Файл: Виленкин Рассказы о множествах.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.12.2020

Просмотров: 2278

Скачиваний: 55

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

Вычитание множеств

35

Вычитание множеств

Полицейский-инспектор Варнике осмотрел сейф, закурил свою

трубку и сказал: «Электродрелью вскрывают сейфы только пять
взломщиков: Алек Кунце, Фриц Шмидт, Густав Хойгер, Генрих
Кунтцман и Томас Мюллер. Но Алек, Фриц и Густав сейчас нахо-
дятся в тюрьме Моабит. Придется спросить Генриха и Томаса, где
они провели прошлую ночь...»

Метод, которым воспользовался инспектор Варнике, основан

на операции вычитания множеств. Он имел дело с двумя множества-
ми — множеством

A

взломщиков, пользовавшихся электродрелью,

и множеством

B

всех обитателей тюрьмы Моабит. Удалив из множе-

ства

A

все элементы, принадлежащие множеству

B

, он сузил круг

подозреваемых преступников.

Вообще,

разностью

двух множеств

A

и

B

называют новое множе-

ство, обозначаемое

A

B

или

A

\

B

, в которое входят все элементы

множества

A

, не принадлежащие

B

.

Мы видим, что для того, чтобы из множества

A

можно было вы-

честь множество

B

, совершенно не обязательно, чтобы множество

B

было частью множества

A

— вычитание

B

из

A

сводится к удалению

из

A

общей части

A

и

B

:

A

B

=

A

AB.

Например, инспектору Варнике надо было из числа пяти взломщи-
ков отбросить трех — тех, что пользовались электродрелью и в то же

Рис. 14

время находились в данный момент
в тюрьме. Если

A

— множество то-

чек первого круга на рис. 14, а

B

множество точек второго круга, то их
разностью является множество точек
заштрихованной серповидной фигуры
(без дуги

M N

). Если

A

— множе-

ство всех учеников данного класса ка-
кой-либо школы, а

B

— множество

всех девочек, учащихся в этой школе,
то

A

B

— множество всех мальчи-

ков, которые учатся в данном классе этой школы. В случае, ко-
гда

B

является частью множества

A

,

A

B

называют

дополнением

к множеству

B

в

A

и обозначают

B

0

A

(разумеется, oдно и то же


background image

36

Глава I. Множества и действия над ними

множество

B

имеет разные дополнения в разных содержащих его

множествах

A

). Например, дополнением множества четных чисел

в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел.
Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоуголь-
ников является множество всех прямоугольников с неравными сто-
ронами. А дополнением того же множества квадратов в множестве
всех ромбов является множество ромбов с неравными диагоналями.

Если все множества рассматриваются как подмножества универ-

сального множества

I

, то обычно под дополнением множества

B

понимают его дополнение в

I

. В этом случае вместо

B

0

I

пишут про-

сто

B

0

.

Алгебра множеств

F

Мы познакомились с основными действиями над множествами —

сложением, вычитанием и умножением (пересечением) множеств.
Эти действия обладают целым рядом свойств, напоминающих свой-
ства действий над числами. Как известно, вся алгебра многочленов
построена на немногих законах действий над числами, которые
выражаются следующими равенствами:

а)

a

+

b

=

b

+

a

(коммутативность сложения),

б)

(

a

+

b

) +

c

=

a

+ (

b

+

c

)

(ассоциативность сложения),

в)

a

+ 0 =

a

(свойство нуля),

г)

a

+ (

a

) =

a

a

= 0

(свойство противоположного элемента),

д)

ab

=

ba

(коммутативность умножения),

е)

(

ab

)

c

=

a

(

bc

)

(ассоциативность умножения),

ж)

a

(

b

+

c

) =

ab

+

ac

(дистрибутивность умножения относительно

сложения),

з)

a

·

1 =

a

(свойство единицы).

Большинство этих свойств действий над числами сохраняется и для
действий над множествами. Например, ясно, что для любых двух
множеств имеем

A

+

B

=

B

+

A

(

A

+

B

и

B

+

A

обозначают одно

и то же множество, в которое входят все элементы из

A

и из

B

и не входят никакие другие элементы). Точно так же ясно, что

(

A

+

B

) +

C

=

A

+ (

B

+

C

)

— оба множества составлены из всех элементов, входящих хотя бы
в одно из множеств

A

,

B

и

C

. Так же доказывается, что

AB

=

BA

и

(

AB

)

C

=

A

(

BC

)

(множества

AB

и

BA

состоят из общих элементов


background image

Алгебра множеств

37

множеств

A

и

B

, а множества

(

AB

)

C

и

A

(

BC

)

— из общих элементов

множеств

A

,

B

и

C

).

Несколько сложнее доказать дистрибутивность умножения мно-

жеств относительно сложения, то есть выполнение равенства

A

(

B

+

C

) =

AB

+

AC.

(1)

Строгое логическое доказательство этого равенства несложно,
но несколько кропотливо. Мы ограничимся поэтому двумя ри-
сунками, поясняющими это равенство (рис. 15). На первом из этих
рисунков заштриховано пересечение множества

A

с множеством

B

+

C

, а на втором — пересечения

A

с

B

и

A

с

C

.

Рис. 15

Роль нуля и единицы в действиях над множествами играют мно-

жества

(пустое множество) и

I

(универсальное множество). Имен-

но, справедливы равенства

A

+

=

A,

A

·

=

,

A

·

I

=

A,

соответствующие равенствам

a

+ 0 =

a,

a

·

0 = 0

,

a

·

1 =

a

для чисел.

Таким образом, сложение и умножение множеств обладают теми

же свойствами, что и сложение и умножение чисел.

Поэтому все формулы алгебры многочленов, в которые входят

лишь действия сложения и умножения, остаются справедливыми
и для множеств. Например, тождеству

(

a

+

b

)

2

=

a

2

+

b

2

+ 2

ab

соответствует тождество

(

A

+

B

)

2

=

A

2

+

B

2

+ 2

AB,

(2)

где положено

A

2

=

A

·

A

и

2

AB

=

AB

+

AB

.


background image

38

Глава I. Множества и действия над ними

Но алгебра множеств имеет и своеобразные черты. Ее основ-

ное своеобразие состоит в том, что если одно из множеств

A

и

B

Рис. 16

является подмножеством другого, то фор-
мулы

для

суммы

и

произведения

мно-

жеств упрощаются, а именно: если

A

B

,

то

A

+

B

=

B

и

AB

=

A

. Это сразу становит-

ся ясно из рис. 16.

В частности, так как

A

A

, то

A

+

A

=

=

AA

=

A

, а так как

A

I

, то

A

+

I

=

I

.

Это позволяет упростить формулы ал-

гебры множеств. Например, так как

A

2

=

A

,

B

2

=

B

,

AB

A

, то

A

2

+ 2

AB

=

A

+ 2

AB

=

A

и формула (2) прини-

мает вид

(

A

+

B

)

2

=

A

+

B

. Вообще, в алгебре множеств не имеет

смысла говорить о степенях, так как для любого

n

имеем

A

n

=

A

.

Покажем теперь, что для множеств есть и второй «распредели-

тельный закон», которого нет для чисел. Он выражается формулой

A

+

BC

= (

A

+

B

)(

A

+

C

)

.

Чтобы доказать его, достаточно раскрыть справа скобки по прави-
лу (1) и заметить, что множества

AB

и

AC

являются подмножества-

ми в

A

:

AC

A

и

AB

A

. Кроме того,

AA

=

A

, а поэтому

AA

+

AC

+

BA

+

BC

=

A

+

BC.

Отметим, далее, что операция вычитания множеств уже не похожа
по своим свойствам на операцию вычитания чисел. Для любых трех
чисел

a

,

b

,

c

верно равенство

a

+ (

b

c

) = (

a

+

b

)

c

. А для трех мно-

жеств

A

,

B

,

C

, вообще говоря,

A

+ (

B

C

)

6

= (

A

+

B

)

C.

Дело в том, что при сложении множеств повторяющиеся элементы
берутся только один раз, а вычитать можно и множество, не со-
держащееся в уменьшаемом. Поэтому, если, например, все три
множества

A

,

B

,

C

совпадают,

A

=

B

=

C

, то

A

+

B

=

A

и пото-

му

(

A

+

B

)

C

=

A

A

=

— пустое множество, а

A

+ (

B

C

) =

=

A

+

=

A

.

В теории множеств есть еще операция, отсутствующая в обыч-

ной алгебре. Это операция перехода от данного множества

A

к его

дополнению

A

0

=

I

A

. Ясно, что множества

A

и

A

0

не пересека-

ются, а в сумме составляют все универсальное множество

I

. Таким


background image

Алгебра множеств

39

образом,

AA

0

=

и

A

+

A

0

=

I

. Кроме того, ясно, что

0

=

I

(допол-

нение пустого множества совпадает с универсальным множеством)

Рис. 17

и

I

0

=

. Далее, имеет место равенство

(

A

0

)

0

=

A

(рис. 17).

Покажем теперь, что если

A

B

,

то

A

0

B

0

. В самом деле, чем больше

само множество, тем меньше элементов
останется в его дополнении. На рис. 18
универсальное множество

I

изображено

в виде прямоугольника, а множества

A

и

B

— в виде кругов. Дополнение к мно-

жеству

A

состоит из точек прямоуголь-

ника, лежащих вне меньшего круга, а дополнение к множеству

B

из точек прямоугольника, лежащих вне большого круга. Ясно, что

A

0

B

0

.

Рис. 18

Рис. 19

Несколько сложнее доказываются следующие формулы:

(

A

+

B

)

0

=

A

0

B

0

и

(

AB

)

0

=

A

0

+

B

0

.

На рис. 19 дополнение к множеству

A

заштриховано горизонтальны-

ми линиями, а дополнение к множеству

B

— вертикальными линия-

ми. Дополнение к множеству

A

+

B

состоит из точек прямоугольни-

ка, не попавших ни в один из кругов. Это как раз точки, лежащие
в области, покрытой обеими штриховками, то есть точки из

A

0

B

0

.

Поэтому ясно, что

(

A

+

B

)

0

=

A

0

B

0

. Точно так же этот рисунок ил-

люстрирует и формулу

(

AB

)

0

=

A

0

+

B

0

.

Мы установили ряд свойств действий над множествами. Ра-

ди удобства приведем список этих свойств (как обычно, через


Смотрите также файлы