Файл: Матан.docx

Гиперболой называют множество всех точек на плоскости, для каждой из которых разность расстояний до 2-х фиксированных точек, называемых фокусами этой гиперболы, есть величина постоянная и притом меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническая гипербола симметрична относительно потому и относительна

начала координат .

Гипербола пересекает в точках (-a; 0),(a;0)
Гипербола - не ограниченная фигура.

Параболы:

Параболой называют множество всех точек, для каждой из которых называемой фокусами параболой равно расстоянию до фиксированной G называемой директрисой.

, где p

Окружность:

Окружность - множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости.

Выведем каноническое уравнение:

Пусть C(a, b) – центр окружности, а R – ее радиус. Возьмем произвольную точку M(x, y) ∈ окр.

Расстояние от центра окружности до точки M находится по известной формуле

Каноническое уравнение окружности. В центре с координатами a и b и радиусом R

Если в этом уравнении раскрыть скобки и выполнить некоторые преобразования, то получим:

↑ назад в содержание ↑

16.Что такое поверхности 2-го порядка?

Поверхность 2-ого порядка это поверхности 2-ой степени в декартово системе координат:

Причем один из A,B,C,D,E,F0.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Рисунок 5.7.1

Свойства эллипсоида.

Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что
Эллипсоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,
осевой симметрией относительно координатных осей,
плоскостной симметрией относительно начала координат.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.
Эллиптический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,
плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Определение 5.14.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Рисунок 5.7.3

Свойства гиперболического параболоида.

Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.
Гиперболический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,
плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осямOx иOy, – парабола.

Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Рисунок 5.7.5

Свойства двуполостного гиперболоида.

Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.
Двуполостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,
осевой симметрией относительно всех координатных осей,
плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при– точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осямOx и Oy, – гипербола.

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x² = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x² = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x² – y² = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнениеx² + y² + z² = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x² + y² = 1 – круговой цилиндр, уравнение x² + y² = z² – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.