ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2176
Скачиваний: 53
70
Глава II. В мире чудес бесконечного
(где, напомним,
a
0
, . . . , a
n
— целые числа) поставим в соответствие
число
2
a
n
3
a
n
−
1
. . . p
a
0
n
+1
(через
p
n
+1
здесь обозначено
(
n
+ 1)
-е простое число). Например,
уравнению
3
x
2
−
2 = 0
ставим в соответствие номер
2
4
3
1
5
5
= 150 000
(потому что целое число
−
2
имеет номер 4, нуль — номер 1, а целое
число 3 — номер 5). Теперь каждое уравнение получило свой номер,
причем разным уравнениям соответствуют разные номера (каждый
номер
N
единственным образом разлагается на простые множители,
то есть единственным образом задает числа
a
n
,
a
n
−
1
, . . . ,
a
0
; этим же
числам соответствуют определенные целые числа
a
n
, a
n
−
1
, . . . , a
0
,
а тем самым и определенное уравнение
a
0
x
n
+
. . .
+
a
n
= 0
).
Восьмерки на плоскости
F
Методы, с помощью которых мы перенумеровали все алгебра-
ические числа, применимы и в других случаях. Общая ситуация
здесь такова. Пусть дано счетное множество счетных множеств
A
1
, . . . , A
n
, . . .
Составим всевозможные конечные «наборы» из эле-
ментов этих множеств, причем в каждый набор входит не более
одного элемента из каждого множества
A
k
. Иными словами, каж-
дый набор имеет вид
(
a
m
, . . . , a
t
)
, где
a
m
∈
A
m
, . . . , a
t
∈
A
t
(число
элементов в наборе может быть разным в разных наборах, важно
лишь, чтобы каждый набор состоял из конечного числа элементов).
Тогда множество всех таких наборов счетно.
Для доказательства этого утверждения достаточно поставить
в соответствие каждому набору
(
a
m
, . . . , a
t
)
число
N
=
p
a
m
m
. . . p
a
t
t
,
где
p
m
есть
m
-е по порядку простое число и т. д.,
a
m
— номер эле-
мента
a
m
в множестве
A
m
и т. д. (при наших обозначениях значок
m
у элемента
a
m
показывает, какому из множеств принадлежит этот
элемент, а не номер этого элемента в множестве
A
m
). Те же рассуж-
дения, что и в случае алгебраических уравнений, показывают, что
при этом разным наборам будут соответствовать разные числа
N
,
т. е. что все наборы окажутся занумерованными. А при желании
можно сделать и иначе: поставить каждому набору
(
a
m
, . . . , a
t
)
в со-
ответствие его «высоту»
h
=
n
+
a
m
+
. . .
+
a
t
и нумеровать сначала
наборы высоты 2, потом наборы высоты 3 и т. д.
Восьмерки на плоскости
71
Из доказанного утверждения вытекает, что если элементы неко-
торого множества можно задать наборами вида
(
a
1
, . . . , a
n
)
, где эле-
менты
a
1
принадлежат счетному множеству
A
1
, элементы
a
2
— счет-
ному множеству
A
2
и т. д., то само множество
A
или счетно, или
конечно. В частности, счетно множество всех точек плоскости, обе
координаты которых рациональны: такие точки задаются набором
из двух рациональных чисел
(
r
1
;
r
2
)
, а множество рациональных чи-
сел счетно.
Приведем более сложный пример доказательства счетности неко-
торого множества. Пусть на плоскости изображены буквы
T
, причем
никакие две буквы не имеют общих точек (размеры букв могут быть
произвольными — рис. 24).
Покажем, что это множество букв или счетно, или конечно.
Для этого выберем на плоскости систему координат и поставим
в соответствие каждой букве
T
треугольник, имеющий вершины
с рациональными координатами и такой, что одна сторона тре-
угольника пересекает «ножку» буквы
T
, а две другие — «боковые
ветви» этой буквы (рис. 25). Геометрически очевидно, что если две
буквы
T
соответствуют одному и тому же треугольнику, то они
должны пересекаться — см. рис. 26 (впрочем, как это часто бывает
в математике, строгое доказательство этого факта совсем не так
просто). Поскольку по условию наши буквы попарно не имеют об-
щих точек, то разным буквам соответствуют разные треугольники.
Рис. 24
Рис. 25
Рис. 26
Поэтому нам осталось показать, что множество выбранных тре-
угольников счетно или конечно. А для этого заметим, что каждый
треугольник задается своими тремя вершинами
A
,
B
,
C
, а каждая
вершина — своими координатами. Так как мы условились выбирать
лишь вершины, обе координаты которых рациональны, то каждый
72
Глава II. В мире чудес бесконечного
треугольник задается шестью рациональными числами — коорди-
натами его вершин. А множество шестерок рациональных чисел
счетно. Поэтому множество треугольников с «рациональными» вер-
шинами счетно, а тогда множество треугольников, которые мы
построили для наших букв, или счетно, или конечно. Значит, или
счетно, или конечно и множество самих букв.
Рис. 27
Точно так же доказывается, что если на плоскости нарисованы
не пересекающиеся друг с другом восьмерки (рис. 27), то их множе-
ство или счетно, или конечно.
Неравные множества
Мы уже выяснили, что значат слова «два множества имеют по-
ровну элементов». А теперь выясним, что значит «одно множество
имеет больше элементов, чем второе». Для конечных множеств это
тоже можно выяснить, не прибегая к счету.
Вспомним наш пример с танцплощадкой. Если после того, как
заиграет оркестр и юноши пригласят девушек танцевать, некоторые
нерасторопные юноши окажутся не у дел, то ясно, что юношей боль-
ше. Если же часть девушек будет с грустью наблюдать за своими
танцующими подругами, то ясно, что больше девушек.
В этих случаях мы поступали так: устанавливали взаимно одно-
значное соответствие между одним множеством и частью другого
множества. Если это удавалось, то отсюда следовало, что второе
множество содержит больше элементов, чем первое. Пользуясь этим
методом, легко установить, например, что рыб в океане меньше,
чем атомов на земном шаре (хотя оба эти множества и конечны,
Неравные множества
73
Для него нет
партнерши
их вряд ли возможно пересчитать). Для этого достаточно каждой
рыбе поставить в соответствие один атом, входящий в состав ее те-
ла. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие
между множеством всех рыб и частью множества всех атомов на зем-
ном шаре.
К сожалению, для бесконечных множеств так просто поступить
нельзя. Ведь мы уже видели, что множество может иметь столько же
элементов, сколько и его часть. Поэтому только из того факта, что
множество
A
имеет столько же элементов, сколько и часть множе-
ства
B
, еще нельзя заключить, что оно имеет меньше элементов, чем
все множество
B
.
Мы будем скромнее в выражениях и скажем, что если мно-
жество
A
можно поставить во взаимно однозначное соответствие
с частью множества
B
, то множество
B
имеет
не меньше элементов,
чем множество
A
. Можно доказать, что это соотношение обладает
всеми хорошими свойствами неравенств:
1) Каждое множество
A
имеет не меньше элементов, чем само
это множество.
2) Если множество
A
имеет не меньше элементов, чем
B
, а
B
—
не меньше элементов, чем
C
, то
A
имеет не меньше элементов, чем
C
.
3) Если множество
A
имеет не меньше элементов, чем
B
, а
B
—
не меньше элементов, чем
A
, то они имеют поровну элементов
(то есть между элементами этих множеств можно установить вза-
имно однозначное соответствие).
74
Глава II. В мире чудес бесконечного
Из каждой рыбы по атому
Может случиться, что множество
B
имеет не меньше элементов,
чем множество
A
, но эти множества не эквивалентны. Иными сло-
вами, может случиться, что есть взаимно однозначное соответствие
между множеством
A
и частью
B
1
множества
B
, но не существует
взаимно однозначного соответствия между
A
и всем множеством
B
.
Вот в этом случае мы и будем говорить, что
B
имеет больше эле-
ментов, чем
A
.
Счетное множество — самое маленькое
из бесконечных
F
Мы уже говорили, что любая бесконечная часть множества на-
туральных чисел счетна. Это означает, что не может существовать
бесконечное множество, мощность которого была бы меньше мощно-
сти счетного множества. Докажем теперь, что в каждом бесконечном
множестве есть счетное подмножество. Отсюда будет следовать, что