Файл: Матан.docx

(e в степени х)

② lim (ln(1+x))/x =1 или lim (ln(1+x))=0

x→0 x→0

Небольшой пример:

lim (e-1)/x=4 lim (e-1)/4x=4

x→0 x→0

(е в степени 4х)

-5 lim (ln(1-5x))/(-5x)=-5

x→0

↑ назад в содержание ↑

25.Расскажите о методах вычисления пределов основных типов. Приведите примеры.

↑ назад в содержание ↑

26.Дайте определение непрерывной функции. Приведите примеры.

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если .

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

1. .

2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

3. Обозначим  (приращение аргумента) и  (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при   также и  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

         Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Примеры:

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел, поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

↑ назад в содержание ↑

27.Что такое односторонние пределы и точки разрыва? Приведите примеры.

Случается так, что функция при приближении к некоторой точке a с различных сторон (слева, справа) Неограниченно приближается к различным значениям b₁ и b₂. Для формулировки этой и подобных ситуаций и вводится понятие односторонних пределов.

Говорят что функция f(x), имеет в точке a предел слева b₁, если

Говорят что функция f(x), имеет в точке a предел справа b₂, если

Примеры:

a) (предел справа, +0)

б) (предел слева,-0)

2)

а)

б)

3)

a)

б)

Определение: a– точка разрыва для функции f(x), если:

1. F(x) определена хотя бы на (a – ,a+) за вычетом возможных самой точки a

2. НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ

1)

2)

Разумно ввести классификацию точек разрыва, по возрастанию сложности.

1. «а» - устранима, если

Примеры:

1. f(a) не определена

2. a=0

2. Говорят что a – точка разрыва типа скачка, если конечные

Иногда устранимые точки вместе со скачками называют точками разрыва 1-го рода.

Все остальные точки разрыва называют разрывами 2-го рода.

↑ назад в содержание ↑

(28)77.Что такое линейная система уравнений? Какие системы называют равносильными? Примеры.

В линейной алгебре изучают системы линейных уравнений , методы их решения и связанные с этим вопросы.

Линейными называют уравнения вида:

a₁x₁+ a₂x₂ + … + a_nx_n = b

Числаa₁, … , a_nназывают коэффициентом такого уравнения, а b– его свободным членом. Мы будем рассматривать системы из нескольких линейных уравнений, при чем число неизвестных в такой системе может не совпадать с числом уравнений.

Существуют различные методы решения линейных систем. Наиболее универсальным среди них является т. н. метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Этот метод основан на преобразовании данной системы к удобному виду. Изложим связанные с этим понятия: Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если у системы нет решений, она называется несовместной.

Две системы уравнений, обладающие одним и тем же множеством решений, называются равносильными (эквивалентными). Примеры:

↑ назад в содержание ↑

(29)78.Что такое элементарные преобразования?

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность(равносильность) матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка местами любых двух строк матрицы;

• умножение любой строки матрицы на константу , ;

• прибавление к любой строке матрицы другой строки.

↑ назад в содержание ↑

(30)79.Что такое ступенчатая система? Примеры.

Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов, т. е.:

1. все нулевые строки находятся в матрице ниже ненулевых строк;

2. если (0,...,0,a_ik,...,a_in), - первый ненулевой элемент вi -й строке (называемый лидером i -й строки), то a_rs=0 для всех ,(элементыa_rs=0 для всех мест (r,s), расположенных в строчках, ниже i -й, и в столбцах s=1,2,...,k ). Другими словами, лидер строки с большим номером стоит строго правее.

Ненулевая матрица имеет главный ступенчатый вид, если матрицаA имеет ступенчатый вид, все лидеры ненулевых строк () равны1 и для каждого j, , вl_j -м столбце матрицы A единственный ненулевой элемент - это .