Файл: Матан.docx

Система координат - комплекс определений, реализующий метод координат, т.е. способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Система координат необходима для изучения геометрических объектов с помощью уравнений, неравенств и других условий.

Системы координат бывают:

Декартовая система координат

Полярная система координат

↑ назад в содержание ↑

7.Что такое общее уравнение прямой? Что можно узнать о прямой по ее уравнению?

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где ,и— произвольные постоянные, причем постоянныеине равны нулю одновременно.Вектор с координатами называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При прямая проходит черезначало координат. Также уравнение можно переписать в виде

Уравнение прямой y=kx+b

Из уравнения прямой можно узнать где прямая пересекает оси Оx и Оy

↑ назад в содержание ↑

8.Как находится расстояние от точки до прямой?

Расстояние от точки до прямой – определение.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M₁, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M₁ прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H₁. Отрезок M₁H₁ называется перпендикуляром, проведенным из точки M₁ к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M₁ до прямой a называют расстояние между точками M₁ и H₁.

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M₁. Отрезок M₁Q называют наклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M₁ к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Это действительно так: треугольник M₁QH₁ прямоугольный с гипотенузой M₁Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

↑ назад в содержание ↑

9.Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?

Условие перпендикулярности прямых:

оказываются перпендикулярными когда

Условие параллельности прямых:

Две прямые будут являться параллельными( или совпадающими) когда их нормали коллинеарны

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

↑ назад в содержание ↑

10.Что такое общее уравнение плоскости в пространстве? Что можно узнать о плоскости по ее уравнению?

Уравнение плоскости:

Ax+By+Cz+D= 0

Общее уравнение плоскости :

Ax+By+Cz+D=0

Из уравнения плоскости можно узнать из каких координатах Ox,Oy,Oz, плоскость пересекает оси Ox,Oy,Oz.

↑ назад в содержание ↑

11.Угол между плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до плоскости.

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями :

В частности 2 плоскости перпендикулярны :

Две плоскости будут параллельны ( или совпадают) когда их нормали коллинеарны

Расстояние от точки до плоскости :

↑ назад в содержание ↑

12.Как задается прямая в пространстве? Что такое ее канонические уравнения?

Всякая прямая в пространстве есть линия пересечения двух плоскостей. Прямая в пространстве задается следующей системой уравнений:

!замечание

КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения- это уравнения вида:

- координаты точки лежащие на этой прямой

↑ назад в содержание ↑

13.Угол между прямыми, их параллельность и перпендикулярность.

Углом между двумя прямыми называется угол между их направляющими векторами.

= =;==;

Это уравнения двух прямых.

_ _

= ();= ()

Условие параллельности прямых

Введем точку и точку, гдена второй.

Прямые параллельные если не коллинеарен направляющим векторам.

Чтобы 2 прямые были перпендикулярными (в пространстве) необходимо, чтобы направляющие этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.