ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2023
Просмотров: 325
Скачиваний: 6
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
54
Глава 3. Гетероскедастичность и автокорреляция остатков
Таблица 3.2 – Тест Гольдфелда—Квандта
№
Цена x (р.)
Спрос y (тыс. шт.)
1 15,09 125,178 2
15,21 123,809 3
15,28 121,175 4
15,49 116,914 5
15,54 119,864 6
15,62 118,068 7
15,70 123,589 8
15,91 117,088 9
15,92 116,170 10 15,95 118,344 11 16,31 116,201 12 16,33 111,457 13 16,60 115,103 14 16,69 110,106 15 16,76 110,023 2. Определим значение k = 6.
3. Оценим регрессии по первой и третьей группе данных:
̂y
1
=
335,992 − 13,998 ⋅ x,
S
1
=
9,1,
̂y
3
=
263,939 − 9,148 ⋅ x,
S
3
=
22,63.
4. Вычислим фактическое значение F-критерия:
F
фaкт
=
S
3
S
1
=
22,63 9,1
=
2,486.
Табличное значение критерия Фишера F
0,05, 4, 4
=
6,39.
Поскольку условие F
фaкт
<
F
α, k
1
, k
2
выполняется, то гипотеза о наличии гетерос- кедастичности отклоняется.
3.3 Методы устранения гетероскедастичности
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок реко- мендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS — Ordinary Least Squares) заменять обобщенным ме-
тодом, т. е. методом GLS (Generalized Least Squares).
Применение обычного МНК к модели, в которой нарушены третья и четвертая предпосылки применения этого метода, ведет к тому, что найденные параметры уравнения регрессии не будут эффективными оценками генеральных параметров.
Кроме того, их дисперсии будут рассчитаны со смещением, что приведет к ложным выводам при оценке качества модели и при проведении прогнозирования по ней.
3.3 Методы устранения гетероскедастичности
55
Для случая гетероскедастичности остатков обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) называют еще методом взвешенных наименьших квадратов
(ВМНК). ОМНК используется для корректировки гетероскедастичности за счет преобразования данных, позволяющего получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.
Пусть
σ
ε
i
— стандартное отклонение случайной ошибки
ε
i
в i-м наблюдении.
В случае если
σ
ε
i
известно, гетероскедастичность можно корректировать, разделив каждое наблюдение на соответствующее ему значение
σ
ε
i
. Так, для парной регрес- сии y
i
=
a + b ⋅ x
i
+ ε
i
соответствующее преобразование данных будет иметь вид:
y
i
σ
ε
i
=
a
σ
ε
i
+ b ⋅
x
i
σ
ε
i
+
ε
i
σ
ε
i
.
Тогда дисперсия остатков представляется в виде:
D
(
ε
i
σ
ε
i
) =
1
σ
2
ε
i
⋅ σ
2
(ε
i
) =
σ
2
ε
i
σ
2
ε
i
=
1.
В результате этой процедуры каждое наблюдение будет иметь случайную ошибку с единичной дисперсией. Следовательно, для преобразованной модели вы- полняется предпосылка МНК о гомоскедастичности дисперсии остатков, а оценки параметров регрессии, полученные по МНК, будут наилучшими несмещенными оценками.
Применение вышеописанного метода в значительной степени ограничено тем,
что на практике фактические значения
σ
ε
i
чаще всего неизвестны. В этом случае применение ОМНК основано на предположении, что среднее значение остаточ- ных величин равно нулю, а вот дисперсия их представлена в виде произведения некоторой величины K
i
на постоянную величину
σ
2
:
σ
2
ε
i
=
σ
2
⋅ K
i
.
При этом в отношении величин K
i
выдвигаются определенные гипотезы, ха- рактеризующие структуру гетероскедастичности.
Тогда уравнение y
i
=
a + b ⋅ x
i
+ ε
i
преобразуется к виду:
y
i
√
K
i
=
a
√
K
i
+ b ⋅
x
i
√
K
i
+
ε
i
√
K
i
.
В данной модели остаточные величины гомоскедастичны, следовательно, для построения уравнения регрессии применим обычный МНК. Действительно, в силу выполнимости предпосылки
σ
2
ε
i
=
σ
2
(ε
i
) = σ
2
⋅ K
i
имеем:
σ
2
(
ε
i
√
K
i
) =
1
K
i
⋅ σ
2
(ε
i
) =
1
K
i
⋅ σ
2
⋅ K
i
=
σ
2
=
const .
Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными осно- вана на минимизации суммы квадратов отклонений вида S =
n
∑
i=1 1
K
i
⋅
(y
i
− a − b ⋅ x
i
)
2
и последующего решения системы уравнений:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
∑
y
K
=
a ⋅ ∑
1
K
+ b ⋅ ∑
x
K
,
∑
y ⋅ x
K
=
a ⋅ ∑
x
K
+ b ⋅ ∑
x
2
K
.
56
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 13
Глава 3. Гетероскедастичность и автокорреляция остатков
Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для мно- жественной регрессии. Например, рассматривается модель вида:
y
i
=
a + b
1
⋅ x
1
i
+ b
2
⋅ x
2
i
+ ε
i
,
для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна K
2
i
. Коэф- фициент пропорциональности K принимает различные значения для соответству- ющих i значений факторов x
1
и x
2
. Ввиду того, что
σ
2
ε
i
=
σ
2
⋅ K
2
i
,
для корректировки гетероскедастичности выполняется переход к уравнению с но- выми преобразованными переменными:
y
i
K
i
=
a
K
i
+ b
1
⋅
x
1
i
K
i
+ b
2
⋅
x
2
i
K
i
+
ε
i
K
i
.
Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности K. В эконометрических исследованиях довольно часто вы- двигается гипотеза, что остатки
ε
i
пропорциональны значениям какого-либо фак- тора. Так, если в уравнении
y = a + b
1
⋅ x
1
+ b
2
⋅ x
2
+ . . . + b
m
⋅ x
m
+ ε
предположить, что K
i
=
x
1
i
и
σ
2
ε
i
=
σ
2
⋅x
2 1
i
, то ОМНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:
y
i
x
1
i
=
b
1
+ b
2
⋅
x
2
i
x
1
i
+ . . . + b
m
⋅
x
m
i
x
1i
+
ε
i
x
1
i
.
Таким образом, «взвешивая» каждый остаток
ε
i
=
(̂y
i
− y
i
) с помощью коэффи- циента 1
/K
i
, можно добиться равномерного вклада остатков в общую сумму, что приводит в конечном итоге к получению наиболее эффективных оценок парамет- ров регрессии. Вместе с тем следует иметь в виду, что новые преобразованные пе- ременные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.
Пример 3.4
Пусть y — издержки производства, x
1
— объем продукции, x
2
— основные произ- водственные фонды, x
3
— численность работников, тогда уравнение
y = a + b
1
⋅ x
1
+ b
2
⋅ x
2
+ b
3
⋅ x
3
+ ε
является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая,
что дисперсия остатков пропорциональна квадрату численности работников
σ
2
ε
i
=
=
σ
2
⋅ x
2 3
, мы получим в качестве результативного признака затраты на одного ра- ботника y
/x
3
, а в качестве факторов следующие показатели: производительность
3.4 Автокорреляция в остатках
57
труда x
1
/x
3
и фондовооруженность труда x
2
/x
3
. Соответственно трансформирован- ная модель примет вид:
y
x
3
=
b
3
+ b
1
⋅
x
1
x
3
+ b
2
⋅
x
2
x
3
+
ε
x
3
,
где параметры b
1
, b
2
, b
3
численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме этого, коэффициенты регрессии меняют экономиче- ское содержание. Коэффициенты регрессии, полученные с применением обычного
МНК, характеризуют среднее абсолютное изменение издержек производства с из- менением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу. При обоб- щенном МНК коэффициент b
1
характеризует среднее изменение затрат на работ- ника с изменением производительности труда на единицу при неизменном уровне фондовооруженности труда, а коэффициент b
2
— среднее изменение затрат на ра- ботника с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда.
Переход к относительным величинам существенно снижает вариацию фактора и соответственно уменьшает дисперсию ошибки. Он представляет собой наибо- лее простой случай учета гетероскедастичности в регрессионных моделях с помо- щью ОМНК. Процесс перехода к относительным величинам может быть осложнен выдвижением иных гипотез о пропорциональности ошибок относительно вклю- ченных в модель факторов. Использование той или иной гипотезы предполагает специальные исследования остаточных величин для соответствующих регрессион- ных моделей. Применение ОМНК позволяет получить оценки параметров модели,
обладающие меньшей дисперсией.
3.4 Автокорреляция в остатках
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция
между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ря-
ды) или в пространстве (перекрестные данные).
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по
МНК является независимость значений случайных отклонений
ε
i
от значений от- клонений во всех других наблюдениях.
Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, име- ющими различную природу.
1. Автокорреляция может быть связана с исходными данными и вызвана на- личием ошибок измерения в значениях результативного признака.
2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спе- цификации модели. Модель может не включать фактор, который оказыва- ет существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелирован- ными. Очень часто этим фактором является фактор времени t.
Автокорреляция остатков чаще встречается в регрессионном анализе при ис- пользовании данных временных рядов (глава 6).
58
Глава 3. Гетероскедастичность и автокорреляция остатков
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности:
выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрес- сии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.
Обнаружение автокорреляции. Критерий Дарбина—Уотсона
Как было отмечено в параграфе 3.1, проверка некоррелированности остатков может быть выполнена с помощью коэффициента корреляции, называемого в этом случае коэффициентом автокорреляции первого порядка:
r
ε
i
ε
i−1
=
cov
(ε
i
,
ε
i−1
)
σ
ε
i
⋅ σ
ε
i−1
.
При этом проверяется некоррелированность только соседних величин
ε
i
. Со- седними обычно считаются соседние во времени (при рассмотрении временных рядов) или по возрастанию объясняющей переменной X (в случае перекрестной выборки) значения
ε
i
На практике для анализа коррелированности отклонений вместо коэффициента корреляции используют статистику Дарбина—Уотсона (DW), рассчитываемую по формуле:
DW =
∑
(ε
i
− ε
i−1
)
2
∑ ε
2
i
.
Критерий Дарбина—Уотсона и коэффициент автокорреляции связаны между собой соотношением:
DW ≈ 2 ⋅
(1 − r
ε
i
ε
i−1
).
Из этого соотношения видно, что при положительной автокорреляции остатков
(r
ε
i
ε
i−1
=
1) критерий DW = 0. При полной отрицательной автокорреляции (r
ε
i
ε
i−1
=
= −1) критерий DW = 4. Если автокорреляция в остатках отсутствует (r
ε
i
ε
i−1
=
0),
критерий DW = 2. Следовательно, критерий Дарбина—Уотсона изменяется в пре- делах: 0 ⩽ DW ⩽ 4.
Алгоритм выявления автокорреляции остатков с использованием критерия
Дарбина—Уотсона следующий.
1. Выдвигается гипотеза H
0
об отсутствии автокорреляции остатков. Альтерна- тивные гипотезы H
1
и H
*
1
состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках.
2. Определяются критические значения критерия Дарбина—Уотсона d
L
и d
U
для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели m и уровня значимости
α (приложение A).
3. По этим значениям числовой промежуток
[0; 4] разбивают на пять отрезков
(рис. 3.4).
4. Вычисляется фактическое значение критерия Дарбина—Уотсона:
DW =
∑
(ε
i
− ε
i−1
)
2
∑ ε
2
i
.
5. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью 1−α осуществ- ляется следующим образом: