ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2158
Скачиваний: 53
Пересечение множеств
25
В какую секцию пойти?
у одного больного этой болезнью одних микробов, у другого — дру-
гих, у третьего — третьих. Множества микробов, наблюдаемых у раз-
ных больных, различны, но обычно два или три микроба наблюда-
ются у всех больных этой болезнью. На них и падает подозрение как
на возбудителей болезни. И дальнейшее исследование показывает,
кто же истинный виновник заболевания.
Множество, состоящее из общих элементов нескольких мно-
жеств
A
,
B
,
C, . . .
, называется
пересечением
этих множеств или их
произведением
. Пересечение двух множеств
A
и
B
обозначается
AB
или
A
∩
B
. Итак, пересечением нескольких множеств
A
,
B
,
C, . . .
называют новое множество, содержащее те и только те элементы,
которые входят в каждое из множеств
A
,
B
,
C, . . .
Например, пусть ученики данной школы участвуют в четырех
спортивных секциях: футбольной, плавания, шахматной и бокса. Пе-
ресечение множеств участников каждой секции состоит из спортс-
менов-универсалов, которые могут и забить пенальти, и переплыть
широкую реку, и создать грозную атаку на короля противника, и от-
разить нападение хулигана.
F
Разумеется, и в самой математике понятие пересечения мно-
жеств находит многочисленные приложения. Одним из основных ме-
тодов решения задач на построение является
метод геометрических
26
Глава I. Множества и действия над ними
мест
. Если надо построить точку, удовлетворяющую каким-нибудь
двум условиям, то сначала сохраняют только одно из этих усло-
вий и опускают второе. Множество точек, удовлетворяющих пер-
вому условию, заполняет некоторую линию (геометрическое место
точек). Точно так же множество точек, удовлетворяющих только
второму условию, заполняет другую линию. А тогда искомая точ-
ка является пересечением этих двух линий (геометрических мест).
Может, конечно, оказаться, что эти линии пересекаются не в од-
ной, а в нескольких точках. Тогда задача имеет несколько решений.
А если эти линии совсем не пересекаются, то задача не имеет реше-
ния. Например, пусть надо найти точку
C
, удаленную на расстояние
a
от точки
O
и равноудаленную от точек
A
и
B
. Искомая точка
должна, во-первых, лежать на окружности радиуса
a
с центром в
O
,
а во-вторых, на перпендикуляре к отрезку
AB
, проходящему через
середину этого отрезка. Значит, чтобы найти точки, удовлетворяю-
щие поставленным условиям, достаточно взять точки пересечения
прямой и окружности (здесь могут получиться две, одна или ни од-
ной точки пересечения, см. рис. 8).
Рис. 8
Иногда приходится пересекать множества геометрических фигур
или чисел. Например, множество всех квадратов является пересече-
нием множества всех прямоугольников с множеством всех ромбов.
Множество правильных треугольников является пересечением мно-
жества всех треугольников с множеством правильных многоугольни-
ков. Пересечением множества натуральных чисел, делящихся на 2,
и множества натуральных чисел, делящихся на 3, является множе-
ство натуральных чисел, делящихся на 6.
Решение систем уравнений и неравенств, по сути дела, сводит-
ся к отысканию пересечения некоторых множеств (впрочем, можно
сказать и наоборот: пересечение некоторых множеств ищется путем
решения систем уравнений или неравенств). Пусть, например, надо
Пересечение множеств
27
решить систему уравнений
(
x
2
+
y
2
= 25
,
x
+
y
= 7
.
(1)
С точки зрения алгебры перед нами задача найти все пары чисел
(
x
;
y
)
, при подстановке которых в оба уравнения системы получают-
ся тождества. Но уравнения системы можно рассматривать по от-
дельности. Обозначим через
M
множество всех пар чисел
(
x
;
y
)
,
удовлетворяющих первому из наших уравнений, а через
N
— мно-
жество всех пар чисел
(
x
;
y
)
, удовлетворяющих второму уравнению.
Тогда решениями системы будут все пары чисел, принадлежащие
Рис. 9
как множеству
M
, так и множеству
N
.
Иными словами, множеством решений
системы
(1)
является пересечение мно-
жеств
M
и
N
.
Это замечание лежит в основе гео-
метрического метода решения систем —
строят линии, выражаемые каждым
из уравнений системы, и находят их
пересечение. Например, мы уже знаем,
что точки
A
(
x
;
y
)
, координаты которых
удовлетворяют уравнению
x
2
+
y
2
= 25
,
лежат на окружности радиуса 5 с цен-
тром в начале координат. А уравнение
x
+
y
= 7
— это уравнение прямой, отсе-
кающей на обеих координатных осях отрезки длины 7. Если начер-
тить эти линии, то окажется, что они пересекаются в двух точках:
A
(4; 3)
и
B
(3; 4)
. Значит, наша система имеет два решения:
x
1
= 3
,
y
1
= 4
и
x
2
= 4
,
y
2
= 3
(рис. 9). Рассмотрим теперь систему неравенств
(
y
>
x
2
,
y
6
8
−
x
2
.
(2)
Множество
M
решений неравенства
y
>
x
2
состоит из точек
A
(
x
;
y
)
,
лежащих на параболе
y
=
x
2
и выше этой параболы. А множе-
ство
N
решений неравенства
y
6
8
−
x
2
состоит из точек плоскости,
лежащих на параболе
y
= 8
−
x
2
и ниже этой параболы (рис. 10).
На рис. 10 множество
M
заштриховано горизонтальными линиями,
а множество
N
— вертикальными линиями. Решением системы нера-
венств (2) является пересечение
P
множеств
M
и
N
. На рис. 10
28
Глава I. Множества и действия над ними
оно отмечено двойной штриховкой. При этом точки границы множе-
ства
P
принадлежат этому множеству.
Точно так же устанавливаем, что решением системы
(
y > x
2
,
y
= 2
x
+ 3
(3)
является часть прямой
y
= 2
x
+ 3
, лежащая выше параболы
y
=
x
2
.
Прямая пересекается с параболой в точках
A
(
−
1; 1)
и
B
(3; 9)
, и выше
параболы лежит часть прямой, заключенная между точками
A
и
B
(сами точки
A
и
B
не принадлежат множеству решений системы,
см. рис. 11).
Рис. 10
Рис. 11
А теперь путем изучения пересечения множеств покажем, что
иррациональное уравнение
p
2 +
x
−
x
2
+
p
8
x
−
x
2
−
15 = 7
(4)
не имеет решений. Конечно, можно было бы начать решать это урав-
нение, уединив радикал и возведя обе части уравнения в квадрат,
и лишь в самом конце, после проверки получившихся корней, убе-
диться, что уравнение не имеет решений. Но мы сделаем по-другому.
Сначала выясним, при каких значениях
x
имеют смысл радикалы,
входящие в это уравнение. Радикал
√
2 +
x
−
x
2
имеет смысл, если
2 +
x
−
x
2
>
0
. Решая это неравенство, получим, что
−
1
6
x
6
2
. Точ-
но так же обнаруживаем, что радикал
√
8
x
−
x
2
−
15
имеет смысл,
лишь если
3
6
x
6
5
. Но отрезки
−
1
6
x
6
2
и
3
6
x
6
5
не имеют
Сложение множеств
29
общих точек, их пересечение пусто. Поэтому ни одно значение
x
не может удовлетворять уравнению (4).
F
Сложение множеств
Еще чаще, чем пересекать множества, приходится объединять их.
Уже первоклассник, складывая три палочки и две палочки, объеди-
няет два множества. Вообще, действие сложения натуральных чисел
связано с подсчетом числа элементов объединения двух множеств.
Но здесь надо иметь в виду одну тонкость. Пусть есть два сплава.
Один сплав содержит железо, углерод, ванадий и марганец, а вто-
рой — железо, углерод, хром и никель. В каждый сплав входят по 4
химических элемента, но если мы сплавим их вместе, то в новый
сплав войдут только 6 элементов: железо, углерод, ванадий, марга-
нец, хром и никель. Дело в том, что железо и углерод были в обоих
сплавах, то есть объединяемые множества элементов имели непустое
пересечение. Поэтому будет правильнее сказать, что сложение нату-
ральных чисел связано с объединением непересекающихся множеств.
Рис. 12
Если же пересечение множеств
не пусто, то в их объединении повто-
ряющиеся элементы считаются лишь
по одному разу. Таким образом,
сум-
мой
нескольких множеств
A
,
B, . . .
называют новое множество, состоя-
щее из тех и только тех элементов,
которые входят хоть в одно из слага-
емых множеств. Сумму множеств
A
и
B
обычно обозначают
A
+
B
или
A
∪
B
. На рис. 12 изображено объ-
единение множества
A
точек круга
Γ
1
и множества
B
точек круга
Γ
2
.
Если некоторые элементы входят не в одно, а в несколько слага-
емых множеств, в сумму они все равно входят только один раз.
Поэтому для конечных множеств число элементов суммы может
оказаться меньше, чем сумма чисел элементов слагаемых. Например,
пусть первое множество состоит из различных букв русского алфа-
вита, входящих в первую строку «Евгения Онегина», а второе —
из различных букв, входящих во вторую строку этой поэмы. Первое
множество мы уже выписывали. Оно состоит из 18 букв (см. с. 11):
М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л.