Файл: Матан.docx

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность

↑ назад в содержание ↑

19.Что такое неперово число е? Каково его приближенное значение?

Неперово число е иррационально.

НЕПЕРОВО ЧИСЛО - предел, к которому стремится выражение (1+1/n)n при неограниченном возрастании n: е = 2,718281828459045...; является основанием натуральных логарифмов; Название числа е по имени Дж. Непера мало обосновано.

↑ назад в содержание ↑

20.Что такое предел последовательности? Приведите примеры.

Число B называется пределом последовательности , если :

; ||<

Здесь сказано что каким бы малым ни было положительное число эпсилон все элементы данной последовательности, начиная с некоторого номера попадают в полосу между прямыми и

y =

B y = b

y =

1 2 3 4 5 6

Пример:

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

↑ назад в содержание ↑

21.Что такое график функции? Нарисуйте графики основных элементарных функций.

График функции – множество точек у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты – соответствующими значениями функции y.

	Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0
	Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0).
	Логарифмическая функция y = logax (a > 0)
	у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π
	Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на )
	Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках.

↑ назад в содержание ↑

22.Что такое предел функции? Приведите примеры.

Определение:

Говорят, что предел функции , если :

определена по крайней мере на некоторой правой полупрямой

Иными словами, B равняется пределу , в точности тогда, когда график этой функции при достаточно больших значениях аргументаx попадает в полосу b-E<y<b+E.

Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если Функцияx = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

Сумма конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малой при x → a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x → a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f (x), g (x), h (x) такие, что f (x) = g (x) h (x), , то функцииf (x) и g (x) называются эквивалентными при x → a: