ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.12.2020
Просмотров: 2157
Скачиваний: 53
30
Глава I. Множества и действия над ними
Второе же множество состоит из 13 букв:
К, О, Г, Д, А, Н, Е, В, Ш, У, Т, З, М.
Суммой этих двух множеств является следующий набор 23 букв:
М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л, К, Г, Ш, У, З.
Буквы О, Д, А, Н, Е, В, Т, М, входящие в пересечение наших
множеств, вошли в сумму только один раз, и поэтому мы получили
только 23 буквы, а не
18 + 13 = 31
букву. Вот еще один пример, когда
складываемые множества имеют общие элементы. Множество всех
учеников в классе является суммой следующих трех множеств:
а) множества успевающих учеников,
б) множества девочек,
в) множества неуспевающих мальчиков.
Ясно, что каждый учащийся этого класса принадлежит хотя бы од-
ному из указанных множеств. Однако эти множества могут иметь
общие элементы: успевающие девочки входят и в первое, и во вто-
рое множество.
Иногда сумма состоит из бесконечного числа слагаемых мно-
жеств. Например, обозначим через
A
n
множество всех положитель-
ных дробей со знаменателем
n
:
A
1
=
n
m
1
o
, A
2
=
n
m
2
o
, . . . , A
n
=
n
m
n
o
, . . .
Суммой всех множеств
A
1
, A
2
, . . . , A
n
, . . .
является множество всех
положительных дробей, то есть дробей вида
m
n
, где
m
и
n
— нату-
ральные числа.
Обозначим через
A
3
множество правильных треугольников, че-
рез
A
4
— множество правильных четырехугольников, через
A
5
—
множество правильных пятиугольников и т. д. Тогда суммой всех
этих множеств является множество
A
всех правильных многоуголь-
ников.
F
Поговорим теперь о сложении множеств в алгебре.
В одном из своих рассказов известный американский писатель
Эдгар По пишет:
«Я никогда не встречал математика, который не держался бы как
за Символ Веры за то, что
x
2
+
px
+
q
абсолютно и безусловно рав-
но нулю. Скажите одному из этих джентльменов, если вам угодно,
в виде опыта, что, на ваш взгляд, могут существовать случаи, когда
Сложение множеств
31
x
2
+
px
+
q
не целиком равно нулю, и, втолковав ему то, что вы ра-
зумеете, возможно скорее спасайтесь из пределов его досягаемости,
так как, без сомнения, он попытается вас поколотить».
Разумеется, читатель понимает, что
x
2
+
px
+
q
может быть рав-
но нулю при одних значениях
x
и отличаться от нуля при других.
Но нас интересует иной вопрос: почему математики всегда стараются
записать уравнение так, чтобы одна его часть была равна нулю? Что-
бы это стало яснее, рассмотрим такое уравнение:
x
2
(
x
2
−
7) =
−
12
.
Из того, что произведение двух выражений равно
−
12
, трудно вы-
вести что-либо о величине каждого из этих выражений. Поэтому
решать уравнение в таком виде весьма затруднительно. А если пе-
ренести
−
12
в левую часть уравнения и разложить получившееся
выражение на множители, то получим уравнение
(
x
2
−
4)(
x
2
−
3) = 0
.
(1)
Теперь уже можно применить известное рассуждение:
для того что-
бы произведение было равно нулю, надо, чтобы хоть один из мно-
Рис. 13
жителей был равен нулю
.
Поэтому решение уравнения (1)
сводится к решению двух уравне-
ний:
x
2
−
4 = 0
и
x
2
−
3 = 0
. Но в от-
личие от случая решения систе-
мы уравнений здесь надо искать
не числа, которые удовлетворяют
сразу
обоим
уравнениям, а числа,
которые удовлетворяют
хотя бы
одному
из двух уравнений. Ины-
ми словами, нам надо теперь ис-
кать не пересечение, а объедине-
ние множеств корней. Решая первое
уравнение, получим корни
x
1
= 2
,
x
2
=
−
2
, а решая второе уравнение,
находим еще два корня:
x
3
=
√
3
,
x
4
=
−
√
3
. Объединяя множества
{
2
,
−
2
}
и
{
√
3
,
−
√
3
}
, получаем множество корней
{
2
,
−
2
,
√
3
,
−
√
3
}
заданного уравнения. Точно так же уравнение
(
x
2
+
y
2
−
37)(
y
−
x
−
7) = 0
(2)
задает множество, состоящее из окружности с уравнением
x
2
+
+
y
2
−
37 = 0
и прямой, имеющей уравнение
y
−
x
−
7 = 0
(рис. 13).
32
Глава I. Множества и действия над ними
Если бы вместо этого уравнения была задана система уравнений
(
x
2
+
y
2
−
37 = 0
,
y
−
x
−
7 = 0
,
то она задавала бы не всю фигуру, изображенную на рис. 13, а лишь
две точки
A
(
−
6; 1)
и
B
(
−
1; 6)
, в которых прямая пересекает окруж-
ность.
F
Разбиение множеств
Вообще говоря, слагаемые множества могут иметь общие элемен-
ты. Однако часто бывает, что некоторое множество является суммой
своих подмножеств, никакие два из которых не имеют общих эле-
ментов (или, как обычно говорят, не пересекаются). В этом случае
говорят, что множество
A
разбито на непересекающиеся подмноже-
ства
.
Разбиение на подмножества часто используется для классифика-
ции объектов. Например, когда составляют каталог книг в библио-
теке, то все множество книг разбивают на книги беллетристическо-
го характера, книги по общественно-политическим наукам, по есте-
ственным наукам и т. д.
В биологии все множество животных разбивается на типы, ти-
пы — на классы, классы — на отряды, отряды — на семейства,
семейства — на роды, а роды — на виды.
Конечно, одно и то же множество можно разными способами раз-
бивать на подмножества. Когда в той же библиотеке составляют ал-
фавитный каталог, то сначала книги разбиваются на подмножество
книг, фамилии авторов которых начинаются на А, подмножество
книг, фамилии авторов которых начинаются на Б, и т. д. После этого
каждое полученное подмножество разбивают в соответствии со вто-
рой буквой фамилии авторов и т. д.
F
При разбиении множества на подмножества часто использу-
ют понятие
эквивалентности
элементов. Для этого определяют, что
значит «элемент
x
эквивалентен элементу
y
», после чего объединя-
ют эквивалентные элементы в одно подмножество. Однако не всякое
понятие эквивалентности годится для такого разбиения. Например,
назовем двух людей эквивалентными, если они знакомы друг с дру-
гом. Такое определение эквивалентности окажется неудачным. Ведь
может случиться, что человек
X
знаком с человеком
Y
, человек
Y
Арифметика остатков
33
знаком с человеком
Z
, а люди
X
и
Z
друг с другом незнакомы. То-
гда нам придется сначала отнести в одно подмножество людей
X
и
Y
(они друг с другом знакомы), потом в то же подмножество включить
и
Z
(он знаком с
Y
), и у нас в одном подмножестве окажутся незна-
комые друг с другом
X
и
Z
. Чтобы не было таких неприятностей,
нужно, чтобы для понятия эквивалентности выполнялись следую-
щие три условия:
а
)
каждый элемент сам себе эквивалентен;
б
)
если элемент
x
эквивалентен элементу
y
, то элемент
y
эк-
вивалентен элементу
x
;
в
)
если элемент
x
эквивалентен элементу
y
, а элемент
y
экви-
валентен элементу
z
, то элемент
x
эквивалентен
z
.
Можно доказать, что выполнение этих условий необходимо и до-
статочно для того, чтобы множество
A
можно было разбить на под-
множества эквивалентных между собой элементов (и притом так,
что разные подмножества не имеют общих элементов).
Например, назовем два целых числа
x
и
y
эквивалентными, если
их разность — четное число. Легко проверить, что при этом выполня-
ются все три условия а)–в). Объединяя эквивалентные целые числа,
мы разобьем множество всех целых чисел на два подмножества: мно-
жество четных чисел и множество нечетных чисел.
F
Арифметика остатков
F
Если
m
— любое натуральное число, большее 1, то с его помощью
множество натуральных чисел можно разбить следующим образом
на классы. Назовем два числа
сравнимыми по модулю
m
, если их
разность делится на
m
. Например, числа 7 и 19 сравнимы по моду-
лю 4, но не сравнимы по модулю 5, так как
19
−
7 = 12
делится на 4,
но не делится на 5. Легко проверить, что сравнимость чисел по дан-
ному модулю обладает всеми свойствами эквивалентности. Поэтому
множество целых чисел разбивается на классы чисел, сравнимых
между собой по модулю
m
. Число таких классов равно
m
, и все чис-
ла данного класса при делении на
m
дают один и тот же остаток.
Например, если
m
= 3
, то получается 3 класса: класс чисел, крат-
ных 3, класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, и класс
чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
Составим теперь новое множество, элементами которого являют-
ся классы чисел, сравнимых по заданному модулю
m
. Множество
M
34
Глава I. Множества и действия над ними
состоит из
m
элементов. В этом множестве можно определить дей-
ствия сложения и умножения элементов. Например, пусть
m
= 5
.
Возьмем класс
A
чисел, дающих при делении на 5 остаток 2,
и класс
B
чисел, дающих при делении на 5 остаток 4. Если взять
любое число класса
A
и прибавить к нему любое число класса
B
,
то получится число, дающее при делении на 5 остаток 1 (в самом
деле,
(5
a
+ 2) + (5
b
+ 4) = 5(
a
+
b
+ 1) + 1)
. Поэтому можно сказать,
что суммой класса
A
и класса
B
является класс
C
чисел, дающих
при делении на 5 остаток 1. Если умножить любое число класса
A
на любое число класса
B
, то получится число, дающее при делении
на 5 остаток 3 (так как
(5
a
+ 2)(5
b
+ 4) = 5(5
ab
+ 4
a
+ 2
b
+ 1) + 3)
.
Мы получили любопытную арифметику, в которой имеют дело
не с бесконечным множеством целых чисел, а всего с пятью эле-
ментами — пятью классами чисел. Будем обозначать класс чисел,
дающих при делении на 5 остаток
a
, через
a
(например, класс чи-
сел
{
. . . ,
−
4
,
1
,
6
,
11
,
16
, . . .
}
обозначим просто
1
). Для «чисел»
0,
1, 2, 3, 4
арифметика задается следующими таблицами сложения
и умножения:
Таблица сложения
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
Таблица умножения
×
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Особенно простой вид принимают эти таблицы для случая
m
= 2
:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
×
0
1
0
0
0
1
0
1
Первая таблица показывает, что сумма двух четных или нечетных
чисел четна, а сумма четного и нечетного числа нечетна. Вторая же
таблица показывает, что произведение двух целых чисел нечетно
лишь в случае, когда нечетны оба сомножителя. Арифметика клас-
сов по данному модулю изучается в отделе математики, называемом
теорией чисел
.