Файл: Finmat.doc

__________________________________________________________________________________________________

12. Методы погашения долгов

Любой вид долгосрочного долга будет называть займом или долгом. Существует следующая классификация займов.

1. Займы без обязательного погашения. Взятая в долг сумма не возвращается, но проценты по займу выплачиваются неограниченное долгое время. Такой вид займа описывает механизм вечной ренты. Величина годового платежа

R = A i .

2. Займы с обязательным погашением в один срок. Основная сумма долга выплачивается разовым платежом. Проценты кредитору могут выплачиваться разными способами.

3. Займы с погашением в несколько сроков.

Рассмотрим второй вид займов. Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга D в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга это обычно создание погасительного фонда. Ежегодно в погасительный фонд вносится сумма R, на которую начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g (простые проценты). В этом случае срочная уплата

.

Поскольку фонд должен быть накоплен за n лет, соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо. Тогда срочная уплата

,

то есть в фонд систематически вносится сумма, равная

.

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:

.

Пример12.1. Долг в сумме 100 тыс. руб. выдан на 5 лет под 4% годовых. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке i = 5%. Разработать план погашения долга.

Р е ш е н и е. Пусть фонд формируется пять лет, взносы производятся в конце года равными суммами. .

Находим срочную уплату:

тыс. руб.

Годовой платеж в погасительный фонд R=18,09748 тыс. руб.

План погашения долга, тыс. руб.:

Год	Взнос в погасительный фонд, R	Накопления в погасительном фонде	Проценты кредитору	Срочная уплата, Y
1-й	18,09748	21,99760	4	22,09748
2-й	18,09748	20,95010	4	22,09748
3-й	18,09748	19,95247	4	22,09748
4-й	18,09748	19,00235	4	22,09748
5-й	18,09748	18,09748	4	22,09748
		=100 тыс. руб.

Рассматриваем по-прежнему второй вид займов. Изменим немного условие. Ежегодно в погасительный фонд вносится сумма R, на которые начисляются проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов за долг по ставке g (проценты сложные). В этом случае срочная уплата

.

Здесь - процентный платеж, вычисленный по сложным процентам, - ежегодные взносы в погасительный фонд.

Пример12.2. Фирма получила кредит 50 тыс. руб. на 4 года под 8% годовых (сложных проценты) в банке А. Кредитный контракт предусматривает погашение долга разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать погасительный фонд, для чего открыла счет в банке Б. На размещенные средства банк Б начисляет 10% годовых. Определить ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы.

---

Р е ш е н и е. Параметры финансовой операции: D=50 тыс. руб., g=8%, i =10%, n = 4. Взносы в погасительный фонд составят:

тыс. руб.

Рассчитаем выплаты процентных платежей по годам:

I₁ = 50 (1+0,08)^1-1× 0,08 = 4,0000 тыс. руб.

I₂ = 50 (1+0,08)^2-1 × 0,08 = 4,3200 тыс. руб.

I₃ = 50 (1+0,08)^3-1 × 0,08 = 4,6656 тыс. руб.

I₄ = 50 (1+0,08)^4-1 × 0,08 = 5,0388 тыс. руб.

Накопления на конец года в погасительном фонде:

S₁=R₁=10,7735 тыс. руб.

S₂=10,7735 × 1,1 + 10,7735 = 22,6244 тыс. руб.

S₃=22,6244 × 1,1 + 10,7735 = 35,6603 тыс. руб.

S₄=35,6603 × 1,1 + 10,7735 = 49,9998 » 50 тыс. руб.

План погашения кредита, тыс.руб.:

Годы	Выплата процентных платежей	Взносы в погасительный фонд, R	Накопления в погасительном фонде, St	Срочные уплаты, Yt
1-й	4,0000	10,7735	10,7735	14,7735
2-й	4,3200	10,7735	22,6244	15,0935
3-й	4,6656	10,7735	35,6603	15,4391
4-й	5,0388	10,7735+0,0002	49,9998+0,0002	15,8123+0,0002

В рассматриваемом примере фирма - заемщик сумела с выгодой для себя реализовать кредитную операцию, так как она на взносы в погасительный фонд получила проценты более высокие, чем платила по займу (i >g). В результате общая сумма расходов по погашению долга составила 61,1186 тыс. руб., что значительно меньше, чем, если бы фирма погасила долг разовым платежом:

тыс. руб.

Создание погасительного фонда выгодно даже в том случае, если i < g. Предположим, что процентная ставка на взносы в погасительный фонд i = 6%, остальные параметры финансовой операции такие же, тогда расходы по амортизации займа составят 63,7428 тыс. руб., отсюда

тыс. руб.

Рассмотрим третий случай, когда долг погашается в несколько сроков.

В кредитном контракте может быть оговорено условие - производить погашение основного долга равными ежегодными платежами. В этом случае размеры платежей по основному долгу будут равны:

Остаток основного долга в начале k-ого расчетного периода определяется как

Величина срочной уплаты в каждом расчетном периоде равна

Пример12.3. Кредит размером 30 тыс. руб. выдан на 5 лет под 5% годовых. По условиям контракта погашение основного долга должно производиться равными платежами, начисление процентов - в конце года. Составить план погашения кредита.

Р е ш е н и е. R =30/5=6 тыс. руб. - годовая уплата основного долга. Годовые срочные уплаты:

Y₁=6+(30-6×0)×0,05 = 7,5 тыс. руб.

Y₂=6+(30-6×1)×0,05 = 7,2 тыс. руб.

Y₃=6+(30-6×2)×0,05 = 6,9 тыс. руб.

Y₄=6+(30-6×3)×0,05 = 6,6 тыс. руб.

Y₅=6+(30-6×4)×0,05 = 6,3 тыс. руб.

План погашения долга, тыс. руб.:

Год	Долг Dk	Процентный платеж	Годовой расход по погашению основного долга	Годовая срочная уплата, Y
1-й	30	1,5	6	7,5
2-й	24	1,2	6	7,2
3-й	18	0,9	6	6,9
4-й	12	0,6	6	6,6
5-й	6	0,3	6	6,3
Итого		4,5	30	34,5

Величина процентного платежа для k-ого расчетного периода определяется по формуле

---

Этот метод погашения займа называется методом прямолинейного возвращения капитала.

12.1. Погашение долга равными срочными уплатами

Первый этап разработки плана погашения - определение размера срочной уплаты. Далее эта величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После этого легко найти остаток задолженности на любой промежуток времени.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с параметрами: D, R=Y, g. Приравняв сумму долга к современной стоимости этой ренты, находим размер срочной уплаты:

Y= .

Аннуитет Y содержит выплату основного долга и процентный платеж на остаток займа. Остаток долга уменьшается с каждой выплатой. Поэтому можно сделать вывод, что процентные платежи уменьшаются, а выплаты основного долга увеличиваются из периода в период.

Рассмотрим взаимосвязь между двумя выплатами займа. Если взять два следующих друг за другом расчетных периода k и (k+1) и если D_k-1 - остаток долга в начале k -го периода, d_k и d_k+1 - выплаты k -го и (k+1) -го периодов, то можно записать:

;

или

.

Откуда

.

Следовательно, выплаты образуют геометрическую прогрессию и (k+1)-я выплата будет равна

Таким образом, если заем погашается одинаковыми аннуитетами, выплаты растут в геометрической прогрессии.

Платежи по погашению долга образуют ряд:

d₁, d₁ ×(1+g), ..., d₁ ×(1+g)^n-1 .

Используя этот ряд, легко определить сумму погашенной задолженности на конец года t (после очередной выплаты):

.

Пример12.4. Кредит размером 30 тыс. руб. выдан на 5 лет под 5% годовых. По условиям контракта погашение основного долга производится равными срочными уплатами, то есть рентой с параметрами: Y (неизвестная величина), n = 5, g = 5%.

Р е ш е н и е. Находим PVIFA_{5% ,5} = 4,3294767. Размер срочной уплаты составит:

Y= тыс. руб.

Первый платеж по погашению долга

тыс. руб.

План погашения долга, тыс. руб.:

Годы	Остаток долга на начало года, Dk	Процентный платеж	Годовой расход по погашению основного долга, dk	Годовая срочная уплата, Y = const
1-й	30,00000	1,50000	5,42924	6,92924
2-й	24,57076	1,22854	5,70070	6,92924
3-й	18,87006	0,94350	5,98574	6,92924
4-й	12,88432	0,64422	6,28502	6,92924
5-й	6,59930	0,32996	6,59928+0,00002	6,92924+0,00002

12.2. Погашение займа переменными выплатами

основного долга

Рассмотрим случай, когда выплаты изменяются в геометрической прогрессии.

Одним из вариантов погашения кредитной задолженности может быть такой, при котором погашение основного долга должно производиться платежами, каждый из которых больше или меньше предыдущего в q раз. Таким образом, эти платежи будут являться членами возрастающей или убывающей геометрической прогрессии. Члены этой прогрессии будут иметь вид:

.

Величина основного долга является суммой этих членов и определяется по формуле геометрической прогрессии, где - первый член прогрессии и одновременно первый платеж основного долга, а q - знаменатель прогрессии. Тогда основной долг

---

.

Решим это уравнение относительно ,

.

Пример12.5. Кредит в размере 300 тыс. руб. должен быть погашен в течение 6 лет ежегодными выплатами. Процентная ставка 15% годовых, начисление процентов один раз в конце года. Платежи, обеспечивающие погашение основного долга, должны увеличиваться в геометрической прогрессии на 5% ежегодно. Составить план погашения кредита.

Р е ш е н и е. По условию примера: D = 300, n = 6, i = 0,15, q = 1,05. Определим величину первого платежа:

тыс. руб.

План погашения кредита, тыс. руб.

Годы	Долга	Процентный платеж	Годовой расход по погашению долга	Годовая срочная уплата
1	300,00000	45,00000	44,10524	89,10524
2	255,89476	38,38421	46,31050	84,69471
3	209,58426	31,43764	48,62603	80,06367
4	160,95823	24,14373	51,05733	75,20106
5	109,90090	16,48514	53,61020	70,09534
	56,29070	8,44361	56,29052+0,00018	64,73431
Итого		163,89433	300,00000	463,89433

Самостоятельно рассмотреть случай, когда выплаты изменяются в арифметической прогрессии и решить следующую задачу:

Кредит размером 400 тыс. руб. выдан на 5 лет под 15% годовых с начислением процентов в конце каждого года. Выплаты основного долга должны возрастать ежегодно на 10 тыс. руб. Составьте план погашения кредита.

13. Ипотечные ссуды

Ссуды под залог недвижимости, или ипотеки, получили широкое распространение в странах с развитой рыночной экономикой. В такой сделке владелец имущества получает ссуду у залогодержателя. В случае если владелец имущества отказывается от погашения ссуды или не полностью погашает задолженность, то залогодержатель имеет право возместить ущерб из стоимости заложенного имущества.

Характерной особенностью ипотечных ссуд является длительный срок погашения - в США до 30 и даже более лет.

Существует несколько видов ипотечных ссуд, которые различаются методами погашения задолженности.

13.1. Стандартная ипотека

Заемщик получает от залогодержателя (кредитора) некоторую сумму под залог недвижимости. Далее он погашает долг вместе с процентами равными, обычно ежемесячными, взносами. Взносы могут быть постнумерандо или пренумерандо. В договоре обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, редко - годовая номинальная.

В осуществлении ипотеки при покупке (строительстве) объекта участвуют три агента: продавец, покупатель (должник), кредитор (рис. 13.1.).

Рис. 13.1.

Рис.13.1

Продавец получает от покупателя за некоторое имущество его стоимость (120). Для того чтобы расплатиться, покупатель получает ссуду под залог этого имущества (100) и добавляет собственные средства (20). Задача заключается в определении размера ежемесячных погасительных платежей R и остатка задолженности на момент очередного ее погашения вплоть до полного погашения долга.

---

Пусть D - общая сумма ипотечного кредита, n - срок ипотеки в годах, погасительные платежи R вносятся ежемесячно, общее число платежей N=12n, i - месячная процентная ставка.

Размер одной срочной уплаты для ренты постнумерандо

.

Мы уже рассматривали погашение займа равными срочными уплатами. Согласно общепринятому правилу из величины срочной уплаты выплачиваются проценты, а остаток идет на погашение долга.

В месяце с номером t сумма, идущая на погашение задолженности, составит:

.

Сумма погашенной задолженности за t месяцев

.

Остаток долга на начало (t+1)-го месяца находится следующим образом:

.

Пример 13.1. Под залог недвижимости выдана на десять лет ссуда в размере 100 тыс. руб. Погашение ежемесячное, постнумерандо, на долг начисляются проценты по номинальной ставке 12%.

Р е ш е н и е. Таким образом, N =120, i = 0,01. Для этих условий ежемесячные расходы должника

.

Проценты за первый месяц равны 100000×0,01 = 1000 руб. На погашение долга остается d₁= 434,71- 1 000 = 434,71 руб.

План погашения долга, тыс. руб.:

Месяц	Остаток долга на начало месяца Dt	Взнос R	Проценты	Погашение долга dt
1	100 000,00	1 434,71	1 000,00	434,71
2	99 565,29	1 434,71	995,65	439,06=434,71×1,01
3	99 126,23	1 434,71	991,26	443,45=439,06×1,01
…
39	80 017,63	1 434,71	800,24	634,47
1 420,501 434,7114,211 420,50…
Итого120		172 165,2	72 165,2	100 000,00

По условиям ипотечного займа найдем остаток долга на начало 118-го месяца:

13.2. Стандартная ипотека с неполным погашением

задолженности и выплатой в конце срока остатка долга

Условия такой ипотеки позволяют уменьшить размеры периодических взносов и (или) сократить срок ссуды. Срочные уплаты рассчитываются таким образом, что они не покрывают всей задолженности, остаток (обозначим его как В) выплачивается в конце срока (рис.13.2).

Рис. 13.2

Величину В называют шаровым платежом. Уравнение, балансирующее условия ипотеки, имеет вид

где .

Если оговорен размер срочной уплаты, то размер шарового платежа

.

Пример13.2. Ипотека задана следующими условиями: D=100000; n=10; R=1000; i=1%; N=120. Найдем размер шарового платежа.

Р е ш е н и е. Размер шарового платежа В найдем по последней формуле

Если оговорен размер шарового платежа В, то размер срочный уплаты

,

где .

Пример13.3. Ипотека задана следующими условиями: D = 100000 руб.,

n =10; B = 50000; i = 1%; N = 120. Найдем размер срочной уплаты.

Р е ш е н и е. Размер срочной уплаты найдем по последней формуле:

.

13.3. Нестандартные ипотеки. Ипотека с ростом платежей

(схема GPM – Graduated Payment Mortgage)

Данный вид ссуды предусматривает постоянный рост расходов по обслуживанию долга в первые пять-десять лет. В оставшееся время погашение производится постоянными взносами. Такая схема погашения может привести к тому, что в первые годы расходы должника по обслуживанию долга (срочные уплаты) окажутся меньше суммы процентов. В связи с этим величина долга некоторое время увеличивается.

---