ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 708
Скачиваний: 5
n
n
n
a
x
o
a
x
n
a
f
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
)
(
)
(
!
)
(
...
)
(
!
2
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
это выражение называется
формулой Тейлора
, а выражение
n
a
x
o
)
(
называется
остаточным членом в форме Пеано
.
Доказательство.
Представим функцию
x
f
в виде некоторого многочлена
x
P
n
,
значение которого в точке
a
x
равно значению функции
x
f
, а значения его производных
равно значениям соответствующих производных функции в точке
a
x
.
)
(
)
(
...
);
(
)
(
);
(
)
(
);
(
)
(
)
(
)
(
a
f
a
P
a
f
a
P
a
f
a
P
a
f
a
P
n
n
n
n
n
n
(1)
Многочлен
x
P
n
будет близок к функции
x
f
. Чем больше значение
n
, тем ближе
значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:
n
n
n
a
x
C
a
x
C
a
x
C
C
x
P
)
(
...
)
(
)
(
)
(
2
2
1
0
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные
многочлена в точке
a
x
и составляем систему уравнений:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
n
n
n
x
P
a
x
C
n
n
a
x
C
C
x
P
a
x
nC
a
x
C
a
x
C
C
x
P
1
2
)...
2
)(
1
(
)
(
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
)
(
)
1
(
...
)
(
2
3
2
)
(
)
(
...
)
(
3
)
(
2
)
(
)
(
2
3
2
1
2
3
2
1
(3)
Решение этой системы при
a
x
не вызывает затруднений, получаем:
0
)
(
C
a
f
1
)
(
C
a
f
2
1
2
)
(
C
a
f
3
1
2
3
)
(
C
a
f
…………………….
n
n
C
n
n
n
a
f
1
2
)...
2
)(
1
(
)
(
)
(
Подставляя полученные значения
i
C
в формулу (2), получаем:
n
n
n
a
x
n
a
f
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
P
)
(
!
)
(
...
)
(
2
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией
x
f
, т.е.
отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину
x
R
n
. Тогда:
x
R
x
P
x
f
n
n
Рассмотрим подробнее величину
x
R
n
.
a
x
a
x
o
a
x
a
x
n
a
f
a
x
n
a
f
a
x
k
a
f
x
R
n
n
k
k
n
k
k
k
k
n
k
k
k
n
,
)
(
1
)
(
!
1
)
(
max
)
(
!
1
)
(
max
)
(
!
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
Теорема доказана.
Как видно на рисунке, в точке
a
x
значение многочлена в точности совпадает со
значением функции. Однако, при удалении от точки
a
x
расхождение значений
увеличивается.
Замечание.
Иногда используется другая запись для
x
R
n
. Например,
1
)
1
(
)
(
)!
1
(
)
(
)
(
n
n
n
a
x
n
f
x
R
которая называется
остаточным членом в форме Лагранжа.
Здесь достаточно считать, что
функция
x
f
в окрестности точки
a
имела
1
n
производную
Т.к. точка
x
a
,
, то найдется такое число
из интервала
1
0
, что
a
x
a
.
Тогда можно записать:
1
)
1
(
)
(
)!
1
(
)]
(
[
)
(
n
n
n
a
x
n
a
x
a
f
x
R
Если принять
0
x
a
,
x
x
x
x
a
x
0
,
, формулу Тейлора можно записать в
виде:
1
0
)
1
(
0
)
(
2
0
0
)
(
)!
1
(
)
(
)
(
!
)
(
...
)
(
!
2
)
(
!
1
)
(
)
(
)
(
n
n
n
n
x
n
x
x
f
x
n
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
где
1
0
Теперь, если принять
0
n
, получим:
x
x
x
f
x
f
x
x
f
0
0
0
– это выражение называется
формулой Лагранжа
. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813)
французский математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических
преобразований. С ее помощью можно находить приближённые значения различных
функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д. В частности, можно
отметить, что полученная ранее формула линеаризации представляет собой первые два члена
формулы Тейлора
)
)(
(
)
(
)
(
a
x
a
f
a
f
x
f
Погрешность этой формулы
2
1
)
(
2
)
(
)
(
a
x
f
x
R
Формула Маклорена.
(Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.)
Формулой Маклорена
называется формула Тейлора при а = 0:
)
(
!
)
0
(
...
!
2
)
0
(
!
1
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
2
x
R
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
n
n
n
1
0
;
)!
1
(
)
(
)
(
1
)
1
(
n
n
n
x
n
x
f
x
R
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме
Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы
Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к.
вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке,
естественно, при условии, что эти производные существуют.
Однако, выбор числа
а
очень важен для практического использования. Дело в том, что
при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке
а
,
значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя
первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При
удалении же рассматриваемой точки от точки
а
для получения точного значения надо брать
все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.
Представление некоторых элементарных функций
по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко
используется и имеет огромное значение при проведении различных математических
расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть
сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет
значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных
тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению
значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение
функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно
сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности
(предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки,
необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ
в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.
Функция
x
e
x
f
.
Находим:
1
0
,
f
e
x
f
x
1
0
,
f
e
x
f
x
……………………
1
0
,
n
x
n
f
e
x
f
Тогда:
1
0
,
)!
1
(
!
...
!
3
!
2
1
1
1
3
2
x
n
n
x
e
n
x
n
x
x
x
x
e
Пример:
Найдем значение числа е. В полученной выше формуле положим х = 1.
e
n
e
)!
1
(
1
...
!
4
1
!
3
1
2
1
1
1
Для 8 членов разложения:
4127003
7182787698
,
2
e
Для 10 членов разложения:
463451
7182818011
,
2
e
Для 100 членов разложения:
5904553
7182818284
,
2
e
2
4
6
8
10
1. 25
1. 5
1. 75
2
2. 25
2. 5
2. 75
На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов
разложения в ряд Тейлора.
Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства
практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.
Функция
x
x
f
sin
.
Получаем
0
0
,
sin
f
x
x
f
1
0
,
2
sin
cos
f
x
x
x
f
;
0
0
,
2
2
sin
sin
f
x
x
x
f
;
1
0
,
2
3
sin
cos
f
x
x
x
f
;
…………………………………………
2
sin
0
,
2
sin
n
f
n
x
x
f
n
n
Итого:
1
2
1
2
)
1
2
(
2
2
1
2
1
5
3
)!
1
2
(
cos
)!
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)!
1
2
(
)
1
(
...
!
5
!
3
sin
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
f
x
R
x
R
n
x
x
x
x
x
Функция
x
x
f
cos
.
Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:
2
2
2
2
)
2
2
(
1
2
1
2
2
4
2
)!
2
2
(
cos
)!
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)!
2
(
)
1
(
...
!
4
!
2
1
cos
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
f
x
R
x
R
n
x
x
x
x
Функция
,
1
x
x
f
;
)
0
(
;
)
1
(
)
(
1
f
x
x
f
);
1
(
)
0
(
;
)
1
)(
1
(
)
(
2
f
x
x
f
…………………………………………………..
)
1
)...(
2
)(
1
(
)
0
(
;
)
1
))(
1
(
)...(
2
)(
1
(
)
(
)
(
)
(
n
f
x
n
x
f
n
n
n
Тогда:
)
(
!
)
1
)...(
1
(
...
1
2
)
1
(
1
1
)
1
(
1
2
x
R
x
n
n
x
x
x
n
n
1
0
;
)
1
(
)!
1
(
)
)...(
1
(
)
(
)
1
(
1
n
n
x
n
n
x
R
Если в полученной формуле принять
N
n
n
,
и
0
1
x
f
n
, то
0
1
n
R
, тогда
n
n
x
x
n
n
x
n
x
...
!
2
)
1
(
!
1
1
)
1
(
2
Получилась формула, известная как
бином Ньютона
.
Пример:
Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с
любой степенью точности.
На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и
значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.
- 10
- 5
5
10
- 4
- 2
2
4
Рис. 1. Два члена разложения
- 10
- 5
5
10
- 4
- 2
2
4
Рис. 2. Четыре члена разложения
- 10
- 5
5
10
- 4
- 2
2
4
Рис. 3. Шесть членов разложения
- 10
- 5
5
10
- 4
- 2
2
4
Рис. 4. Десять членов разложения
Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве
членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра
а
выбрать такое число,