ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2174
Скачиваний: 53
80
Глава II. В мире чудес бесконечного
на 7 или выбрать еще какое-нибудь правило). Но нам достаточно су-
ществования одного-единственного числа, не получившего номера,
чтобы опровергнуть гипотезу о возможности нумерации всех дей-
ствительных чисел.
Существование трансцендентных чисел
F
Мы говорили, что
алгебраическими числами
называют числа, яв-
ляющиеся корнями уравнений
a
0
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
. . .
+
a
n
= 0
с целыми коэффициентами. Числа же, не являющиеся корнями та-
ких уравнений, называют
трансцендентными
.
В течение долгого времени математики имели дело лишь с ал-
гебраическими числами, такими, как
7
15
,
8
√
10
,
√
2 +
3
√
3
и т. д. Лишь
ценой больших усилий французскому математику Лиувиллю уда-
лось найти в 1844 году несколько трансцендентных чисел. А до-
казательство трансцендентности числа
π
, проведенное Линдеманом
в 1882 году, было большим научным событием: ведь из него следо-
вала невозможность квадратуры круга.
И вдруг оказалось, что алгебраические числа, которые встре-
чаются на каждом шагу, на самом деле являются величайшей
редкостью, а трансцендентные числа, которые так трудно стро-
ить, — обычным правилом. В самом деле, мы уже видели, что
алгебраические числа образуют лишь счетное множество. Множе-
ство же всех действительных чисел, как мы только что обнаружили,
несчетно. Значит, несчетна и разность множества действительных
чисел и множества алгебраических чисел, то есть множество транс-
цендентных чисел.
Это доказательство существования трансцендентных чисел, про-
веденное Г. Кантором в 1873 году, произвело большое впечатление
на математиков. Ведь Кантору удалось доказать существование
трансцендентных чисел, не строя ни одного конкретного примера
таких чисел, а лишь исходя из общих соображений. Но то, что явля-
ется достоинством доказательства Кантора, в то же время является
и его слабой стороной.
Из теорем Лиувилля вытекает простой путь построения конкрет-
ных примеров трансцендентных чисел. Например, трансцендентным
является число
0
,
1010010000001
. . .
, в котором после первой единицы
На длинном и коротком отрезках поровну точек
81
стоит один нуль, после второй — два, после третьей — шесть, по-
сле
n
-й —
n
!
нулей. Из доказательства же Кантора нельзя непосред-
ственно извлечь никакого конкретного примера трансцендентного
числа, это доказательство, как говорят математики, неконструктив-
но: здесь приводится к противоречию предположение о несущество-
вании трансцендентных чисел и только.
На длинном и коротком отрезках поровну точек
До тех пор, пока читатель не познакомился с удивительными
свойствами бесконечных множеств, ответ на вопрос «где больше
точек, на отрезке длиной в 1 мм или на отрезке длиной в 1 м?»
Рис. 28
вряд ли вызвал бы у него хоть тень со-
мнения — ясно, что на отрезке в 1 м куда
больше точек, он ведь в 1000 раз длин-
нее. Но теперь, вероятно, читатель поосте-
режется делать столь безапелляционные
заявления — уж слишком непохожи свой-
ства бесконечных множеств на то, чему
учит обыденная жизнь. И действительно,
на очень коротком и очень длинном от-
резках точек поровну! Иными словами, всегда можно установить
взаимно однозначное соответствие между точками этих отрезков.
Как это сделать, лучше всего видно из рис. 28.
Трудно примириться с мыслью, что дорога длиной в миллион
световых лет имеет столько же точек, сколько и радиус атомного
ядра!
Но еще неожиданнее оказалось то, что даже на всей бесконеч-
ной прямой не больше точек, чем на отрезке, то есть что между
множеством точек на прямой и множеством точек на отрезке можно
установить взаимно однозначное соответствие.
Мы возьмем даже не весь отрезок, а выбросим из него концы
(как говорят, возьмем не отрезок, а промежуток). Как установить
взаимно однозначное соответствие между промежутком и прямой,
видно из рис. 29. Сначала точки промежутка отображают на по-
луокружность, а потом проектируют полуокружность на прямую.
Ясно, что при этом каждой точке промежутка соответствует одна
и только одна точка прямой, причем ни одна точка на прямой не про-
пущена.
82
Глава II. В мире чудес бесконечного
Рис. 29
Рис. 30
То же самое соответствие можно установить и по-другому, с по-
мощью кривой — тангенсоиды, графика функции
y
= tg
x
(рис. 30).
Отрезок и квадрат
С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько
и на отрезке, математики, скрепя сердце, примирились. Но следую-
щий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках
множества, имеющего больше элементов, чем отрезок, он обратился
к множеству точек квадрата. Сомнения в результате не было: ведь
отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а мно-
жество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само
имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка.
Отрезок и квадрат
83
На протяжении трех лет (с 1871 по 1874) Кантор искал доказа-
тельство того, что взаимно однозначное соответствие между точками
отрезка и точками квадрата невозможно.
Шли годы, а желанный результат не получался. И вдруг совер-
шенно неожиданно ему удалось построить соответствие, которое он
считал невозможным! Сначала он сам не поверил себе. Математику
Дедекинду он писал: «Я вижу это, но не верю этому».
Но все же пришлось смириться с тем, что интуиция подвела
и здесь, — в квадрате оказалось ровно столько же точек, сколько
и на отрезке. Строгое доказательство этого утверждения несколько
осложняется из-за неоднозначности десятичной записи чисел. Поэто-
му мы дадим лишь эскиз доказательства Кантора.
Возьмем отрезок
[0; 1]
и квадрат со стороной 1. Этот квадрат
можно считать расположенным так, как на рис. 31. Нам надо уста-
Рис. 31
новить взаимно однозначное соответствие меж-
ду точками отрезка и квадрата. Проектирова-
ние точек квадрата на отрезок
AB
здесь не по-
могает, ведь при проектировании в одну точку
отрезка перейдет бесконечное множество точек
квадрата (например, в точку
A
— все точки от-
резка
DA
.)
Решение получается следующим образом.
Каждую точку
T
квадрата
ABCD
можно за-
дать двумя числами — ее координатами
x
и
y
(или попросту ее расстояниями до сторон
AD
и
AB
). Эти числа можно записать как бесконечные десятичные дро-
би. Так как
x
и
y
не больше 1, то эти дроби имеют вид
x
= 0
,α
1
α
2
. . . α
n
. . . ,
(1)
y
= 0
,β
1
β
2
. . . β
n
. . .
(2)
(для простоты мы не берем точек квадрата, лежащих на его сторо-
нах, а берем лишь внутренние точки). Здесь
α
n
и
β
n
— десятичные
знаки чисел
x
и
y
, например, если
x
= 0
,
63205
. . .
и
y
= 0
,
21357
. . .
,
то
α
1
= 6
,
α
2
= 3
,
α
3
= 2
и т. д.,
β
1
= 2
,
β
2
= 1
,
β
3
= 3
и т. д.
Нам надо теперь найти точку
Q
отрезка
AB
, соответствующую
точке
T
. Достаточно указать длину отрезка
AQ
. Мы выберем эту
длину равной числу
z
, десятичные знаки которого получаются путем
«перетасовывания» десятичных знаков чисел
x
и
y
. Иными словами,
сделаем из двух записей (1) и (2) третью, написав их десятичные
84
Глава II. В мире чудес бесконечного
знаки через один:
z
= 0
,α
1
β
1
α
2
β
2
α
3
β
3
. . . α
n
β
n
. . .
Например, если
x
= 0
,
515623
. . .
,
y
= 0
,
734856
. . . ,
то положим
z
= 0
,
571354682536
. . .
Точка
z
лежит на отрезке
[0; 1]
, и ясно, что различным точкам
квадрата соответствуют при этом разные точки отрезка. Ведь если
точки
T
и
T
0
не совпадают, то в десятичных записях чисел
x
и
x
0
или
y
и
y
0
хоть один знак будет разный. Но это приведет к тому,
что десятичные записи соответствующих чисел
z
и
z
0
не совпадут.
Несколько более подробный анализ показывает, что тогда не совпа-
дают и сами эти точки.
Всех точек отрезка мы не получим. Например, точка
z
=
= 0
,
191919
. . .
должна была бы получиться из пары
x
= 0
,
111
. . .
,
x
= 0
,
999
. . .
, соответствующей точке на стороне квадрата, а такие
точки мы условились не брать. Поэтому при отображении квадрата
на отрезок точка
z
не будет образом ни одной точки квадрата.
Мы установили, таким образом, взаимно однозначное соответ-
ствие между точками квадрата и частью точек отрезка
[0; 1]
. Это
показывает, что множество точек квадрата имеет не большую мощ-
ность, чем множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше,
а потому эти мощности совпадают.
F
Немного изменив рассуждение, можно получить взаимно од-
нозначное соответствие между всеми точками квадрата и всеми точ-
ками отрезка. Для этого надо несколько осторожнее тасовать цифры
координат.
Возьмем снова не весь квадрат
ABCD
, а лишь его часть, полу-
чающуюся при отбрасывании сторон
BC
и
CD
. Координаты точек
этой части удовлетворяют неравенствам
0
6
x <
1
и
0
6
y <
1
. Эти
координаты можно записать в виде бесконечных десятичных дро-
бей, причем, в силу сделанного выше условия, эти дроби не могут
заканчиваться сплошными девятками.
А теперь разобьем цифры, входящие в десятичные записи
x
и
y
, на группы, ставя вертикальную черту после каждой цифры,
отличной от девятки. Например, если
x
= 0
,
3994599967
. . . ,
y
= 0
,
959978090
. . . ,
то разбиение имеет вид
x
∼
3
|
994
|
5
|
9996
|
7
|
. . . ,
y
∼
95
|
997
|
8
|
0
|
90
|
. . .
Перетасуем полученные
группы
цифр так же, как раньше мы
тасовали сами цифры. Получим бесконечную последовательность