Файл: Матан.docx

Природа объектов не имеет никакого значения. Это могут быть вещественные или комплексные числа, векторы, матрицы, строки или что-то иное.

К числу стандартных действий относятся линейные операции, а именно: умножение на число и сложение; в данном конкретном случае - умножкние матрицы на число и сложение матриц.

При умножении матрицы на число каждый матричный элемент умножается на это число, а сложение матриц подразумевает попарное сложение элементов, расположенных в эквивалентных позициях.

Терминологическое выражение " линейная комбинация<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Матрицы  A = || a_i j ||  и  B = || a_i j ||  считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:

для любых допустимых значений индексов  i  и  j.  К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число).  Умножение матрицы на число  При умножении матрицы  A  на число  λ  (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

Сложение матриц  Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц  A = || a_i j ||  и  B = || b_i j ||  является матрица  C = || c_i j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида  , гдеи– числовые коэффициенты.

↑ назад в содержание ↑

(37)86.Что такое произведение двух матриц? При каких условиях оно определено? Примеры.

Умноже́ниема́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́ниемма́триц.

Произведением матрицы размеровна матрицуразмеровназывается матрицаразмеров, элементы которой вычисляются по формуле

где ,.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матрицсогласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.

 Найти произведения матриц AB и BA, если

   и   

   Р е ш е н и е: Имеем

↑ назад в содержание ↑

(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что умножение матриц не коммутативно.

Коммутативность = Перестановочность.

Обычные числа переставлять можно: , а матрицы в общем случае не перестановочны: .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  нужно, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

Пример:  Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.  Например, для матриц,  и  возможно как умножение , так и умножение 

↑ назад в содержание ↑

(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная матрица?

Пусть a – квадратная матрица порядка n. Обратной к ней матрице называется такая матрица A^-1, что A^-1*A=E (здесь A^-1 и E – квадратные матрицы того же порядка, причём E – единичная матрица).

Это определение вовсе не подразумевает, что обратная матрица существует для любой матрицы A.

Примеры

2. не существует

3. не существует

(0 0) – эта строка приводит к тому, что первая строка произведения этой матрицы на любую другую состоит из одних нулей (в единичной матрице это не так)

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.