ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 986
Скачиваний: 8
11
1)
A
1
, т.к.
b
C
a
C
b
a
1
1
0
1
1
)
(
2) Пусть
A
n
, т.е. на этом множестве выполняется формула
k
k
n
k
n
n
k
n
b
a
C
b
a
0
)
(
,
докажем что на этом множестве выполняется формула для
“n+1”
, тем самым докажем, что
A
N
n
n
n
n
n
n
k
k
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
C
ab
C
b
a
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a
b
a
b
a
b
a
1
1
2
2
2
1
1
0
1
...
...
.
...
...
1
1
2
1
1
2
1
1
0
1
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
k
n
k
n
k
k
n
n
n
n
n
n
b
C
C
C
ab
C
C
b
a
C
C
b
a
C
C
b
a
a
C
Биномиальные коэффициенты обладают следующими свойствами:
k
n
k
n
k
n
k
n
n
k
n
C
C
C
C
C
1
1
,
,
!
)!
1
(
)!
1
(
)
1
(
!
)!
1
(
)
1
(
!
1
1
1
!
)!
1
(
!
!
1
)!
1
(
!
!
!
!
1
1
k
n
k
n
k
n
C
k
k
n
n
k
k
n
k
n
k
n
n
k
n
k
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
C
C
Тогда
.
...
...
)
(
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
n
k
k
k
n
k
n
n
n
n
n
n
n
k
k
n
k
n
n
n
n
n
n
b
a
C
b
C
ab
C
b
a
C
b
a
C
a
C
b
a
т.к.
A
n
1
и
N
A
N
n
, поэтому формула бинома Ньютона истинна.
Абсолютная величина числа (модуль числа)
Определение
.
R
x
0
,
0
,
:
x
если
x
x
если
x
x
График функции
x
y
.
1)
0
0
0
x
x
и
x
R
x
2)
y
x
y
x
R
y
x
,
.
Доказательство:
Если
0
y
x
, то либо
0
x
либо
0
y
y
x
y
x
0
. Пусть
0
y
x
, если
0
y
x
, то
х
и
у
- одного знака.
xy
xy
y
x
y
x
, если же
0
y
x
, то
х
и
у
- разных
знаков.
xy
xy
y
x
y
x
3)
0
неравенство
x
эквивалентно двойному неравенству
x
.
Доказательство:
0
0
0
x
x
x
12
По
определению
:
x
x
x
и
x
. Поэтому
x
x
x
, т.е.
x
И обратно, пусть
x
. Тогда, если
0
x
, то
x
x
. Если же
0
x
, то
x
x
(т.к.
x
). Следовательно,
x
.
4)
Неравенство треугольника
y
x
,
имеет место неравенство
y
x
y
x
Доказательство
По
определению
:
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
x
x
.
Согласно свойству (3):
y
x
y
x
.
Замечание.
y
x
,
имеет место неравенство
y
x
y
x
.
Доказательство
y
x
y
y
x
y
x
,
но
тогда
y
x
y
x
(*).
Далее
y
x
x
x
y
x
y
, откуда получаем
x
y
y
x
(**). Из (*) и (**) следует
y
x
y
x
Замечание.
n
x
x
x
,
,
,
2
1
а)
n
n
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
б)
n
n
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
Имеют место
5)
2
1
2
1
x
x
x
x
доказать самостоятельно!!!
Теорема о существовании целой части числа.
Теорема .
,
R
x
такое
Z
p
, что выполнены неравенства:
1
p
x
p
Доказательство:
Рассмотрим
|x|.
Согласно
принципу
Архимеда
n
x
n
x
n
N
n
,
.
Рассмотрим подмножество N:
n
n
n
n
A
;
1
...;
;
2
;
1
;
0
;
1
;
1
;
1) Если
x
- целое число, то
A
p
такое что
x
p
x
p
1
, т.е. выполнено
условие
1
p
x
p
2) Если
x
не целое, тогда если
1
n
x
, то
1
n
p
, если же
1
n
x
, тогда сравним
x
и
2
n
…и после конечного числа шагов найдем такое число
p
, что
1
p
x
p
.
Определение 1.
Целое число
p
удовлетворяющее условию
Теоремы
называется
целой частью числа
R
x
и обозначается
x
p
.
График функции
x
y
.
13
Верхняя и нижняя грани числовых множеств
Определение 1.
Множество
R
A
называется
ограниченным снизу
, если
a
x
R
a
A
x
:
,
,
а
– нижняя грань множества А.
Определение 2.
Множество
R
A
называется
ограниченным сверху
, если
b
x
R
b
A
x
:
,
,
b
– верхняя грань множества В.
Определение 3.
Множество
R
A
называется
ограниченным
, если оно
ограниченно и снизу и сверху, т.е.
b
x
a
R
b
a
A
x
:
,
,
или, что тоже самое
M
x
M
M
A
x
:
,
0
,
Замечание.
В записи:
а)
:
A
x
следует подразумевать: “Для любого элемента
A
x
имеет место
предложение
”
б)
Df
- утверждение
является определением
.
Определение 4.
A
inf
(
infinum
- низшее, латинское) -
точная нижняя грань
множества
Df
A
, если
наибольшая из всех нижних граней.
или (эквивалентное
определение
)
:
inf
Df
A
а)
x
A
x
б)
x
A
x
:
,
0
или
x
A
x
:
Определение 5.
A
sup
(supremum – высшее, латинское) -
точная верхняя грань
множества
Df
A
, если
наименьшая из всех верхних граней
Или (эквивалентное
определение
)
Df
A
sup
если
а)
x
A
x
б)
x
A
x
:
,
0
или
x
A
x
:
Теорема (
Вейерштрасса)
.
Всякое ограниченное сверху (снизу) множество
R
A
обладает точной верхней (нижней) гранью или
R
A
-
ограниченного
A
A
inf
sup
.
Доказательство.
Пусть непустое множество
A
ограничено сверху. Следовательно,
существует непустое множество
B
- множество верхних границ, такое что
A
x
и
y
x
B
y
:
Тогда, в силу аксиомы полноты
y
x
:
. Точка
в этом случае
принадлежит множеству
B
так как
x
. С другой стороны эта точка минимальная из
B
,
так как
y
. Следовательно,
A
sup
.
1
1
y
x
14
Теорема.
(Принцип Архимеда)
.
:
,
a
n
N
n
R
a
Иными словами, утверждается, что не существует наибольшего натурального
числа
.
Доказательство.
(От противного)
. Предположим, что
a
n
N
n
R
a
,
:
0
N
и ограничено сверху числом
, т.е.
N
B
sup
. Тогда
!
1
,
1
,
1
:
1
,
N
n
B
n
B
B
n
N
n
B
B
B
B
Полученное противоречие показывает, что множество
N
неограниченно, т.е. не
наибольшего натурального числа.
Лемма о вложенных отрезках
Рассмотрим множество отрезков
n
, где
R
n
.
Определение.
Система отрезков
n
называется
системой вложенных отрезков
,
если первый отрезок содержит второй, второй – третий,…, т.е.
...
...
1
2
1
n
n
Лемма Коши-Кантора.
Каждая система вложенных отрезков имеет непустое
пересечение
.
Доказательство.
Рассмотрим последовательность вложенных отрезков
n
, где
n
n
n
b
a
,
. Т.к. отрезки вложены, то
n
n
n
n
b
b
a
a
1
1
.
Рассмотрим два множества
n
n
b
B
a
A
,
,
B
A
,
. Докажем, что эти
множества удовлетворяют условиям аксиомы полноты.
Рассмотрим
A
a
n
и
B
b
m
положим
n
m
p
,
max
, тогда
m
p
p
n
b
b
a
a
m
n
b
a
.
Итак доказано, что
A
и
B
- удовлетворяют аксиоме полноты, т.е.
R
c
, такое что
m
n
b
c
a
A
a
n
и
B
b
m
n
n
b
c
a
,
n
, т.е.
n
c
n
, или
0
n
n
n
n
c
.
Замечание.
Лемма не имеет места для системы вложенных интервалов.
Доказательство.
N
n
n
J
n
,
1
;
0
Допустим
0
n
n
J
, т.е.
n
J
a
,
N
n
, т.е.
n
a
1
0
(*)
N
n
,
0
1
a
. Согласно
принципу Архимеда
a
n
N
n
1
,
0
0
, но
0
1
n
a
, т.к.
N
n
0
и (*).
Получаем противоречие, возникшее из предположения. Следовательно, утверждение
верно.
Метрические и арифметические пространства.
Для получения содержательных результатов в математическом анализе необходимо
введение понятия расстояния между точками множества (метриками).
Определение.
Множество
Х
называется метрическим пространством, если
X
y
x
,
поставлено в соответствие число
y
x
,
причем:
3
1
4
1
2
1
1
0
15
1)
0
,
y
x
X
y
x
,
;
y
x
y
x
0
,
2)
x
y
y
x
,
,
- аксиома симметрии.
3)
X
z
y
x
,
,
,
y
z
z
x
y
x
,
,
,
- аксиома треугольника
y
x
,
расстояние между элементами
X
y
x
и
.
y
x
,
- метрика.
Пример.
- множество точек на плоскости.
- метрическое пространство с
расстоянием
y
x
y
x
,
.
Частным случаем метрического пространства является арифметическое
пространство.
Определение.
"
n
" - мерными арифметическим пространством
n
будем называть
множество
упорядоченных
совокупностей
из
"
n
"
действительных
чисел:
n
n
x
x
x
x
,
,
,
2
1
с метрикой
n
i
i
i
y
x
y
x
1
2
,
;
Можно показать, что все аксиомы расстояния выполняются.
Частные случаи.
1.
1
- множество действительных чисел (совокупность точек на
действительной оси), числовая прямая
y
x
y
x
y
x
2
,
2.
2
- совокупность точек с координатами
1
x
и
2
x
, т.е.
2
2
1
,
x
x
x
. При
этом
2
,
y
x
2
2
2
2
1
1
,
y
x
y
x
y
x
3.
3
- множество точек в пространстве с координатами
1
x
,
2
x
и
3
x
(трехмерное
арифметическое
пространство),
т.е.
3
3
2
1
,
,
x
x
x
x
,
2
3
3
2
2
2
2
1
1
,
y
x
y
x
y
x
y
x
.
Открытые, замкнутые и компактные множества
Определение.
-
окрестностью
точки
n
R
a
называется множество точек
n
R
x
таких, что
a
x
,
. Обозначим ее
a
U
.
Замечание.
В случае функции двух переменных
окрестностью точки
0
0
0
,
y
x
M
радиуса
r
называется совокупность всех точек
y
x
,
, которые удовлетворяют условию
r
y
y
x
x
2
0
2
0
Определение.
Пусть
n
R
A
a
. Тогда
a
называется
внутренней точкой
этого
множества, если
A
a
U
:
0
.