ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 259
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
74
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Глава 5. Системы эконометрических уравнений
Взаимосвязь коэффициентов приведенной и структурной форм моделей име- ет реальное практическое применение. Коэффициенты приведенной формы моде- ли могут быть оценены обычным МНК, и на их основе может быть произведена оценка структурных коэффициентов модели.
5.3 Идентификация структурной модели
При переходе от приведенной формы модели к структурной эконометрист сталкивается с проблемой идентификации.
Идентификация — это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели, позволяющая однозначно оценить структурные коэффициенты модели.
С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
1) идентифицируемые;
2) неидентифицируемые;
3) сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определя- ются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифици- руема.
Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов боль- ше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого спе- циальных методов исчисления параметров.
Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравне- ний, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель счита- ется идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считает- ся неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.
Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, что- бы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.
5.3 Идентификация структурной модели
75
Если обозначить число эндогенных переменных в i-м уравнении системы через
H, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в си- стеме, но не входят в данное уравнение, — через D, то условие идентифицируемо- сти модели может быть записано в виде следующего счетного правила (табл. 5.1).
Таблица 5.1 – Условие идентифицируемости модели
D + 1 = H
уравнение идентифицируемо
D + 1 < H
уравнение неидентифицируемо
D + 1 > H
уравнение сверхидентифицируемо
Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифи- цируема или сверхидентифицируема.
Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное ус- ловие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной мо- дели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным
(эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнени- ях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матри- цы был на единицу меньше числа эндогенных переменных в системе.
Целесообразность проверки условия идентификации модели через определи- тель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутству- ющих в других уравнениях системы, объясняется тем, что возможна ситуация, ко- гда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.
В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры кото- рых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны ±1. В этом случае, хотя само тож- дество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при перемен- ных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.
Пример 5.1
Изучается модель вида:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎩
C
t
=
a
1
+ b
11
⋅ Y
t
+ b
12
⋅ C
t−1
+ ε
1
,
I
t
=
a
2
+ b
21
⋅ r
t
+ b
22
⋅ I
t−1
+ ε
2
,
r
t
=
a
3
+ b
31
⋅ Y
t
+ b
32
⋅ M
t
+ ε
3
,
Y
t
=
C
t
+ I
t
+ G
t
,
где C
t
— расходы на потребление в период t; Y
t
— совокупный доход в период t;
I
t
— инвестиции в период t; r
t
— процентная ставка в период t; M
t
— денежная масса в период t; G
t
— государственные расходы в период t; C
t−1
— расходы на потребле- ние в период t − 1; I
t−1
— инвестиции в период t − 1. Первое уравнение — функция
76
Глава 5. Системы эконометрических уравнений
потребления, второе уравнение — функция инвестиций, третье уравнение — функ- ция денежного рынка, четвертое уравнение — тождество дохода. Модель представ- ляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.
Модель включает четыре эндогенные переменные
(C
t
, I
t
, Y
t
, r
t
) и четыре пред- определенные переменные (две экзогенные переменные — M
t
и G
t
и две лаговые переменные — C
t−1
и I
t−1
).
Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений мо- дели.
Первое уравнение: C
t
=
a
1
+ b
11
⋅ Y
t
+ b
12
⋅ C
t−1
+ ε. Это уравнение содержит две эндогенные переменные C
t
и Y
t
и одну предопределенную переменную C
t−1
. Таким образом, H = 2, а D = 4 − 1 = 3, т. е. выполняется условие D + 1 > H. Уравнение сверхидентифицируемо.
Второе уравнение: I
t
=
a
2
+ b
21
⋅ r
t
+ b
22
⋅ I
t−1
+ ε
2
. Оно включает две эндогенные переменные I
t−1
и r
t
и одну экзогенную переменную I
t−1
. Выполняется условие
D + 1 = 3 + 1 > H = 2. Уравнение сверхидентифицируемо.
Третье уравнение: r
t
=
a
3
+ b
31
⋅ Y
t
+ b
32
⋅ M
t
+ ε
3
. Оно включает две эндогенные переменные Y
t
и r
t
и одну экзогенную переменную M
t
. Выполняется условие D+1 =
=
3 + 1 > H = 2. Уравнение сверхидентифицируемо.
Четвертое уравнение: Y
t
=
C
t
+ I
t
+ G
t
. Оно представляет собой тождество,
параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.
Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели (табл. 5.2).
Таблица 5.2 – Матрица коэффициентов при переменных модели
C
t
I
t
r
t
Y
t
C
t−1
I
t−1
M
t
G
t
I уравнение
−1 0
0
b
11
b
12 0
0 0
II уравнение
0
−1
b
21 0
0
b
22 0
0
III уравнение
0 0
−1
b
31 0
0
b
32 0
Тождество
1 1
0
−1 0
0 0
1
В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэф- фициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.
Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, представлена в таблице 5.3.
Таблица 5.3 – Матрица коэффициентов, не входящих в первое уравнение
I
t
r
t
I
t−1
M
t
G
t
II уравнение
−1
b
21
b
22 0
0
III уравнение
0
−1 0
b
32 0
Тождество
1 0
0 0
1
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматри- цы 3 × 3 не равен нулю:
5.3 Идентификация структурной модели
77
RRRRR
RRRRR
RRRR
b
22 0
0 0
b
32 0
0 0
1
RRRRR
RRRRR
RRRR
=
b
22
b
32
≠
0.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, представлена в таблице 5.4.
Таблица 5.4 – Матрица коэффициентов, не входящих во второе уравнение
C
t
Y
t
C
t−1
M
t
G
t
I уравнение
−1
b
11
b
12 0
0
III уравнение
0
b
31 0
b
32 0
Тождество
1
−1 0
0 1
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматри- цы 3 × 3 не равен нулю:
RRRRR
RRRRR
RRRR
b
12 0
0 0
b
32 0
0 0
1
RRRRR
RRRRR
RRRR
=
b
12
b
32
≠
0.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, представлена в таблице 5.5.
Таблица 5.5 – Матрица коэффициентов, не входящих в третье уравнение
C
t
I
t
C
t−1
I
t−1
G
t
I уравнение
−1 0
b
12 0
0
II уравнение
0
−1 0
b
22
b
22 0
Тождество
1 1
0 0
1
Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматри- цы 3 × 3 не равен нулю:
RRRRR
RRRRR
RRRR
b
12 0
0 0
b
22 0
0 0
1
RRRRR
RRRRR
RRRR
=
b
12
b
22
≠
0.
Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.
Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎩
C
t
=
A
1
+ δ
11
C
t−1
+ δ
12
I
t−1
+ δ
13
M
t
+ δ
14
G
t
+ u
1
,
I
t
=
A
2
+ δ
21
C
t−1
+ δ
22
I
t−1
+ δ
23
M
t
+ δ
24
G
t
+ u
2
,
r
t
=
A
3
+ δ
31
C
t−1
+ δ
32
I
t−1
+ δ
33
M
t
+ δ
34
G
t
+ u
3
,
Y
t
=
A
4
+ δ
41
C
t−1
+ δ
42
I
t−1
+ δ
43
M
t
+ δ
44
G
t
+ u
4
.
78
Глава 5. Системы эконометрических уравнений
5.4 Оценивание параметров системы одновременных уравнений
Структурные коэффициенты системы одновременных уравнений могут быть оценены разными способами в зависимости от вида модели с точки зрения ее идентификации. Наибольшее распространение получили следующие методы оце- нивания коэффициентов системы одновременных уравнений:
1) косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
2) двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);
3) трехшаговый метод наименьших квадратов (ТНМК);
4) метод максимального правдоподобия (ММП).
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется в случае точ- но идентифицируемой структурной модели. Если система сверхидентифицируема,
то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценива- ния, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).
5.4.1 Косвенный метод наименьших квадратов
Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:
1) структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;
2) для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцени- ваются приведенные коэффициенты
δ
ij
;
3) коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в парамет- ры структурной модели.
Пример 5.2
Исследуется зависимость спроса и предложения некоторого товара от его це- ны
(P), дохода на душу населения и инвестиций в производство (I). Модель спро- са и предложения имеет вид:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
Q
d
t
=
a
0
+ a
1
P
t
+ a
2
y
t
+ U
t
,
Q
S
t
=
b
0
+ b
1
P
t
+ b
2
I
t
+ V
t
,
Q
S
t
=
Q
d
t
,
где Q
d
t
— спрос в момент времени t; Q
S
t
— предложение в момент времени t.
Учитывая вид третьего уравнения системы, обозначим Q
t
=
Q
S
t
=
Q
d
t
В данной модели Q
t
и P
t
— эндогенные переменные, причем переменная P
t
яв- ляется эндогенной как по экономическому смыслу (цена зависит от спроса и пред- ложения), так и в силу наличия тождества Q
S
t
=
Q
d
t
. Переменные y
t
и I
t
являются