ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2159
Скачиваний: 53
Все лежало в развалинах
125
время наблюдать за движущейся точкой, мы получим линию, про-
ходящую через все без исключения точки квадрата.
а
)
б
)
в
)
Рис. 54
Надо отметить, что, выиграв по сравнению с Кантором в том,
что его линия оказалась непрерывной, Пеано потерял в другом.
Его линия уже не задавала
взаимно однозначного
отображения
отрезка на квадрат. Через некоторые точки квадрата она проходила
по нескольку раз. Позже было доказано, что невозможно сохранить
одновременно и непрерывность и взаимную однозначность соответ-
ствия: не существует жордановой кривой, проходящей через все
точки квадрата в точности по одному разу!
Все лежало в развалинах
Трудно передать словами впечатление, произведенное на матема-
тический мир результатом Пеано. Казалось, что все рухнуло, что са-
мые основные математические определения потеряли всякий смысл,
не было видно различия между линией и поверхностью, поверх-
ностью и телом (результат о невозможности взаимно однозначно-
го и непрерывного соответствия между отрезком и квадратом еще
не был известен). Знаменитый французский математик Анри Пуан-
каре с горечью воскликнул: «Как могла интуиция до такой степени
обмануть нас!»
Стало ясно, что жорданово определение кривой не безупречно.
С одной стороны, оно слишком широко: под это определение подхо-
дит и кривая Пеано. А с другой стороны, оно слишком узко: не все
образы, которые интуитивно хотелось бы отнести к линиям, подхо-
дят под это определение. Например, линия, изображенная на рис. 43,
с. 113 (окружность с намотанной на нее спиралью), уже не является
126
Глава III. Удивительные функции и линии
жордановой кривой. Обнаружили и другой, глубже скрытый недо-
статок определения Жордана — ведь в этом определении шла речь
не только о кривой, но и о том, в каком темпе и как пробегает ее
точка. Представим себе, например, бегуна, который первую полови-
ну окружности проходит за
1
4
мин, а потом, устав, проходит вторую
половину окружности за
3
4
мин. Ясно, что в этом случае мы получим
совсем другие параметрические уравнения, чем на с. 121.
А ведь точка может пробегать окружность бесчисленным мно-
жеством способов, то ускоряя, то замедляя движение. Поэтому для
одной и той же окружности получатся различные параметрические
уравнения. И весьма трудно догадаться, что уравнения
x
=
1
−
t
2
1 +
t
2
,
y
=
2
t
1 +
t
2
задают ту же самую окружность, что и уравнения
x
= cos 2
πt,
y
= sin 2
πt.
А с более сложными кривыми совсем легко запутаться. Возь-
мем, например, лемнискату. Эту кривую можно обойти так, как
на рис. 55
а
, а можно и так, как на рис. 55
б
. И выяснить, глядя
на уравнения, одинаковы кривые или различны, весьма трудно.
Рис. 55
Итак, снова встал вопрос, что же такое линия и чем она отлича-
ется от поверхности? Ответ на него был связан с общими исследова-
ниями Кантора о геометрических фигурах.
Как делают статуи
Создав теорию множеств, Кантор перешел к вопросу о том,
что
такое геометрическая фигура
? Самый общий ответ на этот вопрос
гласил: геометрическая фигура — это любое множество точек про-
странства. Если это множество лежит на плоскости, то получается
Как делают статуи
127
плоская геометрическая фигура. Но такой ответ был бы слишком
общим — у фигур в этом смысле нет почти никаких достаточно ин-
тересных свойств.
Поэтому надо было в первую очередь ограничить совокупности
изучаемых множеств, выделить из них те, которые ближе всего
по своим свойствам к обычным геометрическим фигурам.
Чтобы выделить такой класс фигур, выясним, что общего имеют
друг с другом обычные фигуры, такие, как квадрат, круг, отрезок
прямой, астроида и т. д. Оказывается, все эти фигуры можно полу-
чить единообразным процессом.
Рассказывают, что знаменитый скульптор Роден на вопрос, как
ему удается делать свои замечательные статуи, ответил: «Я беру
глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее».
Тем же самым способом можно получить любую ограниченную
плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат,
в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать
надо не сразу, а постепенно, на каждом шаге отбрасывая кусочек,
имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его
граница — окружность — остается в фигуре.
На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигу-
ры такого вида, как на рис. 56. Но все дело в том, что отбрасывают
не один и не два круга, а счетное множество кругов. А с помощью
Рис. 56
счетного множества вырезаний мож-
но получить любую фигуру. Для этого
следует поступить так: взять все кру-
ги, у которых обе координаты центра
и радиус рациональны. В силу теоре-
мы на с. 70 множество таких кругов
счетно. А теперь выбросим из плоско-
сти все круги нашего множества, внут-
ри которых нет ни одной точки геомет-
рической фигуры.
Ясно, что после этого останется
только сама эта геометрическая фи-
гура. А число выброшенных кругов
не более чем счетно.
Впрочем, не обязательно выбрасывать круги. Вместо них можно
удалять квадраты, прямоугольники, эллипсы, соблюдая лишь од-
но условие — внутренние точки отбрасываются, а граничные оста-
ются.
128
Глава III. Удивительные функции и линии
Континуумы
Оказывается, что кроме обычных геометрических фигур с помо-
щью выбрасывания счетного множества кругов (квадратов и т. д.)
можно получать и другие множества, не слишком похожие на обыч-
ные фигуры, но все же обладающие многими интересными свойства-
ми. Например, ковер Серпинского, о котором мы уже неоднократно
Рис. 57
говорили,
получается
имен-
но таким путем: из квадрата
со стороной 1 выбрасывают
один
за
другим
маленькие
квадратики, причем их сто-
роны остаются.
Однако путем выбрасыва-
ния можно получить и фигуры,
не состоящие из одного куска.
Например, если удалять «кре-
сты»
1
, как на рис. 57, то по-
лучится в конце концов множе-
ство, не содержащее ни одно-
го целого куска (как говорят,
вполне несвязное
). Поэтому мы
введем ограничение, что после
каждого выбрасывания долж-
но оставаться множество, состоящее из одного куска. Тогда и после
всех выбрасываний останется множество из одного куска (то есть,
как говорят математики,
связное
). Кроме того, получающееся мно-
жество ограничено, то есть целиком лежит в некотором квадрате.
Итак, рассматриваемые множества удовлетворяют следующим
условиям:
1) множество
F
получается из квадрата выбрасыванием счет-
ного множества кругов (квадратов и т. д.) с оставлением их
границ;
2) множество
F
состоит из одного куска (связно).
Эти множества Кантор и назвал
континуумами
(напомним, что
латинское слово «continuum» означает «непрерывное»). Континуумы
1
При этом вместе с каждым крестом удаляются его концевые промежутки,
например промежутки
AB
,
CD
,
EF
,
GH
.
Канторовы линии
129
и оказались наиболее общими множествами, свойства которых очень
близки к свойствам обычных геометрических фигур.
Канторовы линии
Теперь мы уже готовы ответить на вопрос, что же такое плоская
линия. Так как плоские линии должны быть геометрическими фигу-
рами, то ясно, что искать их надо среди континуумов. Но континуу-
мами являются и круг, и квадрат, а эти фигуры никак не назовешь
линиями. Поэтому надо добавить еще какое-то условие, которое от-
мело бы такие фигуры.
Рис. 58
Рис. 59
Заметим, что и круг, и квадрат содержат сплошные куски плос-
кости. А линии сплошных кусков плоскости не содержат; какой бы
маленький квадратик мы ни взяли, всегда на нем найдутся точки,
не принадлежащие линии (рис. 58). Вот это и является нужным
нам дополнительным условием:
плоской линией в смысле Канто-
ра называют лежащий на плоскости континуум, не заполняющий
ни одного сплошного куска плоскости
(то есть такой, что в каждом
квадрате есть точки, не принадлежащие этой линии).
Например, отрезок, контур треугольника, окружность, четы-
рехлепестковая роза — все это линии. Линией является и ковер
Серпинского. Так как при его построении мы продырявили
все
квадраты, получавшиеся при делении, то ни одного целого куска
плоскости он не содержит. Канторовой линией является и окруж-
ность вместе с намотанной на нее спиралью, и пилообразная линия
на рис. 59 вместе с отрезком
[0; 1]
оси ординат. Вообще все фигуры,
являющиеся линиями в наглядном, наивном понимании, являются
линиями и в смысле Кантора. А фигуры, содержащие хоть один
целый кусок плоскости, не относятся к числу канторовых линий.