Файл: Эконометрика.pdf

66
Глава 4. Регрессионные модели с переменной структурой
Получаем уравнение с тремя факторными переменными:
̂y = a + bx + δ ⋅ z + γ ⋅ (z ⋅ x).
Пример 4.2
По статистическим данным (табл. 4.4) построить уравнение регрессии зависи- мости заработной платы (y) от стажа работы (x) с учетом пола работающего.
Таблица 4.4 – Данные к примеру 4.2
№
набл.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
y
9 6
10 7
12 8,5 13 9
15 9
18 9,5 20 12 22 15 25 16
x
2 2
3 3
4 4
5 5
7 7
8 8
10 10 12 12 15 15
z
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
z ⋅ x
0 2
0 3
0 4
0 5
0 7
0 8
0 10 0
12 0
15
Найдем параметры уравнения:
̂y = 6,69 + 1,27 ⋅ x − 2,08 ⋅ z − 0,5 ⋅ (z ⋅ x).
Коэффициент детерминации R
2
=
0,98. Критерий Фишера F = 283,92 > F
тaбл
=
=
3,33. Следовательно, уравнение статистически значимо в целом с вероятностью
95%.
Проверку статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии вы- полним с учетом данных таблицы 4.5.
Таблица 4.5 – Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии
Значения
коэффициентов
Стандартная
ошибка
Значения
t-статистики
a
6,69 0,51 13,01
b
1,27 0,06 20,76
δ
−2,08 0,73
−2,86
γ
−0,50 0,09
−5,83
Все параметры модели статистически значимы, следовательно, как стаж, так и пол оказывают существенное влияние на уровень заработной платы, причем не только на ее общее изменение, но и на скорость изменения.
Уравнение для мужчин запишется:
̂y = 6,69 + 1,27 ⋅ x, а для женщин: ̂y = 4,61 +
+ 0,77 ⋅ x. В этом случае имеется различие не только свободных членов, но и коэф- фициентов наклона, что и подтверждает рисунок 4.3.

4.5 Исследование структурных изменений с помощью теста Чоу
67
Рис. 4.3 – Изменение заработной платы мужчин и женщин в зависимости от стажа
4.5 Исследование структурных изменений с помощью теста Чоу
В практике эконометрических исследований нередки случаи, когда для выявле- ния зависимости между показателями имеются выборки их значений, полученных при разных условиях. Необходимо выяснить, действительно ли две выборки од- нородны в регрессионном смысле. Другими словами, можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии.
При достаточных объемах выборок можно, например, построить интерваль- ные оценки параметров регрессии по каждой из выборок и в случае пересечения соответствующих доверительных интервалов сделать вывод о единой модели ре- грессии. Возможны и другие подходы.
В случае если объем хотя бы одной из выборок незначителен, то возможности такого подхода резко сужаются из-за невозможности построения регрессии с до- статочно надежными оценками.
Для проверки возможности объединения выборок в одну можно использовать тест Чоу.
Алгоритм теста.
Пусть имеется две подвыборки: одна объемом n
1
, а другая объемом n
2 1. По каждой подвыборке строятся линейные регрессионные модели с m пере- менными:
ˆ для первой подвыборки — y
1
=
b
1 0
+
m
∑
j=1
b
1
j
⋅ x
j
+ ε
1
;
ˆ для второй подвыборки — y
2
=
b
2 0
+
m
∑
j=1
b
2
j
⋅ x
j
+ ε
2
Рассчитываются суммы квадратов остатков для этих регрессий SS
1
и SS
2

68
Глава 4. Регрессионные модели с переменной структурой
2. Строится линейная регрессия по объединенной выборке:
y = b
0
+
m
∑
j=1
b
j
⋅ x
j
+ ε.
Вычисляется ее сумма квадратов остатков SS.
3. Формулируется нулевая гипотеза:
H
0
: b
1
j
=
b
2
j
, j = 0, m, где b
1
j
, b
2
j
— параметры моделей.
Очевидно, что при совпадении параметров регрессии выполняется равенство
SS = SS
1
+ SS
2
. Чем сильнее различие в поведении y для двух подвыборок, тем больше значение SS будет превосходить значение суммы SS
1
+ SS
2 4. Для проверки гипотезы вычисляется фактическое значение F-статистики по формуле:
F =
SS −
(SS
1
+ SS
2
)
(SS
1
+ SS
2
)
⋅
n − 2 ⋅ m − 2
m + 1
.
Здесь m — количество параметров уравнений регрессий, n — число наблюдений по всей совокупности.
В случае если F < F
тaбл
(α, (m + 1), (n − 2 ⋅ m − 2)), считается, что различие между SS и SS
1
+ SS
2
статистически незначимо и возможно построение уравнения регрессии по объединенной выборке объема n = n
1
+ n
2
.
Если F > F
тaбл
(α, (m+1), (n−2⋅m−2)), то различие между SS и SS
1
+ SS
2
стати- стически значимо, что определяет существенность различия поведения наблюдае- мой переменной y для двух подвыборок. В случае регрессионного анализа с фик- тивными переменными это означает необходимость введения в уравнение регрес- сии соответствующей фиктивной переменной.
Пример 4.3
Используем тест Чоу для выявления целесообразности рассмотрения общей выборки и введения фиктивной переменной на примере данных предыдущего па- раграфа, выделив две подвыборки: (z = 0) и (z = 1). Данные представлены в табли- цах 4.6 и 4.7.
Таблица 4.6 – Изменение заработной платы мужчин в зависимости от стажа
№ набл.
1 2
3 4
5 6
7 8
9
y
1 9
10 12 13 15 18 20 22 25
x
2 3
4 5
7 8
10 12 15
Построим по каждой из таблиц линейные модели зависимости заработной пла- ты (y) от стажа (x):
̂y
1
=
6,689 + 1,269 ⋅ x;
R
2
=
0,99;
SS
1
=
2,94;
̂y
2
=
4,61 + 0,765 ⋅ x;
R
2
=
0,95;
SS
2
=
5,019.

Контрольные вопросы по главе 4
69
Таблица 4.7 – Изменение заработной платы женщин в зависимости от стажа
№ набл.
1 2
3 4
5 6
7 8
9
y
2 6
7 8,5 9
9 9,5 12 15 16
x
2 3
4 5
7 8
10 12 15
Построим линейную модель по объединенной выборке:
̂y = 5,649 + 1,018 ⋅ x; R
2
=
0,639;
SS = 177,52.
Рассчитаем статистику:
F =
(177,52 − 2,94 − 5,019) ⋅ 14
(2,94 + 5,019) ⋅ 2
=
80,4.
F
тaбл
(α = 0,05; 2,14) = 3,74. Так как вычисленное значение F > F
тaбл
, то сле- дует признать существенность различия роста заработной платы от стажа в за- висимости от пола. Следовательно, для построения общего уравнения регрессии целесообразно ввести фиктивную переменную, определяющую пол работника, что и показано в примере предыдущего параграфа.
Контрольные вопросы по главе 4 1. Можно ли учесть в уравнении регрессии неколичественные факторы? Ка- ким образом?
2. Дайте определение фиктивной переменной.
3. В чем суть основного правила использования фиктивных переменных?
4. Приведите примеры использования фиктивных переменных.
5. Каков общий вид модели регрессии с одной количественной и одной фик- тивной переменными?
6. Какова область применения теста Чоу?
7. Какие показатели сравниваются между собой по тесту Чоу? Какой стати- стический критерий используется в этом тесте?
8. Опишите методику применения теста Чоу.

Глава 5
СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
5.1 Общие положения
Многие экономические взаимосвязи в силу своей многогранности не могут быть в полной мере описаны с помощью отдельных изолированных уравнений регрессии. Данное описание предполагает, что факторы можно изменять незави- симо друг от друга. Однако ряд экономических процессов моделируется в усло- виях, когда изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других, а повлечет за собой изменения во всей сово- купности взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии уже не может характеризовать истинные влияния от- дельных признаков на вариацию результирующей переменной. В силу этого воз- никает необходимость использования системы уравнений, которая в матричном виде может быть представлена как
AY + BX = E,
где A — матрица коэффициентов при зависимых переменных; Y — вектор зависи- мых переменных; B — матрица коэффициентов при объясняющих переменных; X —
вектор объясняющих переменных; E — вектор ошибок.
Наиболее широко этот подход применяется в макроэкономических исследова- ниях, а также в исследованиях спроса и предложения. Приведем примеры таких систем.
1. Модель «спрос-предложение».
Данная модель является одной из простейших систем одновременных урав- нений. В этом случае, предполагая, что объем спроса Q
d
t
и объем предложения
Q
S
t
в момент времени t являются линейными функциями от цены P
t
, получаем систему:

5.1 Общие положения
71
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
Q
d
t
=
a
0
+ a
1
P
t
+ U
t
,
a
1
<
0,
Q
S
t
=
b
0
+ b
1
P
t
+ V
t
,
b
1
>
0,
Q
S
t
=
Q
d
t
.
2. Кейнсианская модель формирования доходов.
Простейшая модель данного типа в предположении, что рассматривается за- крытая экономика без государственных расходов:
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪
⎩
C
t
=
b
0
+ b
1
Y
t
+ ε
t
,
Y
t
=
C
t
+ I
t
.
Здесь Y
t
, C
t
, I
t
— совокупный выпуск, объемы потребления и инвестиций соот- ветственно, t — текущий момент времени.
Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.
1. Система независимых уравнений — это система, в которой каждая зависи- мая переменная y
i
(i = 1, n) рассматривается как функция одного и того же набора факторов x
j
(j = 1, m):
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎩
y
1
=
b
10
+ b
11
x
1
+ b
12
x
2
+ . . . + b
1m
x
m
+ ε
1
,
y
2
=
b
20
+ b
21
x
1
+ b
22
x
2
+ . . . + b
2m
x
m
+ ε
2
,
. . .,
y
n
=
b
n0
+ b
n1
x
1
+ b
n2
x
2
+ . . . + b
nm
x
m
+ ε
n
.
Набор факторов x
j
в каждом уравнении может варьировать. Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для на- хождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу,
каждое уравнение этой системы является уравнением множественной регрессии.
Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретиче- ских на величину случайной ошибки, то в каждом уравнении присутствует вели- чина случайной ошибки
ε
i
2. Система рекурсивных уравнений — это система, в которой зависимая пере- менная y
i
одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎩
y
1
=
b
10
+ b
11
x
1
+ b
12
x
2
+ . . . + b
1m
x
m
+ . . . + b
2m
x
m
+ ε
2
,
. . .,
y
n
=
b
n0
+ a
n1
y
1
+ . . . + a
n,n−1
y
n−1
+ b
n1
x
1
+ . . . + b
nm
x
m
+ ε
n
.
В данной системе зависимая переменная y
i
(i = 1, n) включает в каждое по- следующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предше- ствующих уравнений наряду с набором собственно факторов x
j
(j = 1, m). Каждое уравнение этой системы может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов (МНК).
3. Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила
система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы:

72
Глава 5. Системы эконометрических уравнений
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎩
y
1
=
b
10
+ a
12
y
2
+ a
13
y
3
+ . . . + a
1n
y
n
+ b
11
x
1
+ . . . + b
1m
x
m
+ ε
1
,
y
2
=
b
20
+ a
21
y
1
+ a
23
y
3
+ . . . + a
2n
y
n
+ b
21
x
1
+ . . . + b
2m
x
m
+ ε
2
,
. . .,
y
n
=
b
n0
+ a
n1
y
1
+ a
n2
y
2
+ . . . + a
n,n−1
y
n−1
+ b
n1
x
1
+ . . . + b
nm
x
m
+ ε
n
.
Система взаимозависимых уравнений получила название системы совмест-
ных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних урав- нениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений на- зывается также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприме- ним. С этой целью используются специальные приемы оценивания.
5.2 Составляющие систем одновременных уравнений
При рассмотрении систем одновременных уравнений переменные делятся на два класса — эндогенные и экзогенные переменные.
Эндогенные переменные — это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Обозначаются через y.
Экзогенные переменные — это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Обозначаются через x.
Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теорети- ческой концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других — как экзогенные переменные. Вне- экономические переменные (например, климатические условия, социальное поло- жение, пол, возрастная категория) входят в систему только как экзогенные пере- менные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эн- догенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).
Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой эк- зогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в ка- честве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.
Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных перемен- ных коэффициенты a
ik
и при экзогенных переменных — коэффициенты b
ij
, кото- рые называются структурными коэффициентами модели. Для оценки параметров структурной формы модели используется приведенная форма модели.
Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎩
y
1
=
A
1
+ δ
11
x
1
+ . . . + δ
1m
x
m
+ u
1
,
y
2
=
A
2
+ δ
21
x
1
+ . . . + δ
2m
x
m
+ u
2
,
. . .,
y
n
=
A
n
+ δ
n1
x
1
+ . . . + δ
nm
x + u
n
.

5.2 Составляющие систем одновременных уравнений
73
где
δ
ij
— коэффициенты приведенной формы модели; u
i
— остаточная величина для приведенной формы.
По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК.
Применяя МНК, можно оценить
δ
ij
, а затем оценить значения эндогенных пере- менных через экзогенные.
Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели через коэффициенты структурной модели.
Для структурной модели вида:
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪
⎩
y
1
=
a
12
y
2
+ b
11
x
1
+ b
10
+ ε
1
,
y
2
=
a
21
y
1
+ b
22
x
2
+ b
20
+ ε
2
приведенная форма модели имеет вид:
⎧⎪⎪
⎨⎪⎪
⎩
y
1
=
A
1
+ δ
11
x
1
+ δ
12
x
2
+ u
1
,
y
2
=
A
2
+ δ
21
x
1
+ δ
22
x
2
+ u
2
.
Из первого уравнения структурной модели выразим y
2
. Тогда структурная мо- дель примет вид (ради упрощения опускаем случайную величину):
⎧⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎩
y
2
=
y
1
− b
11
x
1
− b
10
a
12
,
y
2
=
a
21
y
1
+ b
22
x
2
+ b
20
.
Приравнивая правые части этой системы, после соответствующих преобразо- ваний будем иметь:
y
1
=
b
11 1 − a
12
a
21
⋅ x
1
+
b
22
a
12 1 − a
12
a
21
⋅ x
2
+
b
10
+ b
20
a
12 1 − a
12
a
21
.
Поступая аналогично со вторым уравнением структурной модели, получим:
y
2
=
b
11
a
21 1 − a
12
a
21
⋅ x
1
+
b
22 1 − a
12
a
21
⋅ x
2
+
b
20
+ b
10
a
21 1 − a
12
a
21
.
В итоге получаем систему уравнений, по структуре совпадающую с приведен- ной формой модели:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
y
1
=
b
11 1 − a
12
a
21
⋅ x
1
+
b
22
a
12 1 − a
12
a
21
⋅ x
2
+
b
10
+ b
20
a
12 1 − a
12
a
21
,
y
2
=
b
11
a
21 1 − a
12
a
21
⋅ x
1
+
b
22 1 − a
12
a
21
⋅ x
2
+
b
20
+ b
10
a
21 1 − a
12
a
21
.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что коэффициенты приведенной формы модели будут выражаться через коэффициенты структурной формы:
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
A
1
=
b
10
+ b
20
a
12 1 − a
12
a
21
;
δ
11
=
b
11 1 − a
12
a
21
;
δ
12
=
b
10
+ b
20
a
12 1 − a
12
a
21
;
A
2
=
b
10
+ b
20
a
12 1 − a
12
a
21
;
δ
21
=
b
11
a
21 1 − a
12
a
21
;
δ
22
=
b
22 1 − a
12
a
21
.