминированные (с однозначно определенными резуль­татами);

- стохастические (с различными вероятностными результа­тами).

По цели создания и применения различают модели:

- балансовые (в этих моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования. Эти модели представляют систему балансов производства и распределения продукции и записываются в форме шахматных квадратных матриц);

- эконометрические (параметры этих моделей оцениваются с помо­щью методов математической статистики. В данных моделях развитие ос­новных показателей моделируемой экономической системы выражается через тренд (длительную тенденцию). Эконометрические модели используются для анализа и прогно­зирования конкретных экономических процессов с использова­нием реальной статистической информации);

- оптимизационные (позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели);

- имитационные (наряду с машинными решениями со­держат блоки, где решения принимаются человеком (экспер­том). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний, которые образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом ими­тации действий человека, эксперта в данной области);

- сетевые (наиболее широко применяются в управле­нии проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ);

- модели систем массового обслуживания (создаются для ми­нимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания).

По типу математического аппарата различают модели линейного и нелинейного программирования; корреляционно-регрессионные; матричные; сетевые; теории игр; теории массового обслуживания, теории управления запасами и т.д.

4 Основные этапы экономико-математического моделирова­ния

Будучи целенаправленным процессом, моделирование осуществляется в соответствии с достаточно строгой, логиче­ски упорядоченной программой действий. В числе основных этапов построения экономико-математической модели могут быть:

1) постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

2) построение математической модели;

3) математический анализ модели;

4) подготовка исходной информации;

5) численное решение;

6) анализ численных результатов и их применение.

1. Постановка экономической проблемы и ее качествен­ный анализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения, выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняю­щие поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это этап формали­зации экономической проблемы, т. е. выражения ее в виде кон­кретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип эконо­мико-математической модели, изучаются возможности ее при­менения в данной задаче, уточняются конкретный перечень пе­ременных и параметров и форма связей. Для некоторых слож­ных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей, при этом каждая модель выделяет лишь некото­рые стороны объекта, а другие стороны учитываются агрегированно и приближенно.

3. Математический анализ модели. На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулиро­ванной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в ре­шение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т. д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому иссле­дованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. В экономических за­дачах это чаще всего наиболее трудоемкий этап моделирования. Математиче­ское моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации, при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуе­мого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оцен­ки достоверности данных и т. д. При системном экономико-ма­тематическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.