ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 993
Скачиваний: 8
31
Пример неограниченной функции, которая неявляется бесконечно большой
x
x
x
f
sin
- неограниченна при
x
, но
x
x
x
sin
lim
не существует.
Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в
соответствии со следующей теоремой.
Теорема.
Если f(x) б/б при
a
x
(или
x
) , то
0
)
(
1
x
f
x
y
a
x
т.е.,
является бескончно малой (обратное неверно)
Контрпример.
x
x
x
f
1
sin
2
- б/м при
0
x
, но функция
x
x
x
f
x
g
1
sin
1
1
2
не является б/б т.к. при
0
x
, не определена в точках
n
x
1
и следовательно
x
x
x
1
sin
1
lim
2
0
не существует
Замечание.
Для того, чтобы утверждение последней тероемы было верным,
необходимо потребовать, чтобы б/м не обращалась в нуль.
Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть
x
x
,
и
x
– бесконечно малые функции при
,
a
x
. Будем
обозначать эти функции
,
и
соответственно. Эти бесконечно малые функции можно
сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция
10
x
x
f
стремится к нулю быстрее, чем функция
x
x
g
.
Определение.
Если
0
lim
a
x
, то функция
называется
бесконечно малой более
высокого порядка
, чем функция
. Обозначается
a
x
x
o
x
,
Определение.
Если
const
A
A
A
a
x
,
0
,
lim
, то
и
называются
бесконечно
малыми одного порядка
. Обозначается
a
x
x
x
,
Определение.
Если
,
1
lim
a
x
то функции
и
называются
эквивалентными
бесконечно малыми
. Записывают
a
x
x
x
,
~
.
Пример. Сравним бесконечно малые при
0
x
функции
10
x
x
f
и
x
x
g
.
0
lim
lim
9
0
10
0
x
x
x
x
x
т.е. функция
10
x
x
f
– бесконечно малая более высокого порядка, чем
x
x
g
, т.е
0
,
x
x
g
o
x
f
Определение.
Бесконечно малая функция
называется
бесконечно малой порядка
k
относительно бесконечно малой функции
, если предел
k
a
x
lim
конечен и отличен от
нуля.
32
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать
между собой. Например, если отношение
не имеет предела, то функции несравнимы.
Пример.
Если
x
x
x
,
sin
, то при
0
x
1
sin
lim
lim
2
0
2
0
x
x
x
x
x
, т.е. функция
- бесконечно малая порядка 2 относительно функции
.
Пример.
Если
x
x
x
,
1
sin
, то при
0
x
0
lim
x
не существует, т.е. функция
и
несравнимы.
Свойства эквивалентных бесконечно малых.
1)
~
a
x
,
1
lim
a
x
2) Если
~
,
~
a
x
, то
~
a
x
,
1
1
1
lim
lim
a
x
a
x
3) Если
~
, то
~
,
1
1
lim
lim
a
x
a
x
4) Если
1
1
~
~
и
и
k
a
x
lim
, то и
k
a
x
1
1
lim
или
1
1
lim
lim
a
x
a
x
.
Следствие:
а) если
1
~
a
и
k
a
x
lim
, то и
1
lim
lim
a
x
a
x
б) если
1
~
и
k
a
x
lim
, то
1
lim
lim
a
x
a
x
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел
отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно
малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые
на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.
5) Если
и
- бесконечно малые при
a
x
, причем
- бесконечно малая более
высокого порядка, чем
, то
- бесконечно малая, эквивалентная
. Это можно
доказать следующим равенством
1
1
lim
lim
a
x
a
x
.
Тогда говорят, что
-
главная часть
бесконечно малой функции
.
Следствие.
Если
и
- эквивалентные бесконечно малые при
a
x
, то тогда их
разность есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с
или
Пример.
Функция
x
x
x
f
2
– бесконечно малая при
0
x
,
x
– главная часть
этой функции. Чтобы показать это, запишем
2
x
,
x
, тогда
1
)
1
(
lim
lim
,
0
lim
0
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Основные эквивалентности
1.
0
~
sin
x
x
x
. Доказательство следует из теоремы о первом замечательном
пределе. Отсюда в частности следует, что
33
А)
0
~
sin
x
kx
kx
Б)
0
~
~
sin
x
kx
tgkx
kx
Докажем, что
2
~
cos
1
2
x
x
. В самом деле
1
2
lim
4
2
sin
2
lim
2
2
cos
1
lim
2
2
0
2
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Упражнение
: Доказать, что
0
2
~
sin
3
x
x
x
tgx
2.
0
~
1
ln
x
x
x
. Следует из третьего замечательного предела
3.
0
~
1
1
x
mx
x
m
Упражнение
: Доказать, что
0
2
1
~
1
1
2
x
x
m
m
mx
x
m
4.
0
ln
~
1
x
a
x
a
x
Замечание.
Во всех рассмотренных случаях переменную
x
можно заменить
бесконечно малой функцией, например:
a
x
x
x
,
~
sin
где
x
б/м
a
x
Примеры
Пример.
Найти предел
x
x
tg
x
7
sin
5
lim
0
Так как
x
x
tg
5
~
5
и
x
x
7
~
7
sin
при
0
x
, то, заменив функции эквивалентными
бесконечно малыми, получим:
7
5
7
5
lim
7
sin
5
lim
0
0
x
x
x
x
tg
x
x
Пример.
Найти предел
x
x
x
cos
1
lim
3
0
.
Так как
2
2
2
2
~
2
sin
2
cos
1
x
x
x
при
0
x
, то
0
2
lim
2
lim
cos
1
lim
0
2
3
0
3
0
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Пример.
Найти предел
.
lim
sin
lim
2
0
2
0
x
x
x
tgx
x
x
Пример.
Найти предел.
n
m
nx
mx
nx
tgmx
x
x
0
0
lim
sin
lim
Пример.
Найти предел.
0
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
cos
1
cos
1
1
cos
cos
1
lim
)
sin(
lim
cos
cos
)
(
)
sin(
lim
lim
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tgx
tgx
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример.
Найти предел.
34
2
2
1
)
4
/
(
2
2
)
4
/
sin(
lim
4
)
4
/
sin(
2
2
lim
4
cos
sin
lim
4
/
4
/
4
/
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример.
Найти предел.
2
1
sin
lim
2
)
2
/
cos(
lim
2
2
2
/
2
/
2
cos
lim
0
0
2
/
y
y
y
y
y
x
y
x
x
y
x
x
y
y
x
Пример.
Найти предел.
4
4
4
4
4
3
3
1
1
lim
1
1
lim
4
4
1
lim
4
1
lim
4
lim
1
1
4
1
lim
1
3
lim
e
z
z
y
z
y
y
y
y
y
x
x
y
x
x
x
x
z
z
z
z
y
y
y
y
y
x
x
x
x
Пример.
Найти предел
12
8
8
6
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
.
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель
данной дроби.
2
2
2
6
4
2
2
6
4
32
36
0
8
6
2
1
2
x
x
D
x
x
2
2
4
8
6
2
4
8
16
48
64
0
12
8
2
1
2
x
x
D
x
x
Тогда
2
1
4
2
6
4
lim
)
6
)(
2
(
)
4
)(
2
(
lim
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример.
Найти предел.
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
0
1
1
lim
Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение:
)
1
1
)(
1
(
2
lim
)
1
1
)(
1
(
1
1
lim
2
2
0
2
2
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
1
)
1
1
(
1
2
.
Пример.
Найти предел.
6
1
3
3
2
3
)
3
)(
3
(
)
3
)(
2
(
lim
)
3
)(
2
(
6
5
9
6
5
lim
3
2
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример.
Найти предел
2
3
6
11
6
lim
2
2
3
1
x
x
x
x
x
x
.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
x
2
– 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
x
3
– 6x
2
+ 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
,
Тогда
2
)
2
)(
1
(
)
3
)(
2
)(
1
(
lim
1
x
x
x
x
x
x
Пример.
Найти предел.
35
a
a
h
h
h
a
h
h
a
h
h
a
h
h
a
h
a
h
a
h
a
h
h
h
h
h
sin
)
2
/
1
(
sin
2
)
2
/
(
4
)
2
/
(
sin
2
lim
)
sin(
lim
2
)
1
)(cosh
sin(
2
lim
)
sin(
2
2
2
cos
2
2
2
sin
2
lim
sin
)
sin(
2
)
2
sin(
lim
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
Для самостоятельного решения:
1)
1
7
2
6
5
2
2
lim
2
3
2
4
x
x
x
x
x
x
x
2)
2
)
1
7
2
)(
2
(
)
1
)(
5
4
2
(
lim
2
3
4
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)
4
3
12
8
10
7
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
4)
4
1
1
2
4
lim
2
1
x
x
x
x
5)
2
1
1
sin
1
lim
2
0
x
x
x
x
6)
3
1
1
lim
3
0
x
x
x
7)
4
7
2
2
7
1
lim
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
8)
16
24
16
3
8
4
2
lim
2
3
4
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
- не определен.
Непрерывность функции в точке.
Определение.
Функция
x
f
, определенная в окрестности некоторой точки х
0
,
называется
непрерывной в точке
х
0
, если предел функции и ее значение в этой точке равны,
т.е.
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
или если для любого положительного числа
0
существует такое число
0
, что для
любых
x
, удовлетворяющих условию
0
x
x
верно неравенство
)
(
)
(
0
x
f
x
f
.
Тот же факт можно записать иначе:
)
lim
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
x
x
Определение.
Если функция
x
f
определена в некоторой окрестности точки
0
x
, но
не является непрерывной в самой точке
0
x
, то она называется
разрывной
функцией, а точка
0
x
– точкой разрыва.
Эквивалентное определение непрерывности.
Функция
x
f
называется
непрерывной
в точке
0
x
x
, если приращение функции в точке х
0
является бесконечно
малой величиной.
x
x
f
x
f
0
где
x
– бесконечно малая при
0
x
x
.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней.
Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше)
)
(
)
(
lim
0
0
x
f
x
f
x
x
, то функция называется
непрерывной справа.