Пример 14.4. Предлагается один и тот же товар с двумя вариантами уплаты:

	I вариант	II вариант
Цена Р, тыс. руб.	10,5	11
Аванс Q, тыс. руб.	2	1
Срок поставки t, лет	1	1
Срок кредита, лет	8	10
Льготный период L, лет	2	3
Ставка за кредит i, %	10,5	10
Ставка сравнения q, %	15	15

Проценты за кредит выплачиваются в конце каждого года.

Найдем современную стоимость всех платежей по I варианту. Рентные платежи выплачиваются в течение 6 лет. Тогда

Найдем современную величину всех платежей по II варианту. Срок аннуитета n = 7 лет. Тогда

Преимущество II варианта при принятой для сравнения процентной ставке

15 % очевидно.

14.4. Предельные значения параметров

коммерческих контрактов

Пусть имеется два контракта на приобретение одного и того же то­вара. Если один из поставщиков предлагает цену, которая меньше, чем у другого (Р₁< Р₂), и процентная ставка i₁ < i₂, то выбор очевиден.

Рассмотрим другой случай. Первый контракт (базовый) имеет стои­мость товара Р₁ , ставку за кредит i₁ , срок кредита n₁. Второй контракт - стоимость товара Р₂, срок кредита n₂ , ставка за кредит i₂ не объявлена.

Обозначим буквой q ставку сравнения контрактов. Наша задача най­ти предельное значение ставки i₂ (обозначим её предельное значение ), чтобы при любом значении ставки < второй контракт был бы предпочтительнее.

Составим уравнение эквивалентности. Для этого сначала найдем бу­дущую стоимость обоих контрактов, а потом продисконтируем эти вели­чины на момент заключения сделки:

Отсюда получаем

При i₂> условия второго варианта хуже для покупателя, чем условия первого варианта. Если i₂₌, то варианты равноценны. При i₂< условия второго варианта лучше условий первого.

Совершенно аналогично мы найдем предельное значение цены , если оговорена ставка i₂ и срок кредита п₂:

Пример 14.5. Условия двух контрактов следующие:

Р₁ = 10000 руб.; i₁=8%; n₁-5 лет.

Р₂ = 12000 руб.; i₂ = 7 %; n₂ = 4 года.

Определить предельные параметры второго контракта, приняв ставку сравнения q = 10 %.

Р е ш е н и е. Найдем сначала предельное значение цены :

= 10190,04 руб.,

так как Р₂ > , то второй контракт хуже.

Найдем теперь предельное значение ставки :

= 2,72 %,

так как i₂ = 7 % > , то второй контракт хуже.

В случае если n₁=n₂=n, то для расчетов предельных значений па­раметров сделки можно обойтись без ставки сравнения. Из уравнения

находим предельное значение ставки

и предельное значение цены

.

Пример 14.6. Условия двух контрактов следующие:

Pi = 5000 руб., i₁, n₁ = 5.

Р₂ = 5500 руб., = ? п₂-=5,

Р е ш е н и е. Предельное значение ставки второго контракта

= 0,0694 (6,94 %).

При i₂ < второй контракт предпочтительнее.

Рассмотрим случай, когда кредит погашается равными срочными уплатами в конце года. Предельные процентные ставки по кредиту нахо­дятся в два этапа. На первом этапе оцениваются коэффициенты привиде­ния рент PVIFA_i;n, эквивалентные условиям базового контракта; на вто­ром этапе на основе полученных коэффициентов привидения рассчитыва­ют искомые предельные проценты ставки.

---

Имеется два контракта:

1. – Р₁, i₁, n₁;

2. – Р₂, i₂ , n₂;

q - ставка сравнения.

Исходное равенство современных стоимостей платежей имеет вид

отсюда следует

Коэффициент привидения находят по формуле

отсюда можно выразить предельное значение ставки .

Величина определяется проще:

Пример 14.7. Условие базового варианта контракта Р₁= 15000 руб., i₁ = 10 %, n₁ = 8 лет, погашение задолженности равными платежами в конце года. Второй контракт Р₂ = 16000 руб., n₂ = 10 лет. При какой минимальной ставке этот вари­ант будет конкурентоспособен?

Р е ш е н и е. Зададим ставку сравнения 15 %.

Тогда

Итак, имеем = 6,364541543. По таблицам коэффициентов при­видения годовой ренты находим, что 9,00 < < 9,50. Применим формулу ли­нейной интерполяции. По тем же таблицам находим:

y(9,50)=6,2787980,

y(9,00)=6,4176577.

Тогда

- уравнение прямой.

Предельная ставка

%.

Несколько изменим условие примера:
Р₁ = 15тыс. руб.; i₁ = 10%; n₁ = 8 лет.

Р₂ = ? i₂ = 9%; n₂ = 10лет.

Необходимо оценить предельное значение цены, т.е. найти :

тыс. руб.

15. Вычисления по ценным бумагам

К основным ценным бумагам относятся облигации и акции. Облигация - это инструмент займа. Владелец облигации - кредитор, должник - эмитент облигации.

Свойства облигации:

1. Облигация не дает право на участие в управлении имуществом эмитента, она лишь является удостоверением займа.

2. Облигация - частная ценная бумага.

3. Облигация обещает платежи по купонам, а затем погашение по номиналу.

Для того чтобы оценить облигацию, необходимо найти её современную стоимость.

Введем обозначения:

n - срок погашения облигации;

N - её номинал;

q - купонная ставка (это процент от номинала).

Например, на облигации указана купонная ставка в 10% годовых. Номинал облигации 100 руб. Платежи по купонам производятся 1 раз в год. Это значит, что облигация принесет прибыль 10 руб.

Если ежегодно получаемые по облигациям выплаты будут помещены на банковский депозит или инвестированы каким-либо иным образом и станут приносить ежегодный процентный доход I=Nq, то стоимость облигации Р будет равна сумме двух слагаемых - современной стоимости её аннуитетов (серии ежегодных выплат процентных платежей) и современной стоимости её номинала:

P= + = Nq× PVIFA_i;n+ = Nq× PVIFA_i;n + N×PVIF_i;n.

Пример15.1. По облигации номинальной стоимостью 100 руб. в течение 15 лет (срок до её погашения) будут выплачиваться ежегодно, в конце года процентные платежи в сумме 10 руб. (q = 10%), которые могут быть помещены в банк под 10% годовых. Оценить облигацию в момент выпуска, через год после выпуска и за год до погашения облигации.

Р е ш е н и е. Оценим облигацию в момент выпуска

Рыночная цена облигации через год после выпуска:

P₁=10·PVIFA_{10%; 14} + 100·PVIF_{10%; 14} = 10·7,3666875+100·0,2633313 =

= 100,00 руб.

Через пять лет

P₅=10·PVIFA_{10%; 10} +100·PVIF_{10%; 10}=10·6,1445671 + 100·0,3855433 =

= 100,00 руб.

Через 14 лет

P₁₄ = 10·PVIFA_{10%; 1} +100·PVIF_{10%; 1}=10·0,9090909+100·0,909090909 =

= 100,00 руб.

Вывод: если купонная ставка равна среднерыночной (в данном случае ставке банка), то оценка облигации не меняется в течение всей жизни. Рыночная цена облигации в этом случае равна номиналу.

---

Возьмем среднерыночную ставку i = 15%. Тогда рыночная цена облигации будет ниже номинала, в этом случае говорят, что облигация продается с дисконтом. Оценим облигацию в начале жизни, за 5 и за 14 лет до погашения и найдем величину дисконта: цена облигации в начале жизни - Р₀ = 70,76 руб., величина дисконта - 29,24 руб., цена облигации за 5 лет до погашения Р₅ = 74,91 руб., величина дисконта - 25,09 руб., цена облигации за 14 лет до погашения Р₁₄ = 95,65 руб., величина дисконта - 4,35 руб.

Возьмем среднерыночную ставку i = 8% . Тогда рыночная цена облигации будет выше номинала, она будет продаваться с премией. Оценим облигацию в начале жизни, за 5 и 14 лет до погашения и найдем величину премии: цена облигации в начале жизни –117,12 руб., величина премии 17,12 руб., цена облигации за 5 лет до погашения Р₅ = 113,42 руб., величина премии –13,42 руб., цена облигации за 14 лет до погашения Р₁₄ =101,85 руб., величина премии –1,85 руб.

Сделаем выводы.

1. Если рыночная ставка равна купонной ставке (q = i), то в течение всей жизни облигация оценивается по номиналу (рис.15.1). Это можно доказать, выполнив ряд математических преобразований.

P=N	В течение n лет рыночная цена равна номиналу.

Рис. 15.1

2. Если рыночная ставка больше купонной ставки (i > q), то облигация оценивается ниже номинала (рис.15.2).

Р N n

Облигация будет продаваться с дисконтом. С приближением даты выкупа происходит погашение дисконта.

Рис. 15.2

3. Если рыночная ставка меньше купонной (i < q), то облигация оценивается выше номинала (рис.15.3).

P N n t

Облигация будет продаваться с премией. При приближении даты выкупа стоимость облигации понижается. Обусловлено это тем, что по ней уже выплачена большая часть доходов и к моменту выкупа остается получить только её номинальную стоимость.

Рис. 15.3

4. К концу срока погашения оценка облигации стремится к номиналу.

15.1. Влияние купонной ставки на оценку облигации

Итак, современная стоимость облигации

Р = Nq× PVIFA_i;n + N×PVIF_i;n

Купонная ставка присутствует только в первом слагаемом. Влияние первого слагаемого возрастает тогда, когда уменьшается коэффициент дисконтирования PVIF_i;n = 1/(1+i)ⁿ . Чем больше n , тем меньше влияние второго слагаемого.

Вывод: влияние купонной ставки на оценку облигации тем больше, чем больше срок до погашения облигации.

15.2. Зависимость оценки облигации

от среднерыночной ставки

Рассмотрим приведенный выше пример. Имеем облигацию с характеристиками N = 100 руб. ; n = 15 лет; q = 10%. Оценим облигацию за 14 лет и за год до погашения при различных среднерыночных ставках:

	За 14 лет до погашения (длинная облигация)	За год до погашения (короткая облигация)
5%	149,37	104,76
10%	100	100
15%	71,38	96,65
20%	53,89	91,67
25%	42,89	88

---

Рис. 15.4

Таким образом, чем больше срок облигации, тем чувствительнее её оценка к изменению рыночной ставки - круче кривая (рис. 15.4). Тактика поведения инвесторов на рынке облигаций: если ожидается повышение рыночной ставки, то инвесторы стремятся заменить долгосрочные облигации (длинные облигации) на облигации с меньшим сроком. При ожидании снижения ставки происходит обратное.

Степень влияния уровня ставки зависит и от размера купонной нормы дохода: чем она выше, тем меньше влияет изменение ставки. При ожидании повышения рыночной ставки для инвестора предпочтительнее покупать облигации с высокой купонной доходностью, а при понижении ставки целесообразно вкладывать деньги в облигации с низкой купонной доходностью.

15.3. Определение доходности облигации

Пусть известна рыночная цена облигации Р. Составим уравнение

P = + = Nq× PVIFA_i;n + N× PVIF_i;n .

Решив уравнение относительно i, определим доходность облигации. Для решения этого уравнения применяются приближенные методы. Первое приближение для i выбирают по следующей формуле

i » .

Если оценка облигации при выбранном значении i оказалась выше, чем рыночная стоимость облигации, то ставку i следует повышать, а если ниже, то понижать. Затем можно применить формулу линейной интерполяции

.

Пример15.2. По облигации номинальной стоимостью в 100 руб. в течение 5 лет (срок до её погашения) будут выплачиваться ежегодно процентные платежи в сумме 10 руб. Рыночная цена облигации 110 руб. Найти доходность облигации.

Р е ш е н и е. Первое приближение:

i » = 0,07619 » 7,6%.

Оценим облигацию при этой ставке:

= 10· PVIFA_{7,6% ; 5} + 100· PVIF_{7,6% ; 5} = 10· + =

= 40,3516 + 69,3328 = 109,6844 руб.

Оценка облигации оказалась ниже рыночной, ставку следует понижать. Возьмем i = 7,5%. Оценим облигацию по этой ставке.

= 10·PVIFA_{7,5% ; 5} + 100·PVIF_{7,5% ; 5} = 10·4,04588 + 100·0,696559 = 110,1145 руб.

Применим формулу линейной интерполяции

i = 7,6 + (7,5 - 7,6) = 7,5266 » 7,53%.

Таким образом, доходность облигации 7,53 %.

15.4. Разновидности облигаций

1. Отзывные облигации. Это облигации, по условиям выпуска которых эмитент при неблагоприятных условиях может отозвать ее. Для таких облигаций при оценке вместо номинала используется отзывная цена М. В качестве отзывной цены часто берут величину N плюс проценты за год.

Тогда рыночная оценка облигации

P = + .

2. "Вечные" облигации. Это облигации с периодической выплатой процентов без указания срока погашения. Данный вид облигаций является разновидностью вечной ренты:

P = + = .

3. Облигации, проценты по которым выплачиваются в момент погашения. При погашении данного вида облигаций инвестору будет выплачена сумма в размере N(1 + q)ⁿ . Современная стоимость этой суммы при дисконтировании по ставке i, составит:

Р = = N × .

4. Облигации с нулевым купоном. Доход от облигаций данного вида образуется в результате разницы между ценой продажи и суммой, выплачиваемой владельцу облигации в момент погашения.

---

Если погашение производится по номиналу, то

Р = .

В случае если цена погашения М отличается от номинала, то

Р = .

5. Облигации с фондом погашения. Такими облигациями обычно оформляются займы различных компаний, формируется фонд погашения, и часть эмиссий может быть выкуплена эмитентом раньше срока погашения. В этом случае не каждая облигация из эмиссии доживает до срока погашения. Поэтому для таких облигаций рассчитывают среднюю жизнь АL как среднюю взвешенную, в качестве весов берётся часть эмиссий, которая выкупается в данный момент.

Пример15.3. Имеется 10%-ная пятилетняя купонная облигация номиналом 100 руб. Её рыночная цена 107,97 руб. Облигация имеет фонд погашения со следующим расписанием: 1/3 эмиссии выкупается после третьего года жизни, 1/3 эмиссии - после четвертого и оставшаяся 1/3 эмиссии - после пяти лет. Выкуп облигаций происходит по номиналу.

Р е ш е н и е. Средняя жизнь облигации составит:

AL = 1/3 · 3 + 1/3 · 4 + 1/3 · 5 = 4 года.

Рассчитаем доходности данной облигации. Заполним таблицу.

Год	Купонная выплата, руб.	Общий денежный поток у инвесторов, руб.
1-й	10	10
2-й	10	10
3-й	10	10 + 33,33 = 43,33
4-й	6,67	6,67 + 33,33 = 40,00
5-й	3,33	3,33 + 33,33 = 36,66

Рыночная цена облигации 107,99 руб. Доходность облигации i нам неизвестна. Найдем её, продисконтировав денежный поток у инвесторов на момент выпуска облигации:

107,99 = + + + + .

Решением этого уравнения является ставка i » 0,076. Итак, доходность данной облигации 7,6 %.

6. Стрипирование облигаций. Приобретают купонную облигацию, затем каждый купон продают по отдельности, а после продают саму облигацию по типу ZERO - купон.

Пример15.4. 12 % - ная купонная пятилетняя облигация номиналом 100 руб. куплена за 100,91 руб. Можно найти, что доходность к погашению будет 11,75%. Эта облигация была стрипирована по следующим ставкам доходности, %: 1-й год - 10; 2-й - 10,5; 3-й - 11; 4-й - 11,5; 5-й- 11,75.

Определить прибыль по данной облигации.

Заполним таблицу:

Год	Стоимость купона облигации, руб.	Ставка доходности, %	Дисконтный коэффициент 1/(1 + i)n	Современная стоимость купона облигации, руб.
0-й 1-й 2-й 3-й 4-й 5-й При погашении	-100,91 12 12 12 12 12 100	- 10 10,5 11 11,5 11,75	- 0,9091 0,8190 0,7312 0,6470 0,5738 0,5738	- 10,91 9,83 8,77 7,76 6,89 57,38
				101,54

Облигация приобретена за 100,91 руб., а современная стоимость её доходов оказалась равной 101,54 руб. Владелец облигации понесет убыток в размере 0,63 руб.

15.5. Доходы от акций

Акция представляет собой ценную бумагу, дающую право её владельцу (акционеру) участвовать в управлении акционерным обществом, его прибыли и распределении остатков имущества при его ликвидации.

Доход по акциям выплачивается в виде дивиденда, под которым понимается часть чистой прибыли акционерного общества, подлежащей распределению среди акционеров, приходящаяся на одну акцию.

---