Файл: Finmat.doc

q _x = =  0,00506.

Используя таблицу смертности, страховщик может определить величину страхового фонда, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм.

Рассмотрим случай, когда страховщик заключил договор на страхование жизни с мужчиной 30-летнего возраста на 5 лет. По таблицам смертности находим

l₃₀ = 92216, l₃₅ = 90275.

Согласно таблице смертности до возраста 35 лет доживет 90275 человек из 92216 человек. Следовательно, и число выплат будет 90275. Предположим, что страховая сумма каждого договора составляла 5 тыс. руб. Тогда, чтобы обеспечить все выплаты, необходим страховой фонд в размере 90275 · 5 = 451375 тыс. руб. Страховщик предполагает всю сумму страховых взносов инвестировать под 9% годовых. Поэтому в момент заключения договора эта сумма может быть значительно меньше. Используя метод дисконтирования, определим эту сумму:

Р = = 293362,7795 тыс. руб.

Следовательно, чтобы через 5 лет иметь средства для выплаты страховых сумм по дожитию, страховщик должен располагать в начале страхования фондом в размере 293362,7795 тыс. руб. Эту сумму и нужно собрать со страхователей. То есть каждый страхователь, заключивший в 30-летнем возрасте договор на пять лет, внесет единовременную сумму, равную

= 3,18126 тыс. руб.

Расчет единовременной нетто-ставки по дожитию производится следующим образом:

_nE _x = ,

где _nE_x - единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте x лет при сроке страхования n лет: l_x - число лиц, заключивших договор в возрасте x лет; l_x+n - число лиц, доживших до окончания срока страхования.

Пусть S - страховая сумма, тогда _nE_x S - величина единовременного взноса.

Если в выражении для определения _nE _x числитель и знаменатель умножить на одно и то же число V ^x , то оно примет следующий вид:

_nE _x = = = ,

где D_х = l_x·V^x - коммутационное число, значение D_х приведено в коммутационных таблицах (прил. VII).

Единовременная нетто-ставка для рассмотренного примера

₅Е₃₀ = = = 0,636251365.

Единовременный взнос

0,636251365 · 5000 = 3181,26 руб.

В коммутационных таблицах приведены значения коммутационных чисел D_x, N_x, C_x, M_x, R_x. Они находятся по формулам:

D_х = l_x·V^x, N_x= D_x + D_x+1+...+ D_w ,

С_x = d_xV^x+1, M_x= C_x + C_x+1+...+ C_w , R_x=M_x+M_x+1+...+M_w .

Здесь w - заданный предельный возраст в таблице смертности.

На случай смерти единовременная нетто-ставка рассчитывается по формуле

.

Единовременная сумма взноса составит руб.

Предположим, что мужчина 30-летнего возраста решил оформить страховку на случай своей смерти сроком на 5 лет на сумму 10 тыс. руб. Найдем единовременную нетто-ставку на случай смерти

То же значение мы получим, используя коммутационные числа:

₅A₃₀ = = = 0,01624785.

Единовременный взнос составит:

0,01624785 10000=162,4785 руб.

При наступлении страхового случая, т.е. если страхователь умрет в этот период, недостающие средства поступают из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, кроме того, добавится и доход от процентов.

---

Расчет годичных нетто-ставки и брутто-ставки. При расчете единовременной нетто-ставки предполагается, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора о страховании. На практике такие случаи встречаются редко. Основная масса страхователей предпочитает платить взносы в течение всего срока страхования. В связи с этим возникает необходимость расчета годичных нетто-ставок.

Единовременная нетто-ставка отличается по своей величине от годичной ставки по ряду причин. Во-первых, при единовременной уплате страхового взноса он может быть сразу после его поступления каким-либо образом инвестирован и на эту сумму будут начисляться проценты. При годичных взносах в связи с их постепенным поступлением сумма начисленных процентов будет значительно меньше, чем при единовременном взносе, в результате чего страховщик получит меньший страховой фонд. Во-вторых, при единовременном взносе его уплачивают все лица, заключающие страховой договор, а при годичной уплате ряд страхователей прекратит взносы в результате своей смерти.

Таким образом, при расчете годичной нетто-ставки необходимо учитывать частичную потерю процентных сумм и снижение числа платежей в результате смерти некоторой части застрахованных лиц.

Для перехода от единовременной нетто-ставки к годичной используются коэффициенты рассрочки.

Для каждого страхователя сумма современных стоимостей годичных взносов в 1 руб.

_na_x==.

Найденное значение будет близко к n, но несколько меньше него. Можно составить пропорцию

_nP_x : 1 = _nEg_x : _na_x ,

где _nP_x - годичный взнос; _nEg_x - единовременный взнос; _na_x - коэффициент рассрочки.

Откуда

_nP_x = .

Годичная нетто-ставка постнумерандо

на дожитие

_nP_x = = ;

на случай смерти

_nP_x = = .

Нетто-ставка по страхованию на дожитие мужчины 30 лет равна 0,1655, на случай смерти 0,0042. Найдите эти величины самостоятельно, используя таблицу коммутационных чисел.

На основе нетто-ставки происходит аккумуляция средств для выплаты страховых сумм, но страховщик должен иметь средства на оплату дополнительных расходов - оплату труда работников, содержание помещения и т.д., а также получить доход. Покрытие этих расходов происходит за счет страхователей. В связи с этим к нетто-ставке присоединяется нагрузка, в результате чего формируется брутто-ставка:

_nП_х = ,

где _nП_х - брутто-ставка для лица в возрасте х, застрахованного на n лет; _nН_х - нетто-ставка; f - доля нагрузки в составе брутто-ставки.

Страхование пенсии. Страхование пенсии это вид личного страхования, по которому страховщик обязуется платить застрахованному лицу в установленные сроки регулярный доход.

Такой вид страхования можно рассматривать как вид рентных платежей, предполагающий пожизненную или временную выплату доходов. Дополнительными условиями страхования могут быть немедленные или отсроченные регулярные выплаты, т.е. производимые сразу после уплаты страховых взносов или по истечении установленного периода.

---

Для вычисления современной нетто-ставки при данном виде страхования примем следующий ход рассуждений. Предположим, что страховая компания обязалась выплатить застрахованному лицу в возрасте x лет в течение всей его жизни ежегодно определенную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 1 руб. Далее предположим, что договор на подобный вид страхования заключили все лица в возрасте x лет. В этом случае первая выплата будет произведена всем лицам немедленно после заключения договора страхования и составит l_x руб. Во втором году следует выплатить l_x+1 руб. Современная стоимость выплаты во втором году составит l_x+1·V , в третьем - l_x+2·V², четвертом - l_x+3·V³ и т.д. Последняя выплата будет спустя w-x лет, где w - предельный возраст в таблице смертности. Современная величина последней выплаты составит l_w·V^w-x руб.

Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем l_x лицам, выразится суммой

l_x + l_x+1·V + l_x+2·V² +...+ l_w·V^w-x

Для получения современной стоимости финансовых обязательств по отношению к одному лицу, т.е. нетто-ставки по страхованию пожизненной ренты - пренумерандо, эту сумму необходимо поделить на число лиц, заключивших договор страхования:

_wa_x===.

Для ренты постнумерандо

_wa_x = = .

Если рента пренумерандо выплачивается не пожизненно, а только до определенного возраста, то формула приобретает вид

_wa_x = = ,

где n - возраст, до которого выплачивается рента.

При заключении страхового договора на условиях ренты постнумерандо (рентные платежи выплачиваются в конце года) нетто-ставка рассчитывается по формуле:

_wa_x==

=.

Пример. Мужчина в возрасте 60 лет заключает страховой договор на получение ежегодно дополнительной пенсии: а) до достижения 70-ти лет на сумму 500 руб; б) выплаты пожизненные (500 руб.)

Рассчитайте единовременную нетто-ставку и страховую сумму для ренты пренумерандо. Страховая компания использует годовую ставку - 9%.

Р е ш е н и е. Для первого случая единовременная нетто-ставка составляет:

₇₀а₆₀ = = = 6,16174698.

Страховая сумма

500  (₇₀ а₆₀ )= 3080,87 руб.

Для второго случая единовременная нетто-ставка составит:

_wа₆₀ = = 7,919301104.

Страховая сумма

500 (_wa₆₀ )= 3959,65 руб.

ЗАДАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ

Во всех заданиях n - это номер варианта. Студенты заочного факультета определяют номер своего варианта по последним двум цифрам зачетной книжки.

1. 15 мая открыт сберегательный счет в сумме (400+10 n) руб. под процентную ставку 8 % годовых, 12 июля на счет было дополнительно внесено 200 руб.; 12 сентября со счета была снята сумма 100 руб., а 18 но­ября счет был закрыт. Определить общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета. Использовать английскую практику начисления про­центов. Год невисокосный.

2. Долговое обязательство в сумме (2000+100 n) руб. должно быть погашено через 90 дней с процентами (10 % годовых). Владелец обяза­тельства учел его в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 12 %. Найти сумму, полученную после учета векселя.

3. Клиент внес в банк (2000 +100 n) руб. под 9 % годовых. Через 2 года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную им сумму при использовании банком сложных процентов и смешанного метода.

4. Определить эффективную ставку сложных процентов, тем чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номи­нальной ставки j %, при ежеквартальном начислении процентов (m = 4, j = (5+ n)%).

5. Два платежа (1400 + 100 n) руб. и (1600+100 n) руб. со сроками соответственно 2 года и 3 года объединяются в один (3000 +2 n) руб. с ис­пользованием сложной процентной ставки 6 %. Определить срок уплаты консолидированного платежа.

6. Кредит в (2000+100 n) руб. выдан на два года. Реальная доход­ность должна составлять 6 % годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16 % в год. Определить ставку процентов при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

7. Объединяются три ренты со сроками 7, 4, 9 лет; члены ренты рав­ны между собой - R = 2000 + 100 n руб.; процентные ставки также равны - i = 0,08. Член консолидированной ренты установлен в размере 3R руб.; процентная ставка сохраняется. Определить срок новой ренты.

---

8. На модернизацию предприятия получен долгосрочный кредит сро­ком на 10 лет, погашение которого будет производиться на следующих ус­ловиях. В первые пять лет платежи в размере (2000 + 100 n) руб. вносятся каждые полгода под 8 % годовых. Следующие три года платежи в размере (4000+100 n) руб. вносятся также по полугодиям под 10 % годовых. По­следние два года платежи в размере (6000+100 n) руб. вносятся ежеквар­тально под 10 % годовых. В течение всего срока ренты проценты начисля­ются раз в году. Определить наращенную сумму и величину кредита.

9. Предоставлен потребительский кредит в размере (1000+100 n) руб. на срок 6 месяцев под 12 % годовых с ежемесячным погашением. Соста­вить план погашения кредита. Воспользоваться «правилом 78». Сравните с графиком равномерных выплат процентов.

10. Получен кредит в сумме 10000 n руб. сроком на 7 лет. Процент­ная ставка изменяется по годам в следующем порядке:

Годы	1-2	3-4	5-7
Ставка, %	6	10	12

Составьте план погашения кредита.

11. Ипотечный кредит выдан на 20 лет, размер кредита (200000+1000 n) руб., ставка 6 % годовых. Погашение будет происходить ежемесячно равными срочными уплатами по 1000 руб. Рассчитайте размер «шарового платежа».

12. Сумма ипотечного долга 100000 n руб. Срок погашения 20 лет (240 месяцев) разбит на два периода продолжительностью: 1-й период m = 60 месяцев; 2-й период n = 180 месяцев. Процентная ставка 6 % годо­вых (проценты сложные). Погашение кредита производится ежемесячно. По условиям контракта ежегодный прирост срочных уплат 5 % в первом периоде. Во втором периоде погашение производится равными срочными уплатами. Составьте план погашения кредита, используя стандартную программу Excel.

13. Размер ипотечного кредита D = (100000+1000 n) руб. Срок ипо­теки 10 лет. Заемщик открывает специальный счет на сумму D/10 руб., на который начисляются ежемесячно проценты по ставке 12 % годовых. Списание средств со счета идет ежемесячно в течение 2 лет, сумма списаний ежемесячно уменьшается на 2 %. Ставка за кредит 6 % годовых. Разрабо­тайте график помесячного погашения задолженности, используя стандарт­ную программу Excel.

14. Рассматриваются предложения двух фирм по строительству про­мышленного объекта:

	Условия фирмы А	Условия фирмы Б
Цена нового объекта, руб.	500000+10000 n	550000+10000 n
Срок строительства, лет	1	1
Авансовые платежи (вносятся при подписании контракта), руб	200000+10000 n	100000+10000 n
Срок кредита, лет	8	7
Льготный период, лет	2	3
Ставка процентов, %	10	11

Кредит погашается равными годовыми выплатами. Ставка сравнения q = 12 %. Найти современные величины всех платежей по фирме А и Б.

15. Оцените облигацию номиналом в (100+10 n) руб. Купонной ставкой 16 %, выпущенную сроком на 8 лет, в начале жизни, в середине, за один год до погашения при значениях среднерыночной ставки 12 и 18 %. Результаты обоснуйте.

---

16. Купонную облигацию, срок жизни которой 5 лет, с купоном в 10 % и номиналом (1000+100 n) руб. приобрели по цене (900+100 п) руб.
Найдите доходность к погашению. .

17. 10 % - ную купонную облигацию номиналом в N = (100+10 n) руб. приобрели за (№10) руб. Облигация имеет фонд погашения со следую­щим расписанием: 20 % эмиссии после первого года, 30 % - после второго года и оставшуюся часть эмиссии - после трех лет. Определите доход­ность к эквивалентной жизни.

18. Оцените акцию, которая за первый год принесет (100+10 n) руб. дивидендов, а темп прироста дивидендов составит 5 % в год. Минималь­ная приемлемая ставка 10 %.

19. Оцените доходность портфеля, состоящего из 5 видов ценных
    бумаг. Здесь q = (5+n/2)%.

Номер ценной бумаги	Объем, занимаемый в портфеле, %	Ожидаемая ставка доходности, %
1	15	Q
2	25	q+4
3	10	q+6
4	30	q+2
5	20	q-2

20. Рассчитать единовременные нетто-ставки в связи: 1) с дожитием; 2) на случай смерти для мужчины в возрасте (30+n) лет сроком на 5 лет. Используя коэффициент рассрочки, рассчитать годичные нетто-ставки в связи: 1) с дожитием; 2) на случай смерти.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Для случая простых ставок ссудного процента

Ставка ссудного процента

.

Коэффициент наращения

.

Наращенная сумма (операция компаудинга)

или .

Современная стоимость (операция дисконтирования)

.

Период начисления

Процентная ставка

Для случая сложных ставок ссудного процента

Относительная величина простой учетной ставки

Наращенная сумма

Современная стоимость наращенной суммы

Период начисления

.

Учетная ставка

Для случая простых учетных ставок

Наращенная сумма

;

при начислении процентов т раз в году

;

при непрерывном начислении процентов

.

Коэффициент наращения

.

Коэффициент наращения для срока ссуды, не являющегося целым числом,

.

Современная стоимость наращенной суммы

.

Процентная ставка

.

Номинальная процентная ставка

.

Период начисления

;

.

Для случая сложных учетных ставок

Наращенная сумма

;

при начислении процентов т раз в году

.

Коэффициент наращения

.

Коэффициент наращения для периода начисления, не являющегося целым числом,

.

Первоначальная денежная сумма

Период начисления

или

.

Сложная учетная ставка

.

Номинальная учетная ставка

.

Формулы эквивалентности других ставок

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Для определения индекса инфляции

Если известен годовой темп инфляции

.

Если известен темп инфляции за короткий интервал

.

Формула И. Фишера

.

Для определения процентных ставок, учитывающих инфляцию:

; ;

; ;

;

Для определения рентных платежей

Наращенная сумма

.

Современная стоимость

Коэффициент наращения

.

Коэффициент приведения

.

Размер очередного платежа

.

Срок аннуитета

;

Для определения дохода по акциям

---